专题07-极化恒等式问题-冲刺高考数学压轴题微切口突破解析版

专题07极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及,但在处理一类向量数量积时有奇效,备受师生喜爱.极化恒等式:极化恒等式三角形模型:在中,D为BC的中点,则3.极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD中,类型一利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,则值为______.【答案】【解析】设解得类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2在三角形ABC中,D为AB中点,,E,F分别为BC,AC上的动点,且EF=1,则最小值为______【答案】【解析】设EF的中点为M,连接CM,则即点M在如图所示的圆弧上,则类型三利用极化恒等式求参数典例3设三角形ABC,P0是边AB上的一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有,则三角形ABC形状为_______.【答案】C为顶角的等腰三角形.【解析】取BC的中点D,连接PD,P0D.,设O为BC的中点,即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形.1.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是_____【答案】【解析】设BC的中点为O,OC的中点为M,连接OP,PM,当且仅当M与P重合时取等号2.直线与圆相交于两点M,N,若,P为圆O上任意一点,则的取值范围为_______【答案】【解析】圆心O到直线的距离为设MN的中点为A,3.如图,已知B,D是直角C两边上的动点,,则的最大值为______【答案】【解析】设MN的中点为G,BD的中点为H,所以的最大值为4.如图在同一平面内,点A位于两平行直线m,n的同侧,且A到m,n的距离分别为1,3,点B,C分别在m,n上,且,则的最大值为______【答案】【解析】连接BC,取BC的中点D,则,又故又因为所以5.在半径为1的扇形AOB中,,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则的最小值为_____【答案】【解析】取OB的中点D,连接PD,则于是只要求求PD的最小值即可,由图可知,当时,即所求最小值为6.已知线段AB的长为2,动点C满足(为常数),且点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,则负数的最大值为______【答案】【解析】如图取AB的中点为D,连接CD,则又由点C总不在以点B为圆心,为半径的圆内,故,则负数的最大值为7.已知A(0,1),曲线横过点B,若P是曲线C上的动点,且的最小值为2,则______【答案】【解析】如图,B(1,0),则,连接BP,取BP的中点C,连接AC,因为的最小值为2,则有上式等价于,即当且仅当P与B重合时取等号,此时曲线C在B处的切线斜率等于1,即8.若平面向量满足,则的最小值为_____【答案】【解析】当且仅当,即时取最小值9.在正方形ABCD中,AB=1,A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动,则的最大值为_____【答案】【解析】如图取BC的中点E,取AD的中点F,所以而,当且仅当时取等号,所以的最大值为210.已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点,以A为圆心,AE为半径作弧交AD于F,若P为劣弧EF上的动点,则的最小值为______【答案】【解析】如图取CD的中点M.所以而,当且仅当P,Q重合时等号成立所以的最小值为11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦,P为正