2026中考第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+真题演练）第10课时：平面直角坐标系及函数相关概念（学生版+教师版合并）

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第10课时平面直角坐标系及函数相关概念一、核心知识一、核心知识（一）平面直角坐标系基础构成：由两条互相____________且有公共原点的数轴组成，水平数轴叫______，竖直数轴叫______，交点为原点O(0,0)。象限划分：x轴与y轴将平面分为四个象限，各象限点的坐标符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；坐标轴上的点（x轴或y轴）____________任何象限。点的坐标特征：点P(x,y)到x轴的距离是______，到y轴的距离是____；x轴上的点：；y轴上的点：；原点：。对称点坐标规律（点P(x,y)）：关于x轴对称：；关于y轴对称：；关于原点对称：。点的平移规律（“右加左减、上加下减”）：向右平移a个单位：；向左平移a个单位：；向上平移b个单位：；向下平移b个单位：。（二）函数相关概念函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个____________的值，y都有___________确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量。自变量取值范围：整式函数（如y=2x+1）：取值范围是___________；分式函数（如y=1x−2）二次根式函数（如y=x+3）：取值范围是___________；实际问题（如人数、长度）：需符合___________（如正整数、正数）。函数的三种表示方法：、、。函数图象：由函数自变量x的取值范围内所有点（x,y）组成的图形，画图象的步骤：。二、核心能力二、核心能力（一）平面直角坐标系相关题型题型1.点的坐标与象限判断解题思路根据象限符号特征，结合点的坐标正负判断所在象限；利用点到坐标轴的距离公式求坐标或参数，注意距离为非负数。题型2.对称与平移问题：解题思路牢记对称点坐标规律和平移法则，先确定原点点坐标，再按要求变形，复杂问题可结合数轴辅助分析。题型3.坐标与几何图形结合解题思路根据图形性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理），结合坐标计算边长、面积，或求未知点坐标。（二）函数概念与图象题型题型4.函数定义判断解题思路紧扣“一个x对应唯一y”，排除“一对多”的情况，注意含参数的函数需验证对应关系。题型5.自变量取值范围求解解题思路分类型（整式、分式、二次根式）套用取值规则，实际问题需额外添加符合题意的限制条件（如x>0）。题型6.函数图象识别与分析解题思路根据函数表达式特征（如一次函数斜率、常数项）判断图象形状；结合实际问题中变量的变化趋势（如递增、递减）匹配图象。三、易错警示三、易错警示象限符号混淆错误：认为点(-3,2)在第三象限（实际在第二象限）；提醒：象限符号先x后y，牢记“左负右正、上正下负”，可画图辅助记忆。对称点坐标错误错误：点(2,-5)关于x轴对称的点写成(-2,-5)（正确为(2,5)）；提醒：关于x轴对称“x不变，y变号”，关于y轴对称“y不变，x变号”，关于原点对称“x、y都变号”。自变量取值范围遗漏错误：函数y=x−1x−2提醒：同时含二次根式和分式时，需满足“被开方数≥0”且“分母≠0”，多个条件同时成立。平移规律应用错误错误：点(1,3)向左平移2个单位得(3,3)（正确为(-1,3)）；提醒：“左减右加”针对x坐标，“上加下减”针对y坐标，方向不要混淆。函数图象理解偏差错误：认为y=kx+b（k>0）的图象是递减的（实际递增）；提醒：一次函数斜率k>0时图象从左到右递增，k<0时递减，常数项b决定与y轴交点。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·福建模拟）下列选项中，y不是x函数的是（

）A.B.C. D.2.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系xOy中，点P−2,a2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（25-26·湖南月考）若点P1−2a,a，在第二象限，那么a的取值范围是（

）A.a>12 B.a<12 C.4.（24-25·陕西模拟）若点P(1,m)在一次函数y=2x−6的图象上，则点P到x轴的距离等于（

）A.4 B.1 C.6 D.17（24-25·四川中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0,−2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘．得到正方形A′B′C

A.(−3,5) B.(5,−3) C.(−2,5) D.(5,−2)6.（25-26·全国期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(−3,a+b)，则点A关于y轴对称点的坐标是（

）A.(3,a+b) B.(−3,−a−b) C.(3,−a−b) D.(−3,a+b)7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,0)，B(3,0)，C(2,3)，P(2,1)，点P关于直线x=a的对称点为点Q．若点Q落在△ABC内，则a的取值范围是（

）

A.1<a<73 B.37<a<1 C.（25-26·甘肃期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（

）

A.点A B.点B C.点C D.点D9.（25-26·全国期中）在直角坐标系中，点M−2,3与点N关于x轴对称，则将点M平移到点N的过程可以是（

）A.向上平移6个单位 B.向下平移6个单位

C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位10.（25-26·甘肃期中）若点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称，则m+n=（

）A.−1 B.0 C.1 D.−711.（24-25·陕西模拟）已知抛物线C1:y=x2+2x+c，抛物线C2与C1关于xA.−72 B.−72或32 C.712.（24-25·山西中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（

）

水的质量x4.59183645氢气的质量y0.51245A.y=9x B.y=9x C.y=113.（25-26·全国同步）对于正整数x，规定函数f(x)=3x+1(x为奇数)12x(x为偶数) ．在平面直角坐标系中，将点(m,n)中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16)．经过第2次运算得到点(2,8)，经过第3次运算得到点(1,4)，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点(2,1)A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4)（24-25·广西中考）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（

）

A.第5天的种群数量为300个B.前3天种群数量持续增长C.第3天的种群数量达到最大D.每天增加的种群数量相同

15.（25-26·辽宁模拟）如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=35，∠ACB=90∘，过点C向AB作垂线，垂足为D．直线m,n垂直于AB，直线m分别与AB,AC相交于点M,N，直线n分别与AB,BC相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿BA方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及△ABC围成的多边形MNCQP的面积是ycm2，直线m的运动时间是x(s)，则y与x之间函数关系的图象大致是（

）A. B.

C. D.

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a,b)，且a，b满足(a−2)2+|b+3|=0，则点（25-26·全国同步）如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称，则a+b=___________．

18.（24-25·四川模拟）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为_______________．

19.（24-25·江西模拟）已知二次函数y=ax2−2ax−2关于x轴对称的图象经过点(1,4)，则a20.（25-26·湖南模拟）在平面直角坐标系中，作点A(7,−3)关于y轴的对称点A′，再向右平移2个单位长度得到点A″，则点A″21.（23-24·山西中考）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标f(℉)与摄氏温标c(​∘C)之间的函数关系为f=95c+32，热力学温标T(K)与摄氏温标c(​∘C)22.（24-25·新疆模拟）函数y=x+2中，自变量x的取值范围是__________．23.（24-25·湖南中考）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填___________（“甲”或“乙”）先到终点：

24.（25-26·贵州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为_________

25.（23-24·四川中考）已知，直线l:y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,1)，B(−2,3)，C(−5,2)．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90∘后得到的△AB2（3）在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π27.（2012·黑龙江中考）在直角坐标系中，C(2, 3)，C′(−4, 3)，C″(2, 1)，D(−4, 1)，A(0, a)，B(a, O)(a>0)．结合坐标系用坐标填空．(2, 2)点C与C′关于点_______对称；

点C与C″关于点________对称；点C与D_______对称；（2）设点C关于点(4, 2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．

28.（25-26·山东复习）如图，在△ABC中，A(1,−1)、B(1,−3)、C(4,−3)．

（1）△A1B1C1是△ABC关于（2）将△ABC绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到△A2B2（3）△A1B29.（24-25·广西中考）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．

（1）写出A,B两点的坐标；（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．

30.（25-26·江苏模拟）在同一平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点P，Q分别在一次函数＝−x+3与y=3x−5的图象上，求点P的坐标．31.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚13h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）图中a的值是_____，b的值是_____；（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．32.（25-26·广东月考）平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(4,0)，B(−1,4)，C(−3,1)

（1）若△A1B1C1与△ABC关于（2）求△ABC的面积．33.（25-26·河南期中）平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,5)，B(−3,0)，C(1,2)．将△ABC绕原点O顺时针旋转90∘得到△ABC，点A,B,C的对应点分别为A1

（1）画出旋转后的△A（2）直接写出点C1（3）求△ABC的面积34.（25-26·广东月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点（2）△ABC的面积为___________；（3）在轴上画点P，使PA+PC最小．35.（24-25·北京中考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0，1，2或3)的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当T=0和T=3时，部分数据如下：x0123456789T=0时y的值07810121620232526T=3时y的值0263743m4850515253

T=3时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变．对于给定的T，在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x,y)所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线CT．当T=1和T=2时，曲线C1，

（1）观察曲线C1，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35（2）写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C3（3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．

①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；

②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．

2026年中考第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第10课时平面直角坐标系及函数相关概念一、核心知识一、核心知识（一）平面直角坐标系基础构成：由两条互相______垂直______且有公共原点的数轴组成，水平数轴叫______x轴（横轴），竖直数轴叫______y轴（纵轴），交点为原点O(0,0)。象限划分：x轴与y轴将平面分为四个象限，各象限点的坐标符号：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）；坐标轴上的点（x轴或y轴）______不属于______任何象限。点的坐标特征：点P(x,y)到x轴的距离是______|y|，到y轴的距离是|x|______；x轴上的点：y=0；y轴上的点：x=0；原点：x=0且y=0。对称点坐标规律（点P(x,y)）：关于x轴对称：（x，-y）；关于y轴对称：（-x，y）；关于原点对称：（-x，-y）。点的平移规律（“右加左减、上加下减”）：向右平移a个单位：（x+a，y）；向左平移a个单位：（x-a，y）；向上平移b个单位：（x，y+b）；向下平移b个单位：（x，y-b）。（二）函数相关概念函数定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个______确定______的值，y都有______唯一______确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量。自变量取值范围：整式函数（如y=2x+1）：取值范围是______全体实数______；分式函数（如y=1x−2）：取值范围是______x≠2二次根式函数（如y=x+3）：取值范围是______x≥-3_____；实际问题（如人数、长度）：需符合______实际意义______（如正整数、正数）。函数的三种表示方法：解析法(等式形式）、列表法（表格形式）、图象法（坐标系中的曲线）。函数图象：由函数自变量x的取值范围内所有点（x,y）组成的图形，画图象的步骤：列表→描点→连线。二、核心能力二、核心能力（一）平面直角坐标系相关题型题型1.点的坐标与象限判断解题思路根据象限符号特征，结合点的坐标正负判断所在象限；利用点到坐标轴的距离公式求坐标或参数，注意距离为非负数。题型2.对称与平移问题：解题思路牢记对称点坐标规律和平移法则，先确定原点点坐标，再按要求变形，复杂问题可结合数轴辅助分析。题型3.坐标与几何图形结合解题思路根据图形性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理），结合坐标计算边长、面积，或求未知点坐标。（二）函数概念与图象题型题型4.函数定义判断解题思路紧扣“一个x对应唯一y”，排除“一对多”的情况，注意含参数的函数需验证对应关系。题型5.自变量取值范围求解解题思路分类型（整式、分式、二次根式）套用取值规则，实际问题需额外添加符合题意的限制条件（如x>0）。题型6.函数图象识别与分析解题思路根据函数表达式特征（如一次函数斜率、常数项）判断图象形状；结合实际问题中变量的变化趋势（如递增、递减）匹配图象。三、易错警示三、易错警示（一）高频易错点警示象限符号混淆错误：认为点(-3,2)在第三象限（实际在第二象限）；提醒：象限符号先x后y，牢记“左负右正、上正下负”，可画图辅助记忆。对称点坐标错误错误：点(2,-5)关于x轴对称的点写成(-2,-5)（正确为(2,5)）；提醒：关于x轴对称“x不变，y变号”，关于y轴对称“y不变，x变号”，关于原点对称“x、y都变号”。自变量取值范围遗漏错误：函数y=x−1x−2提醒：同时含二次根式和分式时，需满足“被开方数≥0”且“分母≠0”，多个条件同时成立。平移规律应用错误错误：点(1,3)向左平移2个单位得(3,3)（正确为(-1,3)）；提醒：“左减右加”针对x坐标，“上加下减”针对y坐标，方向不要混淆。函数图象理解偏差错误：认为y=kx+b（k>0）的图象是递减的（实际递增）；提醒：一次函数斜率k>0时图象从左到右递增，k<0时递减，常数项b决定与y轴交点。四、真题演练四、真题演练（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）1.（24-25·福建模拟）下列选项中，y不是x函数的是（

）A.B.C. D.【答案】B【解析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键．【解答】解：A、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；B、自变量x每取一个值，y有两个值和它对应，∴y不是x函数，该选项符合题意；C、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；D、自变量x每取一个值，y都有唯一确定的值和它对应，∴y是x函数，该选项不合题意；故选：B．2.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系xOy中，点P−2,aA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键．【解答】解：∵P−2,a2+1，−2<0，∴点P−2,故选B．3.（25-26·湖南月考）若点P1−2a,a，在第二象限，那么a的取值范围是（

）A.a>12 B.a<12 C.【答案】A【解析】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．P(1−2a,a)在第二象限，可得1−2a<0a>0 ，即可解得答案．【解答】解：∵点P(1−2a,a)在第二象限，∴1−2a<0a>0解得：a>1故选：A4.（24-25·陕西模拟）若点P(1,m)在一次函数y=2x−6的图象上，则点P到x轴的距离等于（

）A.4 B.1 C.6 D.17【答案】A【解析】本题考查点到坐标轴的距离，已知自变量值求函数值等．根据题意先得出m=−4，后即可得到本题答案．【解答】解：∵点P(1,m)在一次函数y=2x−6的图象上，∴m=2×1−6=−4，∴P(1,−4)，∴点P到x轴的距离等于4，故选：A．（24-25·四川中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0,−2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘．得到正方形A′B′

A.(−3,5) B.(5,−3) C.(−2,5) D.(5,−2)【答案】A【解析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得A′B′在x轴上，A′B′ // C′【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘．得到正方形A∴AB=BC=A′B′=B′∵B(0,−2)，∴B′(2,0)∴D故选：A6.（25-26·全国期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(−3,a+b)，则点A关于y轴对称点的坐标是（

）A.(3,a+b) B.(−3,−a−b) C.(3,−a−b) D.(−3,a+b)【答案】A【解析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可．【解答】解：点A(−3,a+b)关于y轴对称点的坐标是(3,a+b)，故选：A．7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,0)，B(3,0)，C(2,3)，P(2,1)，点P关于直线x=a的对称点为点Q．若点Q落在△ABC内，则a的取值范围是（

）

A.1<a<73 B.37<a<1 C.【答案】A【解析】本题考查了一次函数的性质．要求解a的取值范围，关键是确定对称点Q的临界点的坐标，从而根据点P求出直线x=a，进而确定a的取值范围．【解答】解：如图，过点P作x轴的平行线l，分别交AC，BC于点D，E，

∵P(2,1)，∴直线l:y=1，∵点Q落在△ABC内，由对称的性质可知点Q在直线l上，∴x设AC所在直线为y1将A，C两点坐标代入得0=−k解得k1即y1当y=1时，x+1=1，x=0，即D(0,1)，当点Q与点D重合时，直线x=a=0+2设BC所在直线为y2将C，B两点坐标代入得3=2k解得k2即y2当y=1时，−3x+9=1，x=83，即当点Q与点E重合时，直线x=a=2+∴1<a<73．（25-26·甘肃期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（

）

A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】D【解析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，x轴下方，y轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可．【解答】解：由图可知，点D在第四象限；故选D．9.（25-26·全国期中）在直角坐标系中，点M−2,3与点N关于x轴对称，则将点M平移到点N的过程可以是（

）A.向上平移6个单位 B.向下平移6个单位

C.向左平移4个单位 D.向右平移4个单位【答案】B【解析】本题主要考查直角坐标系的坐标变换，根据(x,y)关于x轴的对称点坐标为(x,−y)，然后根据平移的特点即可解答．【解答】解：∵点M−2,3与点N关于x轴对称，∴N−2,−3∴将点M平移到点N的过程可以是向下平移6个单位．故选：B．10.（25-26·甘肃期中）若点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称，则m+n=（

）A.−1 B.0 C.1 D.−7【答案】A【解析】本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．利用关于y轴对称的点的坐标规律可知：m与4互为相反数，n等于3，即可求得m+n的值．【解答】∵点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称．∴m=−4，n=3．∴m+n=−4+3=−1．故选：A．11.（24-25·陕西模拟）已知抛物线C1:y=x2+2x+c，抛物线C2与C1关于A.−72 B.−72或32 C.7【答案】D【解析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据题意分别表示出抛物线C2与C1的顶点坐标是解题的关键．根据题意分别表示出抛物线C2与C1的顶点坐标，再结合两抛物线的顶点相距5建立关于【解答】解：由题知，y=x2+2x+c=(x+1所以抛物线C1的顶点坐标为因为抛物线C2与C1关于所以抛物线C2的顶点坐标为因为两抛物线的顶点相距5，所以c−1−(1−c)=5或1−c−(c−1)=5，解得c=72故选：D．12.（24-25·山西中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（

）

水的质量x4.59183645氢气的质量y0.51245A.y=9x B.y=9x C.y=1【答案】C【解析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得y是x的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键．【解答】解：∵xy=∴y与x成正比例，即y是x的正比例函数，∴y=1故选：C．13.（25-26·全国同步）对于正整数x，规定函数f(x)=3x+1(x为奇数)12x(x为偶数) ．在平面直角坐标系中，将点(m,n)中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数）．例如，点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16)．经过第2次运算得到点(2,8)，经过第3次运算得到点(1,4)，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4)【答案】A【解析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点(2,1)每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．【解答】解：初始点：(2,1)（第0次运算）．第1次：横坐标2为偶数，f(2)=22=1；纵坐标1到点(1,4)．第2次：横坐标1为奇数，f(1)=3×1+1=4；纵坐标4为偶数，f(4)=4到点(4,2)．第3次：横坐标4为偶数，f(4)=42=2；纵坐标2为偶数，f(2)=与初始点相同，即三次一循环，2025÷3=675，∴第2025次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即(2,1)．故选：A．

14.（24-25·广西中考）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（

）

A.第5天的种群数量为300个B.前3天种群数量持续增长C.第3天的种群数量达到最大D.每天增加的种群数量相同【答案】B【解析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论．【解答】解：A.第5天的种群数量在300<y<400之间，选项说法错误，故不符合题意；B.前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意；C.第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意；D.由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意；

故选：B．

15.（25-26·辽宁模拟）如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=35，∠ACB=90∘，过点C向AB作垂线，垂足为D．直线m,n垂直于AB，直线m分别与AB,AC相交于点M,N，直线n分别与AB,BC相交于点P、Q．直线m从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点D运动，到达点D时停止运动；同时，直线n从点B出发，沿BA方向以相同的速度向点D运动，到达点D时停止运动．若运动过程中直线m、n及△ABC围成的多边形MNCQP的面积是ycm2，直线m的运动时间是x(s)，则y与x之间函数关系的图象大致是（

）A. B.

C. D.

【答案】A【解析】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．分别求出当0<x<185和185≤x<325时的【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB=90∘，过点C向AB作垂线，∴∠CDB=90∴∠A+∠ACD=90∴∠A=∠BCD，同理∠B=∠ACD∵AB=10cm，sinA=3∴BC=AB⋅sinA=6，在Rt△ABC中，运用勾股定理得AC=8，∵12AB⋅CD=由sinA=35得：当0<x<185时，由tanA=43，tanB=34得：∴MD=32∴y=S五边形MNCQP12当185y=S四边形MND=1∴y=−2524故选：A．（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a,b)，且a，b满足(a−2)2+|b+3|=0，则点A在第________【答案】四【解析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出a,b的值，根据a,b的符号，判断出点A所在的象限即可．【解答】解：∵(a−2)2+|b+3|=0∴a−2=0,b+3=0，∴a=2>0,b=−3<0，∴点A的坐标为(2,−3)，在第四象限；故答案为：四．17.（25-26·全国同步）如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称，则a+b=_____−5_______．

【答案】−5【解析】根据点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称求得a，b的值，最后代入求解即可．【解答】解：∵点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称∴a=−2，1+b2=−1∴a+b=−2+(−3)=−5

故答案为−5

18.（24-25·四川模拟）如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=2．点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F．连接PF，取PF的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为_____194【答案】194/【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以C为原点，建立如图所示的坐标系，设AP=a，则CP=2−a，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点E的坐标，得到点E在直线y=1−433x上运动，求出点P分别与A,C重合时，点【解答】解：以C为原点，建立如图所示的坐标系，设AP=a，则CP=2−a，

则：P(0,2−a)，∵∠B=30∴∠A=60∵PD⊥AB，∴∠PDA=90∴∠APD=30∴AD=1过点D作DG⊥AC，则：∠AGD=90∴AG=1∵DF⊥BC，DG⊥AC，∠ACB=90∴四边形DGCF为矩形，∴DG=CF，∴F3∵E为P,F的中点，∴E3令x=3则：y=1−4∴点E在直线y=1−4当点P与C重合时，a=0，此时E(0,1)，当点P与A重合时，a=2，此时E3∴点E所经过的路径长为12故答案为：194．19.（24-25·江西模拟）已知二次函数y=ax2−2ax−2关于x轴对称的图象经过点(1,4)，则a的值为________【答案】2【解析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键．

由题意可知二次函数y=ax2−2ax−2的图象经过点(1,−4)，再将(1,−4)代入y=a【解答】∵二次函数y=ax2−2ax−2关于x轴对称的的图象经过点(1,4)∴二次函数y=ax2−2ax−2将点(1,−4)代入y=ax2−2ax−2整理得−4=a−2a−2，解得a=2．故答案为：220.（25-26·湖南模拟）在平面直角坐标系中，作点A(7,−3)关于y轴的对称点A′，再向右平移2个单位长度得到点A″，则点A″的坐标是____【答案】(−5,−3)【解析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先根据点坐标与轴对称变换规律可得点A′的坐标为A′(−7,−3)【解答】解：∵在平面直角坐标系中，作点A(7,−3)关于y轴的对称点A′，∴A∵将点A′向右平移2个单位长度得到点A∴A″(−7+2,−3)故答案为：(−5,−3)．21.（23-24·山西中考）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标f(℉)与摄氏温标c(​∘C)之间的函数关系为f=95c+32，热力学温标T(K)与摄氏温标c(​∘C)之间的函数关系为【答案】−328【解析】本题主要考查了求函数值，正确理解题意是解题的关键．直接把T=73.15K代入到T=c+273.15中确定c=−200，再代入f=95c+32【解答】解：∵T=c+273.15，T=73.15K∴73.15=c+273.15，解得：c=−200，∴f=95×(−200)+32=−328

故答案为：−328．22.（24-25·新疆模拟）函数y=x+2中，自变量x的取值范围是_____x≥−2______．【答案】x≥−2【解析】此题暂无解析【解答】解：∵x+2在实数范围内有意义，∴x+2≥0，

∴x≥−2，

故答案为x≥−2．23.（24-25·湖南中考）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程s（米）与时间t（秒）的函数关系如图所示，填_____甲_______（“甲”或“乙”）先到终点：

【答案】甲【解析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案．【解答】解：根据图象可得甲到达终点用时12秒，乙到达终点用时14秒，∴甲先到达终点，故答案为：甲．24.（25-26·贵州月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A3,0，B0,2，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为_____5______

【答案】5【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

先取点A关于直线的对称点A′，连A′O交直线l于点C，连接AC，A′A′C，PA=PAPO+PA的最小值为A′O，再利用勾股定理求【解答】解：如图，取点A关于直线的对称点A′，连A′O交直线l于点C，连接AC

∴A∴AC=A′C∴PO+PA=PO+PA∴当O,P,A′三点共线时，PO+PA的最小值为∵l⊥y轴，∴A∵A(3,0)，B(0,2)，

∴AO=3,OB=2，∴AA∴A∴PO+PA的最小值为5，故答案为：5．25.（23-24·四川中考）已知，直线l:y=33x−33与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形

【答案】522023【解析】直线直线l:y=33x−33可知，点A1坐标为1,0，可得OA1=1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点B11【解答】解：∵直线l:y=33x−33与x轴负半轴交于点A1，∴点∴OA过B1，B2，作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A

∵△A1∴∠OB∴MO=1∴B∴B当y=32时，32∴A2C∴C∴B∴B∴当y=734时，7∴A而254同理可得A4的横坐标为5∴点A2024的横坐标为5（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1,1)，B(−2,3)，C(−5,2)．

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90∘后得到的△AB2（3）在(2)的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长（结果保留π【答案】作图见解答，B1(2,3)作图见解答，B52【解析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B、C以点A为旋转中心逆时针旋转90∘（3）先求出AB=5，再由旋转角等于90【解答】（1）解：如图，△A1B1C1为所求；点B1（2）如图，△AB2C（3）AB=1点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长90×5π18027.（2012·黑龙江中考）在直角坐标系中，C(2, 3)，C′(−4, 3)，C″(2, 1)，D(−4, 1)，A(0, a)，B(a, O)(a>0)结合坐标系用坐标填空．(2, 2)点C与C′关于点___(−1, 3)_____对称；

点C与C″关于点___(2, 2)_____对称；点C与D____(−1, 2)____对称；（2）设点C关于点(4, 2)的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．【答案】(−1, 3),(2, 2),(−1, 2)2或5或7+89【解析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可；（2）先求出点P的坐标，再根据a的大小分类讨论．当0<a≤6时，根据S△PAB=S梯形APP′O−S△AOB−S△BPP′【解答】（1）解：由图可知，点C与C′关于点(−1, 3)对称；

点C与C″关于点(2, 2)对称；点C与D关于点(−1, 2)对称；点C关于点(4, 2)的对称点P(6, 1)，过P作x轴垂线交x轴于点P′

(I)如图1，当0<a≤6时，则S△PAB=5=1解得a1=2，(II)如图2，当6<a<7时，S△PAB5=1解得a1=2（舍），(III)如图3，当a>7时，S△PAB5=1解得a=7+892综合(I)(II)(III)可得，a的值为2或5或7+892．

28.（25-26·山东复习）如图，在△ABC中，A(1,−1)、B(1,−3)、C(4,−3)．

（1）△A1B1C1是△ABC关于y轴的对称图形，则点（2）将△ABC绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到△A2B2C2，则（3）△A1B1C【答案】(−1,−1)(4,2)是，y=−x+1【解析】（1）根据轴对称的性质和关于y轴对称的点的坐标即可求出点A1的坐标；（2）利用网格将图形逆时针绕点(0,1)逆时针旋转90∘即可得到点B（3）连接△A1B【解答】（1）解：由图可知，点A的对称点A1的坐标是(−1,−1)，故答案为：(−1,−1)；

（2）解：由图可知，B点的对应点B2的坐标是(4,2)故答案为：(4,2)；

解：由图可知，对称轴经过点(0,1)和点(1,0)

假设对称轴的解析式为y=kx+b

将两个点的坐标代入解析式得：b=10=k+b ∴对称轴的解析式为：y=−x+1故答案为：y=−x+1．29.（24-25·广西中考）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．

（1）写出A,B两点的坐标；（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．【答案】A(0,5),B(5,0)5π叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90∘【解析】（1）先证明四边形OAO′B（2）根据∠AOB=90∘，算出（3）利用旋转即可．【解答】（1）解：∵以原点O，O′(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点∴OA=OB=O′A=O∴∠AOB=OBO′=BO∵原点O，O′(5,5)为圆心、以∴两个圆是等圆∵∠AOB=AO′B=90∘（3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90∘

30.（25-26·江苏模拟）在同一平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点P，Q分别在一次函数＝−x+3与y=3x−5的图象上，求点P的坐标．【答案】P(1, 2)【解析】根据平面直角坐标系内直线上点的特征，可设P(a, −a+3)，设Q(a, 3a−5)，再利用关于x轴对称的点的特征即可求解．【解答】解：∵点P在一次函数y=−x+3的图象上，设P(a, −a+3)，点Q在一次函数y=3x−5的图象上，设Q(a, 3a−5)，∴−a+3+3a−5=0，解得a=1，∴P(1, 2)．

31.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚13h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间x（单位：h

（1）图中a的值是___300__，b的值是___2____；（2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．【答案】300，2y=−90x+24042621h或16【解析】（1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为120km，进而求出a的值，求出轿车的速度，求出轿车从B开往C地所需的时间，进而求出b的值；（2）根据轿车比货车晚13h到达终点，求出N点坐标，进而求出（3）分轿车到达B地之前，轿车到达B地，货车离B地40km，以及货车到达C地时，三种情况进行讨论求解即可．【解答】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为120km，A、B两地的距离为180km，∴a=180+120=300，∵轿车的速度为：1801.5∴轿车从B开往C地所需的时间为：120120∴b=3−1=2；故答案为：300，2；（2）∵轿车比货车晚13∴货车到达C地所用时间为：3−1∴N8∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地，∴M4设y=kx+b(k≠0)，∴83k+b=0∴y=−90x+2404由(2)可知，货车的速度为：120÷4∴当轿车到达B地之前，120x+90x+40=300，解得：x=26当轿车到达B地，货车离B地40km时，40÷90=49h当货车到达C地时，此时轿车离点C的距离为：120×13=40km，恰好满足题意，此时x=83；

综上：轿车出发2621h或169h32.（25-26·广东月考）平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A(4,0)，B(−1,4)，C(−3,1)

（1）若△A1B1C1与△ABC关于（2）求△ABC的面积．【答案】画图见解答，B1(−1,−4)232【解析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】（1）解：如图所示：△A1B其中，B1

（2）S△ABC=4×7−1233.（25-26·河南期中）平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−2,5)，B(−3,0)，C(1,2)．