第一讲 圆的基本性质（题型突破+专题精练）（解析版）

一❸题型突破<—专题训练一

题型一圆周角与圆心角

【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断.

【解析】VZFEG=50°,

若P点圆心，

.,.ZFPG=2ZFEG=100°.

故选：C.

2.如图，点A8,C,O,E在©0上，A8=8,NAO8=42。，则NCEO=()

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【分析】

先证明AB=C。,再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案.

【详解】

解：•••点在00上，A3=CO,乙404=42。,

AB=CD,

?.ZCED=-ZAOB=-x42°=21°,

22

故选：D.

【点睛】

本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌

握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键.

3.如图，AB为。0的直径，点C,点D是。0上的两点，连接CA,CD,AD.若NCAB=40°,

则NADC的度数是（）

A.110°B.130°C.140°D.160°

【分析】连接BC,如图，利用圆周角定理得到NACB=90°,则NB=50°,然后利用圆的

内接四边形的性质求/ADC的度数.

【解析】如图，连接BC,

•.,AB为。。的直径，

AZ/\CB=90°,

AZB=900-ZCAB=90q・40°=50°,

VZB+ZADC=180°,

AZADC=180°-50°=130°.

4.如图，00中，OC±AB,ZAPC=28°,则NBOC的度数为（）

'B

A.14°B.28°C.42°D.56°

【分析】根据垂径定理，可得及=就，NAPC=28°,根据圆周角定理，可得NBOC.

【解析】•・•在。0中,0C1AB.

/.AC=BC,

VZAPC=28°,

，NB0C=2NAPC=56°,

故选：D.

5.如图，正方形AKD内接于0O,点P在A8上，则/尸的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【分析】

连接OB,0C,由正方形ABCD的性质得N3OC=90°,再根据圆周角与圆心角的关系即可得

出结论.

【详解】

解：连接OB,0C,如图，

•.•正方形ABCD内接于

:.ZBOC=90°

：.ZBPC=-Z.B0C=-x90°=45°

22

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.

6.如图，A,B,C是半径为1的00上的三个点，若AB=0,ZCAB=30°,则NABC的度

数为()

A.95°B.100°C.105°I).110°

【答案】C

【分析】

连接OB,0C,根据勾股定理逆定理可得NA()B=90°,ZABO=ZBAO=45°,根据圆周角定

理可得NC0B=2NCAB=60°,Z0BC=Z0CB=60°,由此可求得答案.

【详解】

解;如图,连接OR,OC,

AB

VOA=OB=1,AB=Q,

.*.0A2+0B2=AB2,

.\ZA0B=90o,

XVOA=OB,

.,.ZABO=ZBAO=45°,

VZC/\B=30°,

.,.ZCOB=2ZCAB=60°,

又•.•OC=OR,

Z0BC=Z0CB=60o.

Z/\BC=ZABO-I-ZOBC=105°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解

决本题的关键.

7.如图，四边形A8CD是0。的内接四边形，BE是。。的直径，连接八月.若

/BCD=2ZBAD,则ZDAE的度数是（）

【答案】A

【分析】

先根据圆内接四边形的性质可得/刚。=60。，再根据圆周角定理可得NB4E=90。，然后

根据角的和差即可得.

【详解】

解：••四边形ABC。是。的内接四边形，

.•.Z^CD+Z^AD=I8O°.

•:NBCD=2NBAD.

：.Z5AD=-xl8（）o=60°.

3

•BE是。的直径，

ZBAE=90°.

/.ZDAE=ZBAE-ZBAD=90°-60°=30°，

故选：A.

8.如图，AB是。。的直径，AC,BC是。0的弦，若NA=20。，则D"的度数为（）

A.70°B.90°C.40°D.60°

【答案】A

【分析】

直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可.

【详解】

•••AB是。。的直径,

AZACB=90°，

・••在RtZXABC中,ZB=90°-ZA=70°,

故选：A.

【点睛】

本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键.

9.如图，OO的半径OB为4，OC_LAB于点O,ZBAC=30°,则。。的长是（

A.V2B.GC.2D.3

【答案】C

【分析】

根据圆周角定理求出/COB的度数，再求出/OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边

等于斜边的一半”求出01)的长度.

【详解】

ZBAC=30°,

/.ZC0B=60°,

VZ0DB=90°.

AZ0BD=30°，

V0B=4,

.,.0D=-0B=-x4=2.

22

故选：C.

【点睛】

木题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键.

10.如图，C,。是0。上直径A3两侧的两点.设NABC=25。，则NBDC=()

【答案】D

【分析】

先利用直径所对的圆周角是直角得到NACB=90",从而求出NBAC,再利用同弧所对的圆周

角相等即可求出NBDC.

【详解】

解：・・・C,D是。0上直径AB两侧的两点，

AZACB=90°,

VZABC=25°,

/.ZBAC=90°-25°=65°,

.\ZBDC=ZBAC=65",

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相

等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法.

11.如图，点A,B,C是。。上的三点.若NAOC=90。,N84C=30。,

大小为（）

0A.

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】

首先根据圆周角定理求得N80C的度数，根据NAOC的度数求

ZAOB=ZAOC-N8OC即可.

【详解】

解：•••NBACuBO。

AZB0C=2ABAC=2x30°=60°,

ZAOC=90°,

\?AOB?AOC?BOC90?60?307,

故选:B.

【点睛】

考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得NBOC的度数是颦题的关键.

12.如图，在00中，A8是直径，弦AC的长为5cm,点。在国上，且N/VX?=30°,贝打0

的半径为.

【答案】5cm

【分析】

连接BC,由即意易得乙4BC=/AnC=30。，进而问题可求解.

【详解】

解：连接BC,如图所示：

/ZADC=30°,

,・ZABC=ZAZX?=30°,

・•A4是直径,

•・ZACT=90°.

/AC=5cm,

*.AB=2AC=1Ocm，

・•・00的半径为5cm：

故答案为5cm.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角

三角形的性质是解题的关键.

13.如图，"8C内接于。。，NA=50。，点。是8C的中点，连接0。，OB,OC,

则N80D=.

【分析】

网上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答

案.

【详解】

解：根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，

ZA=-ZBOC,

2

:.ZBOC=100°,

・；OB=OC,

80c为等腰三角形，

又•.•点。是的中点，根据等腰三角形三线合一，

.•.OO为N80C的角平分线，

..^BOD=50P,

故答案是：50°.

【点睛】

本题考套了弦长所对应的圆周角等丁•圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关

键是：根据性质求出NBOC,再利用角平分线或三角形全等都能求出解.

14.如图，在Rlz^ABC中，ZABC=90°,NA=32°,点B、C在©O上，边AB、AC分别交。。

于【)、E两点，点B是。。的口点，则/ABE=.

【分析】

如图，连接DC、先证明NBDC=4BCD,再证明ZABE=ZACD,利用三角形的外角可得:

/BDC=NA+ZACD=44+ZABE,再利用直角三角形中两锐角互余可得：

2/BDC=90。-2(NA+ZABE),再解方程可得答案.

【详解】

解：如图，连接。C,

・.・8是CO的中点，

/.BD=BC,ZBDC=/BCD、

•:DE=DE,

:.ZABE=ZACD,

：.ZBDC=ZA+ZACD=ZA+NABE,

=90°,ZA=32°,

2N8DC=90。-2(ZA+ZA的)，

故答案为：13°.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定

理的含义是解题的关键.

15.如图，oo是ABC的外接圆，连接A0并延长交0。于点。，若/C=50°,则ZBAD

的度数为.

【答案】40°

【分析】

连接BD,则/C=/O.再根据AD为图径，求得NKAD的度数

【详解】

如图，连接BD,则ND=NC=50。

VAD为直径

:.ZABD=90°

二ZBAD=90°-ZD=90°-50°=40°

故答案为40。

【点睛】

此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问

题的关健.

16.点。是AA8C1的外心，若N8OC=110°,则"AC为.

【答案】55°或125°

【分析】

根据点A与点。在3c边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解

答即可.

【详解】

解：分两种情况：

（1）点A与点。在BC边同侧时，如下图：

■:ZBOC=110

/.ZBAC=110xl=55

2

（2）点A与点。在BC边两侧时，如下图:

VZBOC=1\0，即8。所对的圆心角为110

所对的圆心角为：360-110=250

AZBAC=-x250=125

2

故答案为；55或125

【点睛】

本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键.

17.如图，已知A8是。。的直径，NAC/J是A。所对的圆周用，NAC0=3U，

D

OB

C

(l)求NDAA的度数；

(2)过点。作£>E_LA4,垂足为E，OE的延长线交。。于点”.若A5=4,求。”的

长.

【答案】(1)60°；(2)2/

【分析】

(1)连结80,根据圆周角性质，得N8=NACD：根据直径所对圆周角为直角、直角三

角形两锐角互余的性质计算,即可得到答案：

(2)根据含30。角的直角三角形性质，得AO=，AB：根据垂径定理、特殊角度三角函数

2

的性质计算，即可得到答案.

【详解】

(1)连结BO，

vZACD=30°

\?R?ACD30?

QA8是。的直径，

.♦.408=90。，

N/144=90。-N4=60。

(2)vZ4DB=90°.ZB=30°,AB=4

AD=^AB=2

，NZMB=60°,DE工AB,且AB是直径

.-.EF=DE=ADsin60J=73

/.DF=2DE=26.

【点睛】

本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、

垂径定理、含30。角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求

解.

题型二切线定理

18.如图，。。的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，DE与。。相切于点E,并与AM,BN

分别相交于DC两点，BD,CC相交于点F,若8=10,则BF的长是

10而「8后n10V15

A.晅DR.1*・lx•

9999

【答案】A

【分析】

过点D作DG_LBC丁点G,延长C0交DA的延长线丁点H,根据勾股定理求得GC=6，即可

得AD=BG=2,BC=8,再证明△HAOg/XBCO,根据全等三角形的性质可得AH=BC=8,即可求得

HD=10；在RtZXABD中,根据勾股定理可得8。=2/万；证明△DHFS/\BCF,根据相似三

角形的性质可得空=空，由此即可求得3尸=生叵.

BCBF9

【详解】

过点D作DG1BC于点G,延长C0交DA的延长线于点H,

•••AM,BN是它的两条切线，DE与OO相切于点E,

.\AI)=DE,BC=CE,ZDAB=ZAEC=90°,

VDG±BC,

・•・四边形ABGD为矩形，

AAD=BG,AB=DG=8,

在RtZSDGC中,CI)=10,

-GC=ylCD2-DG2=Vw2-82=6»

••'AD二DE,BC=CE,CD=1O,

.'.CD=DE+CE=AD+BC=10,

AAD+BG+GC=10,

AAD=BG=2,BC=CG+BG=8,

VZDAB=ZABC=90°,

，AD〃BC,

/.ZAH0=ZBC0,ZHA0=ZCBC,

VOA=OB,

.-.△HAO^ABCO,

AAH=BC=8,

VAD=2,

AHD=AH+AD=10；

在Rt^ABD中,AD=2,AB=8,

：•BD=\lAB2+AD2=A/82+22=2717»

•・・AD〃BC,

.,.△DHF^ABCF,

DHDF

.•---=，

BCBF

.102y/n-I3F

••--=I

8BF

解得，BF空

故选A.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形

的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.

19.如图，PA./曲分别与O。相切于A、B，NP=70。，C为。。上一点，则NA6的

度数为（）

A.110°B.120°C.125°D.130°

【答案】C

【分析】

由切线的性质得出N0AP=N0EP=90°,利用四边形内角和可求/A0B=U0°,再利用圆周角

定理可求NADB=55°,再根据圆内接四边形对角互补可求NACB.

【详解】

解：如图所示，连接0A,0B,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,

・・・AP、BP是切线,

AZ0AP=Z0BP=90a,

AZA0B=360°-900-90"-7C°=110°，

：.ZADB=55°,

又•••圆内接四边形的对角互补,

.,.ZACB=1800-ZADB=180°-55°=125°.

【点睛】

本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质.解题的关键是连接OA、0B,

求出NAOB.

20.如图，与正五边形A5C0E的两边AK,C。相切于AC两点，则4OC的度数是

()

A.144°B.130°C.129°D.108°

【答案】A

【分析】

根据切线的性质，可得NOAE=90°,NOCD=90°,结合正五边形的每个内角的度数为108°,

即可求解.

【详解】

解：TAE、CD切。0于点A、C,

AZ0AE=90o,ZOCD=90°,

・••正五边形ABCDE的每个内角的度数为：(5-2)x180。二河,

5

r.ZAOC=540°-90°-90°T08°-108°=144°,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查正多边形的内知和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和

定理是解题的关键.

21.如图，在。。中，A8切0。于点A，连接。8交0。于点C，过点A作AO//O3交

OO于点连接CO.若25=50%则NOCD为（）

A.15°B.20°C.25°1).30°

【答案】B

【分析】

连接OA,根据A8与G）O相切易得NQ4B=90。，在心VQ4B中，已知4=500,可以

求出NAO8的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出的度数，最后根

据A。//O8可得ZOCD=ZADC.

【详解】

如下图，连接OA,

•・•45切于点A，

・•・ZOAB=90°,

在mV0A8中,

V4=50°,

・•・ZAOB=40°,

・•・ZAZ)C=20°,

又•・,ADUOB,

.♦・NOCD=ZADC=20。.

故选:B.

【点睛】

本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关

键.

22.如图，等边三角形ABC的边长为4,C的半径为石，P为A3边上一动点，过点P作GC

的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.

【答案】3

【分析】

连接0C和PC,利用切线的性质得到CQ_LPQ,可得当CP最小时，PQ最小，此时CP_LAB,再

求出CP,利用勾股定理求出FQ即可.

【详解】

解：连接QC和PC,

2PQ和圆C相切,

ACQ1PQ,即4CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，

・••当CP最小时，PQ最小,

•.•△ABC是等边三角形，

，当CP_LAB时,CP最小,此时CP_LAB,

VAB=BC=AC=4,

.*.AP=BP=2,

•*-CP=JAC2-AP-=25

•••阿C的半径CQ=G，

；・PQ=yJCp2_CQ2=3,

故答案为：3.

本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助

线的作法，注意得到当PC_LAB时，线段PQ最短是关键.

23.如图，已知0。的半径为，点?是0O外一点，且00=2.若夕丁是OO的切线，T

为切点，连接07，，则P7=

【答案】&

【分析】

根据圆的切线的性质，得NO7P=90。，根据圆的性质，得"=1,再通过勾股定理计知

即可得到答案.

【详解】

...尸丁是：Q的切线，丁为切点

・•・ZO7P=90°

♦,・PT=>IOP1-OT1

•/O的半径为1

，OT=\

:・PT=ylOP^-OT2=V22-1=百

故答案为：⑺.

【点睛】

本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质,

从而完成求解.

24.如图，正方形A8C7）的边长为4,:Q的半径为1.若O在正方形A8C。内平移（O

可以与该正方形的边相切），则点A到OO上的点的距离的最大值为_____.

【答案】372+1

【分析】

由题意易得当O与BC、CD和切时，切点分别为F、G,点A到O上的点的距离取得最大，

进而根据题意作图，则连接AC,交O于点E,然后可得AE的长即为点A到O上的点的

距离为最大，由题意易得A8=8C=4,NAC8=45。，则有△OFC是等腰直角三角形，

AC=4叵,根据等腰直角三角形的性质可得。。=及，最后问题可求解・

【详解】

解：由题意得当O与BC、CD相切时，切点分别为F、G,点A到：。上的点的距离取得最

大，如图所示：

ZOFC=90°

连接AC,OF,AC交1,O于点E,此忖AE的长即为点A到.）0上的点的距离为最大，如图所

示，

•.•四边形ABCO是正方形，且边长为4,

・•.A8=3C=4,ZAC8=45。，

「•△OFC是等腰直角三角形，AC=4Q，

〈O的半径为1,

：.OF=FC=\，

・•・OC=B

・••AO=AC-OC=3y/2^

•••AE=AO+OE=3y/2+\>

即点八到O上的点的距离位最大值为3JI+1；

故答案为3百+1.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正

方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键.

25.如图，。4尸4是OO的切线，4,8是切点.若/P=50°，则NAOB=.

【答案】130°

【分析】

由题意易得NQ4O=N必0=90。，然后根据四边形内角和可求解.

【详解】

解：是（）0的切线.

/.ZPAO=ZPBO=90°,

・••由四边形内角和可得：ZAOB+ZP=180°,

•・,ZP=50°,

・♦・ZAOB=130°；

故答案为130°.

【点睛】

本题主耍考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

26.如图，在即二ABC中，ZC=90°.AE平分NBAC交BC于点E,点D在AB上,

(1)求证：BC是IQ的切线：

(2)若0。的半径为5,AC=8,求S,ME-

【答案】(1)见解析；(2)20

【分析】

(1)连接0E,由0A=()E,利用等边对等角得到一对角相等，再由AE为角平分线得到一对角

相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到AC与0E平行，再

根据两直线平行同位角相等及/C为直角，得到0E与BC垂直，可得出BC为圆0的切线；

(2)过E作EG垂直于0D,利用AAS得出△ACE^^AGE,得到AC=AG=8,从而可得0G,利

用勾股定理求出EG,再利用三角形面积公式可得结果.

【详解】

V0A=0E,

.\Z1=Z3,

TAE平分NBAC,

r.zi=Z2,

，N2=N3,

A0E/7AC,

r.ZOEB=ZC=90°,

则BC为圆0的切线：

(2)过E作EG_LAB于点G,

在AACE和AAGE中，

Z2=Z1

•NC=NAGE,

AE=AE

/.△ACE^AAGE(AAS),

?\C=AG-8,

・・•圆。的半径为5,

AAD=OA+OD=10,

.\0G=3,

•••EG=JOE2—OG2=4,

AADE的面积=1xA£)x£<7=1x10x4=20.

22

【点睛】

此题考查了切线的判定，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判

定与性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径.

27.如图，在AABC中，AB=AC，以A8为直径的OO交丁点D,OE_LAC交84

的延长线丁点E,交AC丁点也

(1)求证：DE是O的切线;

3

(2)若AC=6,tanE=—,求A/7的长.

4

【答案】(1)证明见解析；(2)^=~

【分析】

(1)要证明DE是©O的切线，只要证明ZODE=90即可.连接0D,根据条件证明ODHAC、

则可推导出NOL陀=90.

(2)根据条件，在R4ODE中,求出0E的长，然后证明1-△OOE，从而根据相

似比求解即可.

【详解】

(1)证明：如下图，连接0D,

,:AB=AC,OB=OD,

：.ZB=ZC,ZB=ZODB,

・♦・/ODB=/C,

:.OD//AC.

・•・4ODE=/CFD,

又•••£)£：_LAC,

工NCFD=90，

；・NODE=90，

••.1正是《O的切线.

(2)解：VAC=6,

OD=OB=—AB=—AC=3,

22

在RiAODE中，tanE==—，

ED4

；・ED=4,OE=y/orf+ED1=>/32+42=5»

・•・AE=OE-OB=5-3=2^

又•:/AEF=4OED,ZAFE=/ODE=90,

AAAFE△ODE，

AEAF.2AF

---=，即llr一=,

OEOD53

RY

【点睛】

本题考杳的是切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的相似，勾股定理等相关知识点，根

据题意数形结合是解题的关健

28.如图，444c是。。的内接三角形，AC是O的直径，点。是AC的中点，DEHBC

交4。的延长线于点E.

(1)求证：直线与O相切：

(2)若0。的直径是10,4=45。，求CE的长.

【答案】⑴见解析：(2)CE=5A/2-5-

【分析】

(1)连接01),由点I)是3c的中点得S)_LBC,由DE〃RC得O【)_L【)E,由()【)是半径可得DE

是切线：

(2)证明AODE是等腰直角三角形，可求出0E的长，从而可求得结论.

【详解】

解：(1)连接0D交BC于点F,如图，

丁点。是BC的中点，

AOD±BC,

VDE//BC

AOD±DE

：0D是，O的半径

直线OE与。。相切：

（2）・・・AC是0。的直径,且AB=10,

.,.ZABC=90°,OC=OA=：A8=5

VOD±BC

Z0FC=90°

AOD//AB

vZBAC=45°

/DOE=45。

'：Z10DE=90°

/.NOE。=45

：.DE=OD=OC=5

由勾股定理得，0E=5j1

：・CE=0E-0C=5梃-5,

【点睛】

此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关

键.

29.如图，AB是的直径，点C是0。上异于A、B的点，连接4C、8C,点D在劭

的延长线上，且NDC4=43。，点E在。。的延长线上，且3E_LQC.

£

DB

(1)求证：DC是。的切线：

r)A2

(2)若上一=一,8七=3,求D4的长.

0D3

9

【答案】(1)见解析：(2)—

【分析】

(1)连接0C,根据圆周角定理得到NACB=90°,根据等量代换得到NDC0=90°,即可证明

DC是圆0的切线:

ncco3

(2)根据已知得到0A=2DA,证明ZWCOsADEB,得到==；石，可得DA=—EB,即可求

DBEB1()

出DA的长.

【详解】

解：(1)如图，连接OC,由题意可知：NACB是直径AB所对的圆周角，

AZACB=90°,

VOC,0B是圆0的半径,

r.OC=OB,

ZOCB=ZABC,

又•.•NDCA=NABC,

.\ZDCA=ZOCB,

ZDCO=ZDCA+ZACO=ZOCB+ZACO=ZACB=90°,

.\OC±DC,

又•••()(:是圆0的半径,

•••DC是圆。的切线：

OA2

=§，化简得0A=2DA,

OA+DA

由(1)知,ZDC0=90°,

VBE1DC,即NDEB=90°,

.*.ZIKO=ZDEB,

...OC〃BE.

.,.△DCO^ADEB,

.DOCODA+OA3DA32DA

..---=---,即niI-------------=----=—=----

DBEBDA+OA+OB5DA5EB

3

Z.DA=—EB,

10

VBE=3,

33c9

二.DA=—EB=—x3=—,

101010

9

・"飞抬：D"正是分式方程的解，

DA=—.

10

【点睛】

本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明

切线，得到相似三角形是解题的关键.

题型三垂径定理

30.如图，AB是「0的直径，弦CO_LA8于点E,CQ=2OE,则N8CO的度数为（）

D

B

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【答案】B

【分析】

连接OD,根据垂径定理得CD=2DE,从而得,ODE是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可

求解.

【详解】

解：连接0D,

「AB是CX)的直径，弦CO_LAB于点E,

.,.CD=2DE,

，：CD=2OE，

r.DE=OE,

••.△ODE是等腰直角三角形，即NB0D=45°,

AZBC£>=—ZB0D=22.5°,

2

故选B.

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键.

31.点P是。。内一点,过点？的最长弦的长为］0cm,最短弦的长为6cm，则0P的长为

()

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【分析】

根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm：最短弦即是过点P且垂直于过点P的直

径的弦：根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长.

【详解】

解:如图所示，CD_LAB于点F.

根据题意，得

AB=10cm,CD=6cm.

AOC=5,CP=3

VCD±AB,

.*.CP=-CD=3cm.

2

根据勾股定理，得OP=^OC2-CP1=4cm.

故选B.

【点睛】

此题综合运用了垂径定理和勾股定理.正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦.

32.如图，AB为的直径，弦CO_LA3于点F,OE_L4C于点E,若QE=3,03=5,

则CD的长度是（）

A.9.6B.46C.5GD.19

【答案】A

【分析】

先利用垂径定理得出AE=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可

【详解】

解：连接oc

D

VAB1CD,OE1AC

AE=EC,CF=FD

V0E=3,0B=5

A0B=0C=0A=5

，在RtAOAE中

AE=yJOA2-OE2=A/52-32=4

AAE=EC=4

设OF=x，则有AC2-AF2=OC2-OF2

82-(5+X)2=52-X2

x=1.4

在RtZVJFC中，FC=\IOC2-OF2=>/52-L42=4.8

/.CD=2FC=9.6

故选：A

【点睛】

本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键

33.在。0中，直径AB=15,弦DE_LAB于点C,若OC：0B=3：5,则DE的长为()

A.6B.9C.12D.15

【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案.

【解析】如图所示：•・•直径AB=15,

.\B0=7.5,

VOC：0B=3：5,

.♦.C0=4.5,

.\DC=VDO2-CO2=6,

.,.DE=2DC=12.

故选：C.

34.如图，AB是。0的直径，弦CD_LAB,垂足为点M,连接OC,DB.如果OC〃DB,OC-2V3,那

么图中阴影部分的面积是（）

A.nB.2nC.3nD.4n

【分析】连接OD,BC,根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM,ZC0B=ZB0D,推

出ABOD是等边三角形，得到/B0C=60°,根据扇形的而枳公式即可得到结论.

【解析】连接OD,BC,

VCD±AB,OC=OD,

ADM=CM,ZCOB=ZB