1.2随机事件的概率（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图

基本概念与运算

(随机试验,事件,样本空间)

频率与概率

统计定义古典定义公理化定义

条件概率全概率公式与贝叶斯公式

独立性

第二节随机事件的概率

一.频率

1．频率的定义：

在n次试验中，事件A发生的次数nA称为事

n

件A的频数；而比值A称为事件A发生的频率.

n

记作：n

f(A)A

nn

频率的性质：非负性

2.(1)0fn(A)1()

规范性

(2)fn(S)1()

若

(3)A1,A2,AK是两两互不相容的事件，则：

fn(A1A2Ak)fn(A1)fn(A2)fn(Ak)

（可加性）

概率统计定义

3．频率的稳定性

在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生

n

的频率A稳定地在某一常数p附近摆动，

n

并且n越大，摆动幅度越小。

则称常数p为事件A在该条件下发生的概率

记作：P(A)频率的稳定值为该

事件的概率

实例1将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7

6遍观察正面出现的次数及频率

7,.

5

4

试验n5n50n500

3

4

序号

2

nHfnHfnHf

22

1

10.4220.442510.502

1

5

在处波动较大

30.6250.502490.498

随1n的增大,频率2f呈现出稳定性

0.2210.422560.512

1.0250.502470.494

在1处波动较小

20.2240.482510.502

0.4180.3626波2动0最.52小4

0.8270.542580.516

从上述数据可得:

(1)频率有随机波动性

即对于同样的n,所得的f不一定相同.

(2)抛硬币次数n较小时,频率f的随机波动幅

度较大,但随n的增大,频率f呈现出稳定性.

即当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆

动,且逐渐稳定于0.5.

请看下列概

率大师们所

做的实验

实验者nnHf

德摩根204810610.5181

蒲丰404020480.5069

K皮尔逊1200060190.5016

K皮尔逊24000120120.5005

的增大1

f(H)n.

2

频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,

频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在

试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．

实例2验证频率稳定性的著名实验

高尔顿(Galton)板试验.

试验模型如下所示:

自上端放入一小球,任其自由

下落,在下落过程中当小球碰到

钉子时,从左边落下与从右边落

下的机会相等.碰到下一排钉子

时又是如此.最后落入底板中的

某一格子.因此,任意放入一球,

则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果

放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是

一样的.

1933年，前苏联数学家柯尔莫

哥洛夫给出了概率的公理化定义.

即:通过规定概率应具备的基本

性质来定义概率.

柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简

单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.

下面介绍用公理给出的概率定义.

二．概率公理化定义

１.概率的定义：设E是随机试验,S是它的样本空间,

若对于S的每一个事件A都赋予一个实数P(A),

它满足以下三个条件：非负性

(１)对于每一事件A有:0P(A)1

(2)P(S)1规范性

(3)可列可加性：

若是两两互不相容的事件，则：

A1,A2,

P(A1A2)P(A1)P(A2)

则称p(A)为事件A发生的概率。

２．概率的性质

性质p()0

1

[证]：必然事件S与不可能事件是互不相容的

即SS可加性

P(S)P(S)P()P(S)

得：P()0

若是两两互不

性质2(有限可加性)A1,A2,An

相容事件,则有:

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

[证]：由概率定义中的可列可加性.

，则有：

令：An1An2

P(A1A2An)P(Ak)

nk1

P(Ak)P(Ak)

k1kn1

nn

P(Ak)0P(Ak)

k1k1

性质3：若BA则有：

(可减性)P(BA)P(B)P(A)

(单调性)P(B)P(A)

P(BA)P(B)P(A)

[证]：(1)BA(BA)

并且A与BA是互不相容的

AA

即：A(BA)

有限可加性B

由性质2得：

P(B)P(A)P(BA),可减性

P(BA)P(B)P(A)

(2)由概率定义可知：P(BA)0

所以由(1)得:P(B)P(A)0

即P(B)P(A)

性质4(加法定理)设A,B为任意两个事件,则有：

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

[证]:由图可知:ABA(BAB)

AABB并且:

A与BAB是互不相容的

所以由性质2与性质3得：有限可加性

可减性

P(AB)P(A)P(BAB)

P(A)P(B)P(AB)

注性质4可推广到多个事件:

n

P(A1A2An)P(Ai)P(AiAj)

i11ijn

n1

P(AiAjAk)(1)P(A1A2An)

1ijkn

比如

:P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)P(A1A2A3)

性质5．对任意事件A有：P(A)1P(A)

[证]：AAS并且AA由性质2得：

P(S)P(AA)P(A)P(A)

又P(S)1即:P(A)1P(A)

注：性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事

件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较

易时，可以先计算P(A)，再计算P(A).

示例:将一颗骰子抛掷4次，问至少A

出一次“6”点的概率是多少？ＡＡ

解：令事件A={至少出一次“6”点}S

则A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}

{出3次“6”点}{出4次“6”点}

注意:此时若直接计算A的概率较麻烦,

则可先来计算A的对立事件：

令事件A={至少出一次“6”点}

A={4次抛掷中都未出“6”点}的概率

由于将一颗骰子抛掷4次，共有:6666

即共1296种等可能结果。而导致事件:

A={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数共有:

5555,共625种

625

因此:P(A)0.482

1296

于是:P(A)1P(A)0.518

例1某同学小李参加“智力大冲浪”游戏，他能答

出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2，

两类问题都能答出的概率为0.1.试求小李：

(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率；

(2)至少有一类问题能答出的概率；

(3)两类问题都答不出的概率。

解：设事件A、B分别表示“能答出甲,乙类问题”

(1)P(AB)P(A)P(AB)0.70.10.6

(2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.8

(3)P(AB)P(AB)1P(AB)0.2

例1的思考题

在例1中小李他能答出第一类问题的概率为0.7,

答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能

答出的概率为0.1.为什么不是0.70.2?

分析若是的话,则应有:

P(AB)P(A)P(B)

而现在题中并未给出这一条件.

在本章的第五节将给出上述等式成立的条件:

A、B两事件相互独立

例2设事件A,B满足P(A)0.6,P(B)0.7,

试问：在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？

最大(小)值是多少？

解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(A)P(B)10.3最小值

最小值在P(AB)1时取得。

又P(AB)P(A)0.6最大值

最大值在P(AB)P(B)时取得。