2022年厦门大学高等代数模拟试卷（高清电子版）

2022年厦门大学高等代数模拟试卷（高清电子版）（厦门大学高等代数模拟试卷（150分））一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α在基B下的坐标为(1,2,3)^(T)，若将基B变为基B'，且B'与B的关系为B'={β₁+β₂,β₂+β₃,β₃+β₁}，则向量α在基B'下的坐标为（）A.(2,1,1)^(T)B.(1,1,2)^(T)C.(1,2,1)^(T)D.(2,2,1)^(T)2.设A是n阶实对称矩阵，且满足A²-A=0，则A的秩为（）A.必为0B.必为nC.必为n-1D.可能为n-1也可能为n3.设T是线性空间V上的线性变换，若T有特征值λ，则下列说法正确的是（）A.V中存在非零向量β，使得T(β)=λβ且T²(β)=λ²βB.V中存在唯一向量β，使得T(β)=λβC.T的像空间V₁=Im(T)中存在非零向量β，使得T(β)=λβD.T的核空间Ker(T)中存在非零向量β，使得T(β)=λβ4.设A是n阶矩阵，且A的伴随矩阵A≠0，则下列命题正确的是（）A.A可逆B.A不可逆C.A的秩为n-1D.A的秩为15.设W是线性空间V的子空间，B是W的一个基，若B={β₁,β₂,β₃}，且B扩充为V的基B'={β₁,β₂,β₃,β₄}，则向量α=(1,1,1,1)^(T)在子空间W'={λβ₁+μβ₂+νβ₃|λ,μ,ν∈R}中的坐标为（）A.(1,1,1)^(T)B.(1,0,0)^(T)C.(0,1,0)^(T)D.(0,0,1)^(T)6.设A是n阶可逆矩阵，B是n阶矩阵，且满足AB=BA，则下列运算错误的是（）A.(A+B)²=A²+2AB+B²B.|AB|=|BA|C.(A+B)⁻¹=A⁻¹+B⁻¹D.A⁻¹B=B⁻¹A7.设T是线性空间V上的线性变换，且T²=T，则下列说法正确的是（）A.T是恒等变换B.T是零变换C.V中存在唯一向量β，使得T(β)=βD.V中存在非零向量β，使得T(β)=β8.设A是n阶矩阵，且A²=I，则下列命题正确的是（）A.A可逆B.A的特征值只能是±1C.A的秩为nD.A的伴随矩阵A等于A或-I9.设W是线性空间V的子空间，B是W的一个基，若B扩充为V的基B'={β₁,β₂,β₃,β₄}，且向量α=(1,1,1,1)^(T)在子空间W'={λβ₁+μβ₂+νβ₃|λ,μ,ν∈R}中的坐标为（）A.(1,1,1)^(T)B.(1,0,0)^(T)C.(0,1,0)^(T)D.(0,0,1)^(T)10.设A是n阶矩阵，且A的秩为n-1，则下列命题正确的是（）A.A的伴随矩阵A等于A或-2AB.A的特征值中只有一个为0C.A的行向量组中存在一个向量可由其他向量线性表出D.A的列向量组中存在一个向量可由其他向量线性表出二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设V是实数域R上的四维线性空间，B={β₁,β₂,β₃,β₄}是V的一个基，向量α在基B下的坐标为(1,2,3,4)^(T)，若将基B变为基B'，且B'与B的关系为B'={β₁+β₂,β₂+β₃,β₃+β₄,β₄+β₁}，则向量α在基B'下的坐标为__________。2.设A是n阶矩阵，且A²=I，则A的特征值只能是__________。3.设T是线性空间V上的线性变换，且T²=T，则V中满足T(β)=β的向量β的全体构成V的一个__________。4.设W是线性空间V的子空间，B是W的一个基，若B扩充为V的基B'={β₁,β₂,β₃,β₄}，且向量α=(1,1,1,1)^(T)在子空间W'={λβ₁+μβ₂+νβ₃|λ,μ,ν∈R}中的坐标为（1,0,0）^(T)，则W'的维数为__________。5.设A是n阶矩阵，且A的伴随矩阵A≠0，则A的秩为__________。6.设T是线性空间V上的线性变换，且T有特征值λ，则V中存在非零向量β，使得T(β)=λβ的充分必要条件是__________。三、解答题（共6题，共70分）1.(10分)设A是n阶矩阵，且A²=I，证明A的特征值只能是±1。2.(10分)设V是实数域R上的三维线性空间，B={β₁,β₂,β₃}是V的一个基，向量α在基B下的坐标为(1,2,3)^(T)，若将基B变为基B'，且B'与B的关系为B'={β₁+β₂,β₂+β₃,β₃+β₁}，求向量α在基B'下的坐标。3.(10分)设W是线性空间V的子空间，B是W的一个基，若B扩充为V的基B'={β₁,β₂,β₃,β₄}，且向量α=(1,1,1,1)^(T)在子空间W'={λβ₁+μβ₂+νβ₃|λ,μ,ν∈R}中的坐标为（1,0,0）^(T)，求W'的维数。4.(10分)设T是线性空间V上的线性变换，且T²=T，证明V中满足T(β)=β的向量β的全体构成V的一个子空间。5.(10分)设A是n阶矩阵，且A的伴随矩阵A≠0，证明A的秩为n或n-1。6.(10分)设T是线性空间V上的线性变换，且T有特征值λ，证明V中存在非零向量β，使得T(β)=λβ的充分必要条件是λ是T的特征值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：向量α在基B'下的坐标为B'的逆矩阵乘以α在基B下的坐标向量。B'的逆矩阵为(1/2)×[(111;111;111)],所以α在基B'下的坐标为(2,1,1)^(T)。2.B解析：由A²-A=0得(A-I)A=0，因为A是实对称矩阵，所以A可对角化，且(A-I)A=0意味着A的特征值只能是0或1，又因为A非零，所以A的特征值只能是1，故A的秩为n。3.A解析：由T有特征值λ得存在非零向量β，使得T(β)=λβ，则T²(β)=T(T(β))=T(λβ)=λT(β)=λ²β。4.C解析：由A≠0得|A|≠0，而|A|=|A|^(n-1)，所以|A|^(n-1)≠0，即|A|≠0，故A的秩为n-1。5.B解析：向量α在子空间W'中的坐标为W'的逆矩阵乘以α在基B'下的坐标向量，而α在基B'下的坐标为(1,0,0,0)^(T)，所以α在子空间W'中的坐标为(1,0,0)^(T)。6.C解析：(A+B)⁻¹=(A⁻¹+B⁻¹)当且仅当AB=BA且A、B可逆，而题目仅给出AB=BA，所以不一定成立。7.D解析：由T²=T得T(T(β))=T(β)，即T(β)属于T的像空间，又因为T是线性变换，所以T的像空间是V的子空间，故T(β)属于T的像空间，且T的像空间是V的子空间，所以V中存在非零向量β，使得T(β)=β。8.B解析：由A²=I得A的特征值只能是±1，否则设λ是A的特征值，则A(α)=λα，则A²(α)=A(λα)=λ²α，又因为A²=I，所以λ²α=α，即(λ²-1)α=0，又因为α非零，所以λ²-1=0，即λ=±1。9.B解析：同第5题。10.D解析：A的秩为n-1，所以A的行向量组中存在一个向量可由其他向量线性表出。二、填空题1.(1,1,1,1)^(T)解析：同第1题单选题解析。2.±1解析：同第8题单选题解析。3.子空间解析：同第7题单选题解析。4.2解析：由向量α在子空间W'中的坐标为（1,0,0）^(T)得W'的维数为2。5.n或n-1解析：同第4题单选题解析。6.λ是T的特征值解析：同第3题单选题解析。三、解答题1.证明：由A²=I得(A-I)A=0，因为A是n阶矩阵，所以(A-I)和A都是n阶矩阵，且(A-I)A=0，所以|A-I||A|=0，即|A|(|A|-1)=0，所以|A|=0或|A|=1，若|A|=0，则A不可逆，若|A|=1，则A可逆，又因为A的特征值是|A|的n次方根，所以A的特征值只能是±1。2.解：同第1题单选题解析。3.解：同第5题单选题解析。4.证明：设V中满足T(β)=β的向量β的全体为W，显然β=0时，T(0)=0=β，所以0∈W，设β₁,β₂∈W，则T(β₁)=β₁，T(β₂)=β₂，T(β₁+β₂)=T(β₁)+T(β₂)=β₁+β₂，所以β₁+β₂∈W，设λ∈R，β∈W，则T(λβ)=λT(β)=λβ，所以λβ∈W，故W是V的子空间。5.证