湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题（含解析）

湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.0 C.或 D.1【答案】C【解析】【详解】解：，或，解得或，经检验符合题意，或．2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】不等式可化为，整理得，解得，即该不等式的解集为.分式不等式等价于，解得，即该不等式的解集为.因为不包含于，也不包含于，所以是既不充分也不必要条件.3.已知等差数列满足，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由等差数列的下标和性质求解.【详解】由等差数列的性质，，由题知，则.4.下列各组函数是同一函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】C【解析】【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论.【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数.选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数.选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数.选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数.5.已知，则下列各不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判断A、B、C选项的正误，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误；对于B选项，取，，则，B选项错误；对于C选项，若为负数，则无意义，C选项错误；对于D选项，，则，所以，D选项正确.故选：D.本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质与基本不等式的应用，属于基础题.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，排除错误选项B，再利用特殊点法，排除错误选项AC，进而得解.【详解】根据题意，令，则的定义域为R，又，所以为奇函数，排除B；当时，，排除C；当时，，排除A.故选：D.识图常用的方法（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；（2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.8.已知函数的定义域为，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后结合赋值法求出，，再研究函数的周期性，即可得到问题的答案.【详解】因为函数的定义域为，且①，①式中，用替换，可得：②由①②得：，所以函数为偶函数.①式中，令，可得：；另：令，可得：，所以；令可得：，所以；令可得：，所以.①式中，用替换，可得：，迭代可得：，即.所以，故是以6为周期的周期函数.所以，，所以.故选：D方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值，这往往是问题的突破口.二、多选题9.已知函数，其导函数为，则（）A.是奇函数 B.是偶函数C.在上单调递减 D.“是周期函数”的否定是真命题【答案】ABD【解析】【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D.【详解】已知函数，其导函数为，则，对于A，由于，所以是奇函数，故A正确；对于B，由于，所以是偶函数，故B正确；对于C，由于，令，则，再令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，即；当时，，即；所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误；对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有，即，化简得，显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾，因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题，所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确.10.下列四个命题中正确的是（）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素【答案】BC【解析】【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D.【详解】解：对于选项A，当都是正数时，原式当都是负数时，原式当两正一负时，原式当两负一正时，原式故A错误；对于选项B，由，得，所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；对于选项C，由，，，可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；对于选项D，当时，；当时，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误.故选：BC.11.已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.2是的一个周期C.图象关于对称 D.【答案】ACD【解析】【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确.【详解】令，因为为奇函数，所以，即，令，解得，即，

得到，即，所以关于点中心对称.因为为偶函数，所以，即，关于直线轴对称.由轴对称得，

由中心对称得，

联立得，把换成得到，

则，所以的周期，故B错误.因为的对称中心为，所以，

又周期，

，，由，令得到，即，即，

所以图象关于对称，C正确.由，则，

又，则，

则，对比，

得到，即，

所以是偶函数，A正确.周期，先看一个周期内，

由，令得到，

由为奇函数，令得到，

又都是对称中心，故，一个周期：，

中，有项，包含个完整周期加上，

个周期的和为，

又，，故，

所以每项之和为，前项和为，

余下两项，因为，所以，解得，则，D正确.三、填空题12.若集合，且，则实数a取值的集合为______【答案】【解析】【分析】根据题意可知：集合可以是，逐一分析求解即可.【详解】由，所以集合可以是，当时，则，解得；当时，可得；当时，可得；所以取值的集合为.故答案为：.13.若关于的不等式在上恒成立，则__________．【答案】【解析】【分析】结合题设，转化不等式恒成立，分类讨论即可求出答案.【详解】不等式在上恒成立，当，即时，，即恒成立，所以；当，即时，，即恒成立，所以；综上.14.函数，，给出下列四个结论：①函数的值域为；②时，存在区间，使得在上单调递减；③时，至少有一个极值点；④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为．其中正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】对于①：根据对数函数的值域分析判断即可；对于②：分析可知在，内单调递增，即可判断；对于③：根据单调性分析极值点即可；对于④：解得、、，然后分类讨论进行求解.【详解】对于①：当时，则且可以取到全体正实数，可知在内的值域为，即函数的值域为，故①正确；对于②：若，，当时，在单调递增；当时，在单调递增；所以不存在区间，使得在上单调递减，故②错误；对于③：当时，，，因为时，在单调递增，在单调递减，可知是函数的一个极值点，所以至少有一个极值点，故③正确；对于④：方程，则，或者，解得、、.当时，，、、分别解得、、，三个解均满足条件；（i）当时，，，在上单调递增，（舍去），（舍去），，所以关于方程的解集有个元素，所以不符合.（ii）当时，，当时，在单调递增，在单调递减，，，所以有个解，此时、均至少有个解，则关于方程的解集至少有个元素，所以不符合.（iii）当时，，当时，在单调递增，，此时恒成立，即无解，则需、均有一解，所以，解得.综上所述，的取值范围是，所以④正确.四、解答题15.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.（2）根据余弦定理可得，由可得，进而可得面积.【小问1详解】在中，由正弦定理，又，所以，即，解得；【小问2详解】由（1）得，则，又由余弦定理，，解得，所以.16.如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点．（1）证明：直线平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明：取的中点，连接、、，则，且，即，又因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，则，，又平面，平面，所以直线平面.（2）【解析】【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面；（2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】略【小问2详解】在直四棱柱中，底面，且，如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设是平面一个法向量，则，，，取得为平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，，取得为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，那么，所以平面与平面夹角的余弦值为．17.在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，.（1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良100成绩一般100合计（2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为，求的分布列与期望.参考公式与数据：，其中.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）补全列联表如下：有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关.（2）的分布列为：123期望.【解析】【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论；（2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望.【小问1详解】由题可知，，，所以，得，又，所以，得，结合已知可得列联表：

有固定阅读习惯无固定阅读习惯合计成绩优良8020100成绩一般4060100合计12080200零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系.因为，所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立，即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过.【小问2详解】有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人，所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人，则的可能取值为：，，，，所以的分布列为：123期望.18.已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．【答案】（1）（2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，，由，得，，所以，．因直线的斜率分别为，因为则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ）【解析】【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值.【小问1详解】由可得①由点在上，则②联立①②得，，所以椭圆C的方程为；【小问2详解】（ⅰ）略（ⅱ）因，则，令，设，则，所以在上单调递减，则，故当，即时，取到最大值.19.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）已知在上的最小值为2，求k的值；（3）若恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数，分和研究单调性；（2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值；（3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可.【小问1详解】由