【2022考研】东南大学高等代数期中试卷（含答题卡）

【2022考研】东南大学高等代数期中试卷（含答题卡）一、单项选择题（共10题，每题5分，共50分）1.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶矩阵，则下列运算中错误的是（）A.(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹B.|A|B=|B|AC.(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀD.(A+B)⁻¹=A⁻¹+B⁻¹2.已知向量α=(1,2,3)，β=(1,k,1)，若α与β线性相关，则k的值为（）A.1B.2C.3D.43.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为3和2，则下列说法正确的是（）A.W的基可以扩展为V的基B.V的基可以收缩为W的基C.W中任意向量都可以由V中基线性表示D.V中任意向量都可以由W中基线性表示4.设T为线性空间V上的线性变换，α₁,α₂为V中线性无关向量，若T(α₁)=β₁，T(α₂)=β₂，且β₁,β₂线性无关，则下列结论正确的是（）A.α₁,α₂是T的核中的基B.T的值域包含α₁,α₂的线性组合C.T的核的维数为1D.T的值域的维数为25.已知矩阵A=diag(1,2,3)，B=diag(3,2,1)，则|AB|等于（）A.6B.12C.18D.246.设A为n阶矩阵，且A²=A，则下列结论不一定成立的是（）A.A的秩为A的迹B.A的值域等于A的核的补空间C.A的核包含于A的值域D.A的幂等分解为A=PDP⁻¹，其中D为对角矩阵7.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,1,0)，α₃=(1,0,0)，则该向量组的秩为（）A.1B.2C.3D.无法确定8.设T为线性空间V上的线性变换，α为V中非零向量，若T(α)=α，则α称为T的（）A.特征向量B.核向量C.值域向量D.基向量9.已知矩阵A=[aᵢⱼ]为4阶矩阵，且a₁₁=a₂₂=a₃₃=a₄₄=1，aᵢⱼ=0(i≠j)，则|A|等于（）A.1B.2C.3D.410.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和1，则下列说法正确的是（）A.W是V的唯一子空间B.V的任意基都包含W的基C.W中任意向量都是V的基向量D.V中任意向量都可以由W中基线性表示二、填空题（共6题，每题5分，共30分）1.设A为3阶矩阵，B为2阶矩阵，且|A|=2，|B|=3，则|3AB|等于________。2.已知向量α=(1,2,3)，β=(1,k,1)，若α与β正交，则k等于________。3.设V为4维线性空间，W为V的子空间，维数分别为2和1，则W的补空间V/W的维数为________。4.设T为线性空间V上的线性变换，α为V中非零向量，若T(α)=2α，则α称为T的________向量，对应特征值为________。5.已知矩阵A=[aᵢⱼ]为4阶矩阵，且a₁₁=a₂₂=a₃₃=a₄₄=1，aᵢⱼ=0(i≠j)，则A的逆矩阵A⁻¹等于________。6.设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和1，则W在V中的投影变换T的核的维数为________。三、解答题（共6题，共70分）1.(10分)设A为3阶矩阵，且A²=A，证明A的秩为A的迹。2.(10分)已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,1,0)，α₃=(1,0,0)，求该向量组的秩，并给出一个最大无关组。3.(10分)设T为线性空间V上的线性变换，α为V中非零向量，若T(α)=α，证明α称为T的特征向量的充要条件是存在标量λ，使得T(α)=λα。4.(10分)已知矩阵A=[aᵢⱼ]为4阶矩阵，且a₁₁=a₂₂=a₃₃=a₄₄=1，aᵢⱼ=0(i≠j)，求A的逆矩阵A⁻¹。5.(15分)设V为4维线性空间，W为V的子空间，维数分别为2和1，求W的补空间V/W的基，并给出一个线性变换T，使得T的核等于W。6.(15分)设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和1，证明W在V中的投影变换T是线性变换，并求T的核和值域。四、证明题（共4题，共30分）1.(10分)设A为n阶矩阵，且A²=A，证明A的秩为A的迹。2.(10分)设T为线性空间V上的线性变换，α为V中非零向量，若T(α)=α，证明α称为T的特征向量的充要条件是存在标量λ，使得T(α)=λα。3.(10分)设V为4维线性空间，W为V的子空间，维数分别为2和1，证明存在一个线性变换T，使得T的核等于W。4.(10分)设V为n维线性空间，W为V的子空间，维数分别为n和1，证明W在V中的投影变换T是线性变换。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：矩阵乘法不满足交换律，因此(A+B)⁻¹≠A⁻¹+B⁻¹。其他选项均正确，因为可逆矩阵的逆矩阵满足交换律、结合律和单位元性质。2.B解析：α与β线性相关，则存在不全为零的k₁,k₂使得k₁α+k₂β=0。取k₁=1,k₂=-1，得(1,2,3)-(1,k,1)=(0,2-k,2)=0，解得k=2。3.A解析：由维数公式dim(V)=dim(W)+dim(W⊥)，得dim(W⊥)=n-2。因此W的基可以扩展为V的基。4.D解析：由题意知T将线性无关的α₁,α₂映射为线性无关的β₁,β₂，因此T的值域维数为2。5.C解析：|AB|=|A||B|=1×2×3=6。6.B解析：A的秩可以小于A的迹。例如A=diag(1,1,0)，则秩为2，迹为2。7.B解析：向量组中前三者线性无关，因此秩为2。8.A解析：由线性变换定义，α称为T的特征向量当且仅当存在标量λ使得T(α)=λα。9.1解析：矩阵A为对角矩阵，其逆矩阵为diag(1,1,1,1)。10.B解析：W的基可以扩展为V的基，因为维数关系dim(V)=dim(W)+dim(W⊥)。二、填空题1.18解析：|3AB|=3⁴|A||B|=81×6=486。2.-2解析：α与β正交，则α•β=1+2k+1=0，解得k=-1。3.3解析：由维数公式dim(V)=dim(W)+dim(W⊥)，得dim(W⊥)=4-1=3。4.特征，2解析：α称为T的特征向量当且仅当存在标量λ使得T(α)=λα，此处λ=2。5.diag(1,1,1,1)解析：由矩阵定义，A的逆矩阵为diag(1,1,1,1)。6.n-1解析：由维数公式dim(V)=dim(W)+dim(W⊥)，得dim(W⊥)=n-1。三、解答题1.证明：由A²=A，得A(A-I)=0。因此rank(A)≤rank(A-I)。又rank(A)+rank(A-I)≥n（矩阵秩的性质）。由A²=A，得A=A²=A(A-I)≤A²，因此rank(A)=rank(A²)。由A²=A，得I-A也是幂等矩阵，因此rank(I-A)=(n-rank(A))。由rank(A)+rank(A-I)≥n，得rank(A)=A的迹。2.解：向量组线性无关，因此秩为3。最大无关组为{α₁,α₂,α₃}。3.证明：必要性：若α是T的特征向量，则存在λ使得T(α)=λα。充分性：若存在λ使得T(α)=λα，则T(α)-λα=0，即(T-λI)α=0。因为α非零，所以T-λI不可逆，即α是T的特征向量。4.解：由矩阵定义，A=diag(1,1,1,1)。因此A⁻¹=diag(1,1,1,1)。5.解：W的补空间V/W的基为{α₁-β₁,α₂-β₂}。线性变换T：T(α)=α-β，核为W。6.证明：T是线性变换当且仅当T(α+β)=T(α)+T(β)且T(kα)=kT(α)。由投影定义，T(α+β)=β，T(kα)=kβ，因此T是线性变换