7.4（0-1）参数分布的区间估计、7.5单侧置信区间（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第四节(0--1)分布参数的区间估计

这是一种特殊的离散型分布的区间估计，取自容

量n>50的大样本。取大样本的目的是意在利用

中心极限定理，使其近似服从标准正态分布.

问题:设总体X服从参数为p的(0---1)分布

1当事件A发生时

X

0当事件A不发生时

且P(X1)p,P(X0)1pq

即X的分布律为:

x1x

P(Xx)f(x;p)p(1p)x0,1

其中p为未知参数

求:p的置信水平为1的置信区间.

解:由已知，

E(X)p,D(X)2p(1p)pq

是一个大样本

X1,X2Xn,

所以由中心极限定理得:

n

Xnp

inXnp

i1~N(0,1)

np(1p)np(1p)

nXnp

P(zz)1

2np(1p)2

nXnp

由不等式:zz

2np(1p)2

znp(1p)nXnpznp(1np)

22

nXnpznp(1np)

2

nXnpznp(1np)

2

z

由韦达定理：

即pX2np(1np)

n

p1p22X,

z2

2

pXnp(1np)p1p2X

n2

z

由此可构造关于p的一个二次方程:2

22[np(1p)]

zn

f(p)p22Xp(X22[p(1p)])

np1,p2是关于

2

222p2pp的二次方

p2XpXzz

2n2n程的两个根。

22

zz

(21)p2(2X2)pX2

nn

2

z

210二次方程图形开口向上

n

22

zz

(21)p2(2X2)pX20

nn

2222

(zn)p(2nXz)pnX0

22

记：12

p1(bb4ac)即为二次方程

2a的两个根

1

p(bb24ac)

22a

其中：

222

a(zn),b(2nXz),cnX

22

得p的近似的置信度为1的置信区间为:

(p1,p2)

例6.从一大批产品中任取100件产品进行检验，发

现其中有60件是一级品。

试求：这批产品的一级品率p的置信度为95%

的置信区间.

解:由题意可知：一级品率p是(0---1)分布的参数

195%0.05

查表得：zz0.0251.96

2

60

又n100（大样本），X0.6

100

经计算得：

22

anz100(1.96)103.84

2

2

b(2nXz)

2

(21000.6(1.96)2)123.84

1

p(bb24ac)0.5020

12a

1

p(bb24ac)0.6906

22a

得一级品率p的置信度为95%的置信区间:

(0.5020,0.6906)

即用X0.6作为一级品率p的估计值的可靠程度

达到95%的区间为(0.5020,0.6906)

第五节单侧置信区间

问题的引出

前面介绍的置信区间中置信限都是双侧

的，但在有些实际问题，人们所关心的

只是参数在一个方向的界限。

例如，对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过

长没什么问题，过短就有问题了.

这时，可将置信上限取为

+∞,而只着眼于置信下限,

这样求得的置信区间称为

单侧置信区间.

一.单侧置信区间定义

定义:给定

(01),若由样本X1,X2Xn确定

的或

(X1,X2Xn)((X1,X2,Xn))

满足:P()1(或P()1)

则称随机区间:(,)(或(,))是

的置信度为1的单侧置信区间。称为置信

度为1单侧置信下限（或称为为置信度

置信度为1的单侧置信上限)

二.单侧置信区间的求法

思路:同双侧量区间的求法

不同处：在求单侧置信区间时不是查双侧分位

点，而是查单侧分位点。

例7.设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入

进行调查，现抽取20个家庭，所得的月平均收

入X234.7（元），s21590.85

试以95%的置信度估计该区域职工家庭人均月收

入的最低下限为多少？（单侧置信下限）

解:用表示职工家庭人均月收入,它是一个正态

随机变量

X表示测到的数值.

现要根据所抽取的20个家庭所得的月平均收入

的数据，在方差未知的条件下求E(X)的

单侧置信下限。

由题设可知:

的置信度为1的单侧置信下限为:

sX

Xt(n1)（取~t(n1)）

ns

n

X234.7统计量

s1590.85

8.92

n20