2026年重庆市部编版高中数学选修2-7第10章线性规划习题

2026年重庆市部编版高中数学选修2-7第10章线性规划习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的哪个点上取得？A.可行域的顶点B.可行域的内部C.可行域的边界上任意一点D.可行域的对角线上某点【解析】线性规划问题的最优解（即目标函数的最大值或最小值）一定在可行域的顶点处取得，这是线性规划的基本性质。可行域的内部或边界上其他点可能不是最优解，因为目标函数在这些点的变化率不一定是最大或最小。对角线上的点属于可行域边界的一部分，但并非所有最优解都位于对角线上，只有特定情况下才可能。因此正确答案是A。2.已知线性约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则该约束条件表示的可行域是什么形状？A.一个三角形B.一个四边形C.一个半平面D.无界区域【解析】约束条件x+y≤4，x≥0，y≥0表示的可行域是第一象限内由直线x+y=4和坐标轴围成的区域。该区域由三个边界（x=0，y=0，x+y=4）围成，因此是一个三角形。若改为x+y≥4，则表示的是直线x+y=4右侧的无界区域，但题目中为“≤”，故正确答案是A。3.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为2x+y≤8，x-y≥1，x≥0，y≥0，则目标函数的最大值可能出现在哪些顶点？A.(4,0)和(0,8)B.(3,2)和(0,1)C.(4,0)和(3,2)D.(0,1)和(2,6)【解析】首先确定可行域的顶点。由约束条件2x+y=8和x-y=1联立解得顶点(3,2)；由2x+y=8和x=0得顶点(0,8)；由x-y=1和y=0得顶点(1,0)；由x=0和y=0得顶点(0,0)。但(0,0)和(1,0)不满足所有约束条件，故排除。目标函数在顶点(3,2)处取值为19，在(0,8)处取值为40，在(2,6)处取值为28，因此最大值可能出现在(0,8)和(3,2)中，但(0,8)未在选项中，故正确答案是D。4.在绘制线性规划问题的可行域时，若某条约束条件对应的直线与坐标轴平行，则该约束条件对可行域有何影响？A.将可行域限制在某一象限B.可行域可能不存在C.可行域可能退化成一条线段D.可行域可能被完全排除【解析】若约束条件对应的直线与坐标轴平行，例如x=2，则可行域可能被该直线分割，导致部分区域不满足约束条件。若该直线与目标函数平行且无界，则最优解可能不存在。但在本题中，平行约束通常使可行域退化成线段或点，例如x=2且x≤2，则可行域为x=2的线段。因此正确答案是C。5.若线性规划问题的目标函数为z=ax+by，约束条件为x+y≤10，x≥0，y≥0，则当a>b时，目标函数的最小值可能出现在哪个顶点？A.(0,0)B.(10,0)C.(0,10)D.(5,5)【解析】可行域由x+y=10和坐标轴围成，顶点为(10,0)，(0,10)，(0,0)。当a>b时，目标函数在(0,0)处取最小值0，在(10,0)处取最小值10a，在(0,10)处取最小值10b，由于a>b，故10a>10b，因此最小值在(0,0)处取得。正确答案是A。6.在求解线性规划问题时，若可行域无界，则目标函数的最优解是否一定不存在？A.一定不存在B.可能存在，也可能不存在C.一定存在D.只能在边界上存在【解析】可行域无界时，目标函数的最优解可能存在也可能不存在。例如z=3x+5y在x+y=10且x,y≥0时无界，但若改为z=x-y，则最优解在(0,10)处存在。因此正确答案是B。7.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数的最大值可能出现在哪个顶点？A.(6,0)B.(0,6)C.(3,3)D.(0,0)【解析】可行域由x+y=6和坐标轴围成，顶点为(6,0)，(0,6)，(0,0)。目标函数在(6,0)处取12，在(0,6)处取18，在(3,3)处取15，在(0,0)处取0。因此最大值在(0,6)处取得。正确答案是B。8.在线性规划问题中，若目标函数与某条约束条件对应的直线平行，则该约束条件对最优解有何影响？A.该约束条件不影响最优解B.该约束条件必须被严格满足C.该约束条件可能被松弛D.该约束条件可能被排除【解析】若目标函数与某约束条件平行，则最优解可能在该约束条件的边界上取得，此时该约束条件必须被严格满足，否则最优解会变化。例如z=2x+3y在x+y=6上取得最大值18，若改为x+y=7，则最优解会变化。因此正确答案是B。9.若线性规划问题的约束条件为x+y≤5，x≥1，y≥1，则可行域是什么形状？A.一个矩形B.一个三角形C.一个梯形D.一个五边形【解析】约束条件x+y=5，x=1，y=1围成的区域是一个梯形，顶点为(1,4)，(4,1)，(1,1)，(5,0)。但由于y≥1，故(5,0)不在可行域内。因此正确答案是C。10.在求解线性规划问题时，若目标函数在多个顶点处取得相同的最优值，则该问题的解有何特点？A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.非线性规划问题【解析】若目标函数在多个顶点处取得相同的最优值，则该问题的解有无穷多，因为目标函数在这些顶点之间可能保持最优值。例如z=x+y在x+y=6且x,y≥0时，最优值在(3,3)，(2,4)，(4,2)等顶点处取得。因此正确答案是C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域是由所有满足约束条件的点组成的__________。参考答案：凸集【解析】线性规划问题的可行域是由所有满足约束条件的点组成的凸集，即任意两点连线上的点仍在可行域内。2.若线性规划问题的目标函数为z=4x+7y，约束条件为x+y≤10，x≥0，y≥0，则目标函数的最大值可能出现在__________处。参考答案：顶点(10,0)【解析】目标函数在(10,0)处取最大值40，在其他顶点处取值均小于40。3.在绘制线性规划问题的可行域时，若某条约束条件对应的直线与坐标轴垂直，则该约束条件对可行域的影响是__________。参考答案：将可行域限制在特定位置【解析】垂直约束条件将可行域限制在特定位置，例如x=2将可行域限制在x=2的垂直线上。4.若线性规划问题的约束条件为x+y≤8，x≥0，y≥0，则可行域的面积是__________。参考答案：32【解析】可行域由x+y=8和坐标轴围成，面积为三角形，面积=1/2×8×8=32。5.在求解线性规划问题时，若可行域无界，则目标函数的最小值可能出现在__________处。参考答案：顶点或边界上【解析】无界可行域的最小值可能出现在顶点或边界上，例如z=x-y在(0,10)处取得最小值-10。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为2x+y≤8，x-y≥1，x≥0，y≥0，则目标函数的最小值是__________。参考答案：4【解析】目标函数在(0,1)处取得最小值4，其他顶点处取值均大于4。7.在线性规划问题中，若目标函数与某条约束条件对应的直线平行，则该约束条件对最优解的影响是__________。参考答案：必须被严格满足【解析】平行约束条件必须被严格满足，否则最优解会变化。8.若线性规划问题的约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的顶点有__________个。参考答案：4【解析】可行域由x+y=6和坐标轴围成，顶点为(6,0)，(0,6)，(0,0)，(6,0)重复，实际有4个顶点。9.在求解线性规划问题时，若目标函数在多个顶点处取得相同的最优值，则该问题的解是__________。参考答案：无穷多解【解析】多个顶点取得相同最优值意味着解有无穷多。10.若线性规划问题的约束条件为x+y≤5，x≥1，y≥1，则可行域的形状是__________。参考答案：梯形【解析】约束条件x+y=5，x=1，y=1围成的区域是梯形。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.线性规划问题的可行域一定是凸多边形。参考答案：错误【解析】可行域可能是凸多边形，也可能是无界区域或点。2.若线性规划问题的目标函数在可行域的内部取得最优值，则该问题一定无解。参考答案：正确【解析】线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点处取得，若在内部取得则无解。3.在绘制线性规划问题的可行域时，若某条约束条件对应的直线与坐标轴平行，则该约束条件对可行域的影响是将其限制在特定位置。参考答案：正确【解析】平行约束条件将可行域限制在特定位置，例如x=2将可行域限制在x=2的垂直线上。4.若线性规划问题的约束条件为x+y≤8，x≥0，y≥0，则可行域的面积是32。参考答案：正确【解析】可行域由x+y=8和坐标轴围成，面积为三角形，面积=1/2×8×8=32。5.在求解线性规划问题时，若可行域无界，则目标函数的最小值一定不存在。参考答案：错误【解析】无界可行域的最小值可能存在，例如z=x-y在(0,10)处取得最小值-10。6.若线性规划问题的目标函数为z=3x+5y，约束条件为2x+y≤8，x-y≥1，x≥0，y≥0，则目标函数的最大值是40。参考答案：错误【解析】目标函数在(0,8)处取得最大值40，但(0,8)不满足x-y≥1，因此最大值需在其他顶点处取得。7.在线性规划问题中，若目标函数与某条约束条件对应的直线平行，则该约束条件对最优解的影响是必须被严格满足。参考答案：正确【解析】平行约束条件必须被严格满足，否则最优解会变化。8.若线性规划问题的约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的顶点有4个。参考答案：正确【解析】可行域由x+y=6和坐标轴围成，顶点为(6,0)，(0,6)，(0,0)，(6,0)重复，实际有4个顶点。9.在求解线性规划问题时，若目标函数在多个顶点处取得相同的最优值，则该问题的解是无解。参考答案：错误【解析】多个顶点取得相同最优值意味着解有无穷多。10.若线性规划问题的约束条件为x+y≤5，x≥1，y≥1，则可行域的形状是梯形。参考答案：正确【解析】约束条件x+y=5，x=1，y=1围成的区域是梯形。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述线性规划问题的基本要素。参考答案：线性规划问题的基本要素包括目标函数、约束条件和可行域。目标函数是要求最大化或最小化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或等式，可行域是满足所有约束条件的点的集合。2.在绘制线性规划问题的可行域时，如何确定顶点？参考答案：确定顶点的方法是联立每两条约束条件对应的直线方程，解出交点。若交点满足所有约束条件，则为可行域的顶点。3.若线性规划问题的目标函数为z=2x+3y，约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则目标函数的最大值是多少？参考答案：目标函数在(0,6)处取得最大值18。4.在线性规划问题中，若可行域无界，则目标函数的最优解可能存在吗？参考答案：可能存在。例如z=x-y在x+y=6且x,y≥0时，最优解在(0,6)处取得。5.若线性规划问题的约束条件为x+y≤5，x≥0，y≥0，则可行域的面积是多少？参考答案：可行域由x+y=5和坐标轴围成，面积为三角形，面积=1/2×5×5=12.5。6.在求解线性规划问题时，若目标函数在多个顶点处取得相同的最优值，则该问题的解有何特点？参考答案：解有无穷多，因为目标函数在这些顶点之间可能保持最优值。7.若线性规划问题的约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的顶点有哪些？参考答案：可行域的顶点有(6,0)，(0,6)，(0,0)，(6,0)重复，实际有3个顶点。8.在线性规划问题中，若目标函数与某条约束条件对应的直线平行，则该约束条件对最优解有何影响？参考答案：该约束条件必须被严格满足，否则最优解会变化。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需要1小时机器时间和2小时人工时间，每件产品B需要2小时机器时间和1小时人工时间。工厂每天最多有8小时机器时间和10小时人工时间。若产品A的利润为每件100元，产品B的利润为每件80元，工厂应如何安排生产才能获得最大利润？参考答案：设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y，则目标函数为z=100x+80y，约束条件为x+2y≤8，2x+y≤10，x≥0，y≥0。解得最优解为x=4，y=2，最大利润为z=100×4+80×2=560元。2.某公司计划生产两种产品X和Y，每件产品X需要1个单位A原料和2个单位B原料，每件产品Y需要2个单位A原料和1个单位B原料。公司每周最多有100个单位A原料和120个单位B原料。若产品X的售价为每件200元，产品Y的售价为每件150元，公司应如何安排生产才能获得最大收入？参考答案：设生产产品X的数量为x，产品Y的数量为y，则目标函数为z=200x+150y，约束条件为x+2y≤100，2x+y≤120，x≥0，y≥0。解得最优解为x=40，y=30，最大收入为z=200×40+150×30=13000元。3.某农场计划种植两种作物M和N，每亩作物M需要1个单位肥料和2个单位水，每亩作物N需要2个单位肥料和1个单位水。农场每周最多有100个单位肥料和120个单位水。若作物M的售价为每亩300元，作物N的售价为每亩250元，农场应如何安排种植才能获得最大收入？参考答案：设种植作物M的亩数为x，作物N的亩数为y，则目标函数为z=300x+250y，约束条件为x+2y≤100，2x+y≤120，x≥0，y≥0。解得最优解为x=40，y=30，最大收入为z=300×40+250×30=21000元。4.某公司计划生产两种产品P和Q，每件产品P需要1个单位A原料和2个单位B原料，每件产品Q需要2个单位A原料和1个单位B原料。公司每周最多有100个单位A原料和120个单位B原料。若产品P的售价为每件200元，产品Q的售价为每件150元，公司应如何安排生产才能获得最大收入？参考答案：设生产产品P的数量为x，产品Q的数量为y，则目标函数为z=200x+150y，约束条件为x+2y≤100，2x+y≤120，x≥0，y≥0。解得最优解为x=40，y=30，最大收入为z=200×40+150×30=13000元。5.某工厂生产两种产品R和S，每件产品R需要1小时机器时间和2小时人工时间，每件产品S需要2小时机器时间和1小时人工时间。工厂每天最多有8小时机器时间和10小时人工时间。若产品R的利润为每件100元，产品S的利润为每件80元，工厂应如何安排生产才能获得最大利润？参考答案：设生产产品R的数量为x，产品S的数量为y，则目标函数为z=100x+80y，约束条件为x+2y≤8，2x+y≤10，x≥0，y≥0。解得最优解为x=4，y=2，最大利润为z=100×4+80×2=560元。6.某公司计划生产两种产品T和U，每件产品T需要1个单位A原料和2个单位B原料，每件产品U需要2个单位A原料和1个单位B原料。公司每周最多有100个单位A原料和120个单位B原料。若产品T的售价为每件200元，产品U的售价为每件150元，公司应如何安排生产才能获得最大收入？参考答案：设生产产品T的数量为x，产品U的数量为y，则目标函数为z=200x+150y，约束条件为x+2y≤100，2x+y≤120，x≥0，y≥0。解得最优解为x=40，y=30，最大收入为z=200×40+150×30=13000元。7.某农场计划种植两种作物V和W，每亩作物V需要1个单位肥料和2个单位水，每亩作物W需要2个单位肥料和1个单位水。农场每周最多有100个单位肥料和120个单位水。若作物V的售价为每亩300元，作物W的售价为每亩250元，农场应如何安排种植才能获得最大收入？参考答案：设种植作物V的亩数为x，作物W的亩数为y，则目标函数为z=300x+250y，约束条件为x+2y≤100，2x+y≤120，x≥0，y≥0。解得最优解为x=40，y=30，最大收入为z=300×40+250×30=21000元。8.某工厂生产两种产品X和Y，每件产品X需要1小时机器时间和2小时人工时间，每件产品Y需要2小时机器时间和1小时人工时间。工厂每天最多有8小时机器时间和10小时人工时间。若产品X的利润为每件100元，产品Y的利润为每件80元，工厂应如何安排生产才能获得最大利润？参考答案：设生产产品X的数量为x，产品Y的数量为y，则目标函数为z=100x+80y，约束条件为x+2y≤8，2x+y≤10，x≥0，y≥0。解得最优解为x=4，y=2，最大利润为z=100×4+80×2=560元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.C10.C二、填空题1.凸集2.顶点(10,0)3.将可行域限制在特定位置4.325.顶点或边界上6.47.必须被严格满足8.49.无穷多解10.梯形三、判断题1.错误2.正确3.正确4.正确5.错误6.错误7.正确8.正确9.错误10.正确四、简答题1.线性规划问题的基本要素包括目标函数、约束条件和可行域。目标函数是要求最大化或最小化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或等式，可行域是满足所有约束条件的点的集合。2.确定顶点的方法是联立每两条约束条件对应的直线方程，解出交点。若交点满足所有约束条件，则为可行域的顶点。3.目标函数在(0,6)处取得最大值18。4.可能存在。例如z=x-y在x+y=6且x,y≥0时，最优解在(0,6)处取得。5.可行域由x+y=5和坐标轴围成，面积为三角形，面积=1/2×5×5=12.5。6.解有无穷多，因为目标函数在这些顶点之间可能保持最优值。7.可行域的顶点有(6,0)，(0,6)，(0,0)，(6,0)重复，实际有3个顶点。8.该约束条件必须被严格满足，否则最优解会变化。五、应用题1.设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y，则