2.4连续型随机变量及其概率密度函数（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第二章知识结构图

随机变量

离散型随连续型随

机变量机变量

分布概率

分布律函数的分布函数的

函数密度分布

分布函数

定义常用分布定义常用分布

第四节连续型随机变量及其概率密度

一.连续型随机变量的概率密度

1.定义若对于随机变量X的分布函数，存在非负

函数f(x)，使得对于任意实数x有:

x

F(x)f(t)dtPXx

(())

则称X为连续型变量，f(x)为X的概率密度函数

注▲连续型随机变量与离散型随机变量的区别

离散型：

P(Xxk)0

连续型：

P(Xxk)0

[证]:1

XxXxXx

证法kkk

1n1n

让“交”

往xk方

向“挤”

1

0xkx

kn

1

P(Xxk)limP(Xxk)P(Xxk)

nn

1

xx

limnf(t)dtf(t)dt

n

xx

f(t)dtf(t)dt0

证法2任取并给以增量

x0(,),x0x

0P(Xx0)P(x0Xx0x)

F(x0x)F(x0)

x0x

f(t)dt

x0

当x0时，两边取极限：

x0x

0P(Xx0)limf(t)dt0

x0x0

P(Xx0)0

注▲这个结论的意义:

从积分的几何意义上说，当

(1).P(Xx0)0

底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。

(2).由此可知连续型随机量X在某区间上取值的

概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、

半开半闭无关，即有:

P(x1Xx2)P(x1Xx2)P(x1Xx2)

x2

P(x1Xx2)f(x)dxF(x2)F(x1)

x1

▲P()0(不可能的事件的概率为0),但概率

为零的事不一定是不可能事件.

2.概率密度函数的性质

这两条性质是判定

性质1f(x)0一个函数f(x)是否

为某随机变量X的

概率密度函数的充

性质2f(x)dx1

要条件.

f(x)

面积为1

x

o

性质3

x

2

P(x1Xx2)F(x2)F(x1)f(x)dx

x1

几何落在区间的概率等于区间

X(x1,x2](x1,x2]

意义

:上曲线f(x)之下的曲边梯形的面积

f(x)

yf(x)

0x1x2x

性质4

若f(x)在点x处连续，则有：F(x)f(x)

物理F(xx)F(x)

f(x)lim

意义

:x0x

P(xXxx)

lim

x0x

故X的密度f(x)在x点的值，恰好是X落在区间

(x,xx]上的概率与区间长度x之比的极限.

如果把概率理解为质量，则f(x)相当于线密度，

故称f(x)为概率密度函数。

注P(xXxx)F(xx)F(x)

xx

f(t)dt

不计高阶x

无穷小f(x)x

b

(相当于积分中值定理f(x)dxf(x)(ba))

a

这表示落在区间(x,xx]上的概率近似等

于f(x)x，称f(x)x为概率微分。

f(x)的值的大小直接影响关系到概率的大小，

所以f(x)的确描述了连续型随机变量的概率

分布的情况。

1x

例1.证明：函数f(x)e(x)

2

是一个连续型随机变量的概率密度函数.

证明：(1).显然,f(x)0(x)

1x

(2).f(x)dxedx

2

101

exdxexdx

0

一般只需验22

证f(x)性质11

中的这两条1

即可.22所以得证

例2.某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小

时)是一个连续型随机变量，其密度函数为:

x

100x0

f(x)e

x0

0

求:(1).的值.

(2).这台计算机在毁坏前能运行50到150

小时的概率.

(3).运行时间少于100小时的概率.

x

解:(1)1f(x)dxe100dx

0

x

100

100e0100

1

100x

1501

(2)P(50X150)e100dx

50

x100

100x0x

f(x)e

x0100150

0e500.384

(1)的值.

(2)50到150小时的概率

(3)少于100小时的概率

x

1001

(3)P(X100)e100dx

0100

1e10.633

一般称:若X具有概率密度:

1x

ex0

f(x)0

0x0

则称X为服从参数的指数分布.

二.连续型随机变量的分布函数

定义:若定义在(,)上的可积函数f(x)

满足：(1).f(x)0

确定了

(2).f(x)dx1f(x)

分布函数F(x)，

xf(x)是F(x)的

则称F(x)f(x)dx导函数，

F(x)是f(x)的一

为连续型随机变量的分布函数.个原函数

注可以验证F(x)具备了分布函数的性质:

(1)F(x)是不减的函数；

(2)0F(x)1;(3)F(x)是右连续的。

例3设有函数F(x)如下:

sinx0x

F(x)

0其它

问:F(x)能否成为某个连续型随机变量的分布函数.

解：注意到:函数F(x)在[2,]上下降，

即不满足性质(1).

或者:F()limF(x)0

x

即不满足性质(2).

故:F(x)不能成为某个连续型随机变量的分布函数.

x2

x2a

例设ex0

4.f(x)a(a0)

0x0

求:

(1)X的分布函数它是一个变

(2)上限的广义

P(0X1)积分

x

解：(1)由F(x)f(t)dt

当x0时f(x)0

x

F(x)0dt0

2x2

xx

xe2ax0

当x0时f(x)e2af(x)a

a0x0

t2

0xt

F(x)0dte2adt

0a

t2x2

2ax2a

[e]01e

x

00

综合上述得:Fxx2

()

1e2ax0

1

(2).P(0X1)F(1)F(0)1e2a

例5.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)

2

1x2,1x1

f(x)

0,其它

求:F(x)

x

解:F(x)P(Xx)f(t)dt

当x1时,F(x)0

当1x1,

1x2

F(x)0dt1t2dt

1

x11

1x2arcsinx

2

当x1时，

112x

F(x)0dt2

1tdt0dt1

11

即得所求的分布函数为:

0,x1

x11

F(x)1x2arcsinx,1x1

2

1,x1

例6.设随机变量X的分布函数为：

0,x0(1)求X取值在区间

2的概率；

F(x)x,0x1(0.3,0.7)

(2)求X的概率密度.

1,x1

解:(1)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)F(0.3)0.720.320.4

dF(x)2x0x1

(2)f(x)=

dx0其它

注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函

数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在

F(x)没意义的点处，任意规定F(x)的值.

三.几种常见的连续型随机变量的分布

1.均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

1

axb

f(x)ba

0其它

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布.

(或等概率分布)

注▲易证f(x)满足：

10.f(x)0,20.f(x)dx1

f(x)

▲f(x)的图形：1

ba

若抽取其概率x

的背景，f(x)是a0b

f一(x种)c

的

函数

▲服从均匀分布的随机变量具有如下性质:

X落在区间(a,b)中任意等长度的子区间的可

能性是相同的，即它落在子区间的概率只依赖

于子区间的长度而与子区间的位置无关.

[证]:设(c,d)(a,b)

dd1

P(cXd)f(x)dxdx

ccba

1

(dc)

ba

即X落在(c,d)内的概率只与(c,d)的长度有关,

而与(c,d)在(a,b)中的位置无关.

均匀分布常见于下列情形：

比如:在数值计算中，由于四舍五入,小数点后某一

位小数引入的误差；公交线路上两辆公共汽车前后

通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.

▲由分布函数定义可得：若X服从均匀分布，

则X的分布函数为:

0xa

xa

F(x)axb

ba

1xb

图形:F(x)

1

x

a0b

例7.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班

车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车

到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00

到7:30之间的均匀随机变量

试求：(1)乘客候车时间少于5分钟的概率

(2)乘客候车时间超过10分钟的概率

解：设以7:00为起点0，以分为单位从上午7时起，

每分钟来

依题意，X～U(0,30)15

一班车，即

1

0x307:00，7:15，

f(x)307:30

0其它7:45等时刻有

(1)为使候车时间X少于5分钟，汽车到达站

乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30

之间到达车站.故所求概率为：

P{10X15}P{25X30}

1513011

dxdx

103025303

(2)为使候车时间X不少于10分钟，从上午7时起，

每分钟来

乘客必须在7:00到7:05之间，15

一班车，即

或在到之间到达车站

7:157:20.7:00，7:15，

故所求概率为：7:30

等时刻有

7:45

P{0X5}P{15X20}汽车到达站

512011

dxdx

03015303

2.指数分布

若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为：

x

1

ex0

f(x)

0其它

其中0为常数

则称X为服从参数的指数分布.

注▲易证f(x)满足：

10.f(x)0,20.f(x)dx1

▲由分布函数定义可得：若X服从指数分布，则

X的分布函数为:其密度函数图

x

形请见浙大教

F(x)1ex0材P56，关于分

布函数的图形

0其它

请自行完成。

▲指数分布的性质(无记忆性)

若X服从指数分布，则：对任意的s,t0有：

P{XstXs}P{Xt}

若设X是某一元件的寿命，则上式表明：

元件对它已使用过s小时没有记忆

3.正态分布

正态分布是应用最广泛的

一种连续型分布.

数学家德莫佛最早发现了二项

分布的一个近似公式，这一公式被德莫佛

认为是正态分布的首次露面.

正态分布在十九世纪前叶由数

学家高斯加以推广，所以通常也称

为高斯分布.

高斯

(1).正态分布的定义

若随机变量X的概率密度为：

(x)2

12

f(x)e2,x

2

2

其中:和都是常数，任意,0

则称X服从参数为和2的正态分布

记作:X~N(,2)

f(x)所确定的曲线称为正态曲线.

(2).正态分布N(,2)的图形特点

正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线

特点是“两头小，中间大，左右对称”

正态分布N(,2)的图形特点

决定了图形的中心位置，

决定了图形中峰的陡峭程度.

(3)由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点

(x)2

12

f(x)e2,x

2

▲显然:f(x)0

即整个概率密度曲线都在x轴的上方.

▲f(x)以μ为对称轴，并在x处达到最大值:

1

f()

2

证明:令：

x1c,x2c(c0)

分别代入f(x)可得:

f(μ+c)=f(μ-c)

且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)

故得:f(x)以为对称轴，并在x处

达到最大值

▲f(x)以x轴为渐近线

因为：当x→∞时，f(x)→0

这说明：曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近

x轴。即f(x)以x轴为渐近线。

▲x=μσ为f(x)的两个拐点的横坐标

(对f(x)求导即可求得)

(4).正态分布的分布函数

由分布函数定义可得，若X～N(,2)

则X分布函数为：

(t)2

x

12

F(x)e2dt,x

2

其图形为:

(t)2

x

12

F(x)e2dt,x

2

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ

和σ不同时，对应的是不同的正态分布。

(5).标准正态分布

▲称0,1的正态分布为标准正态分布.

其密度函数和分布函数常用(x)和(x)表示：

x2

1

(x)e2,x

2

t2

1x

(x)e2dt其图形为:

2

(x)(x)

密度函数(x)分布函数(x)

▲标准正态分布的重要性

任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换

x

转化为标准正态分布.

2X

引理:若X～N(,),则:Z～N(0,1)

(一般正态分布与标准正态分布的关系)

X

证明:Z的分布函数为:

X

P(Zx)P(x)

作一个线

性变换P(Xx)

(t)2

x

12

e2dt

t

令u2

u2

1x

e2du(x)

2

即证得：Z～N(0,1)

▲由此可得:若X～N(,2),则其分布函数F(x):

Xx

F(x)P(Xx)P()

x

()

注

根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决

一般正态分布的概率计算问题。而现已编制了(x)的表，可供查

用。请见教材P263附表2

▲关于正态分布表

教材P263附表2为标准正态分布函数数值表，借助

于附表2，可以查表计算一般正态分布的概率问题。

t2

1x

(x)e2dt

2

表中给出的是x0时,

Φ(x)的值.

当x0时有：

xx(x)1(x)

注◆若X～N(0,1),则有：

P(aXb)(b)(a)

2X

◆若X~N(,),Y~N(0,1)

ab

则有：P(aXb)P(Y)

ba

()()

◆对任意区间

(x1,x2],则有：

x1Xx2

P(x1Xx2)P()

xx

(2)(1)

(6)3原则

由标准正态分布的分布函数表，查表计算

可以求得：

当X～N(0,1)时有：

P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544

P(|X|3)=2(3)-1=0.9974

这说明：X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间

内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%

将上述结论推广到一般的正态分布,有：

当Y~N(,2)时有：

P(|Y|)0.6826

P(|Y|2)0.9544

P(|Y|3)0.9974

可以认为：

Y的取值几乎全部集中在[3,3]

区间内。这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）

例如：下图是用某大学女大学生的身

高的数据画出的频率直方图:

红线

是拟

合的

正态

密度

曲线

可见，某大学女大学生的身高应服从正态分布。

除了前面介绍的身高外,在正常条件下年降雨量；

各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强

度和张力；农作物的产量，如小麦的穗长、株高；

测量误差，如射击目标的水平或垂直偏差；信号

噪声等等，都服从或近似服从正态分布.

例8.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正

态分布N(50,0.752),如果规定零件的长度在

501.5毫米之间为合格品.

求:生产零件是合格品的概率

解:X～N(50,0.752)所求的概率为：

P(X501.5)P(48.5X51.5)

51.55048.550

()()

0.750.75

(2)(2)(2)(1(2))

2(2)120.977210.9544

查附表2

例9.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的

容器内，调节器调整在d0C液体的温度X

(以℃计)是一个随机变量，且X~N(d,0.52)

(1)若d90,求X小于89的概率.

(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率

不低于0.99，问d至少为多少?

X908990

解:(1)P(X89)P()

0.50.5

(2)1(2)

10.97720.0228

(2).根据题意，所求的d应满足：

Xd80d

0.99P(X80)P()

0.50.5

Xd80d

1P()

0.50.5

80d

1()

0.5

80d

()10.990.01

0.5

反查正态分布表，由于表中无0.01的(x)的值

反查正态分布表，由于表中无0.01的(x)的值

故采用如下方法处理:

(u)1(u)(u)1(u)

现1(u)0.01(u)0.99

查表可知:u2.32

80d

由此可得:2.32

0.5

故得：d81.16

例10.某城市公共汽车车门的高度是按男子与车门

顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身

高X～N(170,62)

问：应如何确定车门高度

解:设车门高度为h（cm）

按设计要求即求满足：

P(X≥h)≤0.01

或P(X<h)≥0.99

的最小的h

求满足P(X<h)0.99的最小的h.

X170

因为:X～N(170,62),所以:~N(0,1)