1.5事件的独立性（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图

基本概念与运算

(随机试验,事件,样本空间)

频率与概率

统计定义古典定义公理化定义

条件概率全概率公式与贝叶斯公式

独立性

第五节事件的独立性

引例1.将一颗均匀骰子连掷两次，

设:A={第二次掷出6点}，

B={第一次掷出6点}，

显然:P(A|B)=P(A)

这就是说，已知事件B发生，并不影响事件A发生

的概率，这时称事件A、B独立。

由乘法公式,可知：用当P事(A件BA)、=PB(A独)P立(B时)刻，划有独：立性，

比P(用ABP()A=|BP)(=AP)(AP)(或B)P(B|A)=

P(AB)=P(B)P(A|B)P(B)更好，它不受P(B)>0或

P(A)>0的制约。

引例2现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现

每次取一个，取两次，分别就不放回抽取与

放回抽取两种情况。

求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球

的概率。

解：设：A：第一次取到新球

B：第二次取到新球

(1)不放回地取两次

326

P(AB)1

P(BA)54200.5

P(A)332

55

(2)有放回地取两次

33

P(AB)3

P(BA)55P(B)

P(A)35

5

定义1．设A,B是两个事件，如果具有等式：

P(AB)P(A)P(B)

则称A,B为相互独立的事件。

注由定义易证以下关于独立性的命题:

▲若A与B相互独立A与B,A与B,A与B

也相互独立。

[证]:（只证A与B相互独立其余自证）

P(AB)P(AAB)而AAB

所以：P(A)P(AB)

P(A)P(A)P(B)

由可减性

与独立性P(A)(1P(B))P(A)P(B)

▲若P(A)0,P(B)0A,B相互独立

与A,B互不相容

不能同时成立。

定义2(两两独立)设A,B,C三个事件,如果具有

如下等式：

P(AB)P(A)P(B)

P(BC)P(B)P(C)

P(AC)P(A)P(C)

则称A,B,C两两独立。

注若A,B,C两两独立，

P(ABC)P(A)P(B)P(C)不一定成立。

问题：满足什么条件上式才能成立？

三个事件的“相互独立”的概念

定义3．设A,B,C是三个事件，如果具有等式：

P(AB)P(A)P(B)

P(BC)P(B)P(C)

P(AC)P(A)P(C)

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

则称事件A,B,C为相互独立的事件。

注▲推广：

设A1,A2,An是n个事件,

如果对于任意k(1kn),

任意

1i1i2ikn,

具有等式：P(AAA)P(A)P(A)P(A)

i1i2iki1i2ik

则称为相互独立的事件。

A1,A2,An

（它含有23nn个等式）

CnCnCn2n1

▲相互独立与两两独立的关系：

两两独立n个事件任何两个彼此独立．

相互独立n个事件任意k个(kn)

都是独立的.

相互独立两两独立,反之则不真

▲n个独立事件和的概率公式:

设事件…相互独立,则由

A1,A2,,An

对

…）

P(A1A2An)1P(A1A2An偶

律

1P(A1A2…An)

…

1P(A1)P(A2)P(An)

也相互…独立

A1,A2,,An也就是说，n个独立事件至少

也相互独有一个发生的概率等于1减去

立各自对立事件概率的乘积.

▲若设个独立事件发生的概率

nA1,A2,…,An

分别为:p1,,pn,

则“A1,A2,…,An至少有一个发生”的概率为：

…

P(A1A2An)1(1p1)(1pn)

类似可以得出：

“至少有一个不发生”的概率为：

A1,A2,…,An

……

P(A1A2An)1P(A1)P(A2)P(An)

…

1p1p2pn

定理：设A,B是两事件,且P(A)>0,若A,B相互独立

则：P(BA)P(B)，反之亦然。

注：在实际应用中,往往根据问题的

实际意义去判断两事件是否独立.

例如：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记:

A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}

问：事件A、B是否相互独立？

解：由于:P(A)=4/52=1/13,

所以：P(AB)=2/52=1/26，P(B)=26/52=1/2

可见,P(AB)=P(A)P(B)

根据两事件独立的定义,说明事件A、B是相互独立的

例1（1）如图的两个事件是独立的吗？

（2）能否在样本空间S中找两个事件,它们

既相互独立又互斥?

解：(1)因为：P(AB)=0

而已知P(A)≠0，P(B)≠0

AB即：P(AB)≠P(A)P(B)

S故A、B不独立

它的反

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,问题

则A与B不独立.呢？

反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A、B不互斥。

（2）所要寻找的这两个事件就是

S和

S

因为：s

所以:P(S)=P()P(S)=0

则:与S独立且互斥

注意:

不难发现，与任何事件都独立.

例2甲、乙、丙三台机床独立工作，由一个操

作者照管。某段时间内它们不需要操作者

照管的概率分别为0.9,0.8,0.85

求：(1)没有一台机床不需要照管的概率

(2)至少一台机床需要照管的概率

(3)至多一台机床不需要照管的概率

解：设A,B,C：分别表示甲，乙，丙三台机床

不需要照管

因为：三台机床要不要照看是相互独立的

(1)P(ABC)P(A)P(B)P(C)由独立性

(10.9)(10.8)(10.85)0.003

(2)P(ABC)P(ABC)1P(ABC)由独立性

1P(A)P(B)P(C)甲,乙,丙三台

机床不需要

10.90.80.85照管的概率

0.388分别为:

(3)D:至多只有一台机床不需要照看0.9,0.8,0.85

P(D)P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC)

0.0030.90.20.150.10.80.15

0.10.20.850.059

例3.三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的

概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人

能将密码译出的概率是多少？所求为:

解：将三人编号为1，2，3，P(A1A2A3)

记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3

已知:P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

则:由独立性

P(A1A2A3)1P(A1A2A3)

1P(A1)P(A2)P(A3)

1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]

4233

10.6

5345

例4.下图是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、

E、F、G、H都是电路中的元件。它们下方

的数是它们各自正常工作的概率。

求：电路正常工作的概率。

C

0.70F

0.75

ABDH

0.950.950.700.95

G

E0.75

0.70

C

0.70F

0.75

ABDH

0.950.950.700.95

G

E0.75

0.70

解：将电路正常工作记为W，

由于各元件独立工作，故有：

P(W)P(A)P(B)P(CDE)P(FG)P(H)

其中:P(CDE)1P(C)P(D)P(E)0.973