湖南省湘潭市多校2027届高三上学期9月联考数学试卷（含答案）

湘潭市多校2027届高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（

）A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形2．设集合，若且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（

）A．2 B． C． D．44．已知,且成等比数列，则的最小值是A．1 B． C． D．5．将函数f（x）的图象向右平移单位长度后得到函数（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（

）A．，k∈ZB．，k∈ZC．，k∈ZD．，k∈Z6．已知函数，若对于任意的，总存在，使得的图象上点与处的切线平行，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．在中，，，，D是边上的点，关于直线的对称点分别为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，若为实数，则（

）A． B．C．为纯虚数 D．对应的点位于第二象限10．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（

）A．第10行所有数字的和等于1024 B．第2026行的第1013个数最大C．210在杨辉三角中出现了6次 D．记第行的第个数为，则11．设的三边长分别为、、，的面积为，若，，，，，则（

）A． B．数列是递增数列C．为递增数列 D．为递减数列三、填空题12．若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________．13．已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.14．已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点位于第一象限），圆与内切，半径为，则的取值范围是___________．四、解答题15．设函数是函数的导函数.(1)讨论的单调性；(2)若，且，结合（1）的结论，你能得到怎样的不等式？(3)利用（2）中的不等式证明：.16．已知圆，圆，端点为原点的射线交圆于，交圆于，过作平行（或重合）于轴的直线，过作平行（或重合）于轴的直线，与交于点.记的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若点，是曲线与轴的交点，直线交曲线于，，，求.17．定义：设为坐标原点，若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．(1)若向量为函数的伴随向量，求的坐标；(2)若函数为向量的伴随函数，在中，内角的对边分别为，恰好为函数的最大值．（ⅰ）若，的角平分线交于点，，求的最大值；（ⅱ）若，在锐角中，求的范围．18．如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．

（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，，是的中点.

(1)求证：；(2)若底面是梯形，，，，，求二面角的余弦值；(3)在（）的条件下，线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

《湘潭市多校2027届高三上学期9月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案CBBCDBADACACD题号11答案AC12．13．14．15.（1）由题意，函数，其中函数的定义域为，可得，令，可得或，若，则当时，，当时，，所以上单调递减，在上单调递增；若，则当时，，当时，，所以在单调递减，在上单调递增.（2）由函数且，可得，因为，可得，解得或（与矛盾，舍去），故由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得最小值，最小值，即，故对于任意恒成立，有不等式成立，当且仅当时，“=”成立.(3)由（2）知当时，有成立，令，则整理得，，所以.16．（1）设以轴正半轴为始边，为终边的角为，则，，设，则故，即，故的方程为.（2）由题意，，，设，，将代入的方程整理得，，故，，故，而，则，故.故由得，，即，将，代入整理得，，即，整理得，解得或.当时，点与点A重合，不合题意，舍去，故.17．（1）由已知，所以；（2）（i）根据题意，由知，，利用辅助角公式得，其中，不妨令为锐角，当时，取到最大值，即，则，同理由二倍角公式得：，如图，由三角形面积可得：，所以，由余弦定理得，因为，所以，则，当且仅当时取等号.（ii）由，结合（i），，利用正弦定理边化角可得，其中，，所以，，且，则，所以，由于三角形是锐角三角形，则，得，故，所以，易知.18．解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第次划拳小华平”为；事件“第次划拳小华输”为，所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2345所以的数学期望为：．19．(1)因为是等腰三角形，，是的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）过点作直线，交于点.

因为，，所以，.又因为平面，所以，，故如图建立空间直角坐