第二章指数函数、对数函数与幂函数半期复习讲义(学生用)

第二章指数函数、对数函数与基函数

一、知识回顾

(一)指数与指数函数

1.根式：(1)根式的概念

根式的概念符号表示备注

一

如果Z=a，那么X叫做a的〃次方根n>1且〃GN*

当〃为奇数时,正数的〃次方根是一个正数,负数的〃次零的〃次方根是零

方根是一个负数

当〃为偶数时,正数的〃次方根有两个，它们互为相反数±标(〃>0)负数没有偶次方根

(2)两个重要公式

an为奇数

①疗<[a(a>0):②(标")"=〃(注意。必须使标有意义)。

\a\=\/二n为偶数

-a(a<0)

2.有理数指数幕

(1)基的有关概念

①正数的正分数指数累：47=痂(〃>。,加、

neN*,且〃>1)；

②正数的负分数指数幕:〃>0,根、n€>1)

③0的正分数指数幕等于0。的负分数指数幕没有意义.

注：分数指数疑与根式可以互化，通常利用分数指数塞进行根式的运算。

(2)有理数指数幕的性质

@aras=ar^s(a>0,r>s£Q)；②(a^=@瑶(2>0,1\s£Q)；③(ab)『二arbs(a>0,b>0,r£Q)。

3.指数函数的图象与性质

y-axa>l0<a<1

图象…一¥典”]

-oli♦-di工

定义域R

值域(0,+8)

性质(1)过定点(0，1)

(2)当x>0时，y>l；当x<0时,0<y<1(2)当x>。时，0<y<1；当x<0时,y>l

(3)在(-8,+8)上是增函数(3)在(-8,+8)上是减函数

注：如图所示，是指数函数(I)y=a\(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=d'的图象，如何确定底数a,b,c,d与1

之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

,l,l

c>d>l>a>b,/.c>d>l>a>bo即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

(二)对数与对数函数

1、对数的概念

(D对数的定义

如果，=N(a>0且。H1),那么数x叫做以。为底，N的对数，记作x=log/,其中。叫做对数的底数,

做真数。

(2)几种常见对数

对数形式特点记法

底数为。。>目々工

一般对数0,.1log(，N

常用对数底数为101g.V

自然对数底数为eIn.V

2、对数的性质与运算法则

(1)对数的性质(。>0,且。工1)：@logj=0,②log；=l,③*g/=N,®log/=yVo

(2)对数的重耍公式：

①换底公式：logj=粤力(4/?均为大于零且不等于1,N>())；②k)g/=

log/喘

(3)对数的运算法则：如果。〉0,且awl,M>0,N>0那么

M

①log0(MN)=logM+log“N；②log”—=logM-logN；

ttNrta

③log"M"=〃log“M(〃e/?)；®log...bn=-\ogb.

m((

(2)值域：R

(3)当x=l时,y=0即过定点(1»0)

(4)当0cx<1时，yG(-OO,0)；(4)当x>l时，ye(-GO,0)；

当x>1时，yG(0,+oo)当Ovx<l时，yG(0,+oo)

(5)在(0,+8)上为增函数(5)在(0,+x)上为减函数

问题：确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系

提示：作一直线y=l,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

0<c<d<l<a<b.

4、反函数

x

指数函数y=a与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

(三)幕函数

1、幕函数的定义

形如y=x。(a£R)的函数称为某函数，其中x是自变量，a为常数

注：幕函数与指数函数有木质区另！在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变

量在指数位置。

2、嘉函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x,y=x"y=x“方法:

可画出X=X()；

I

当xo>l时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3,y=x2,y=x,)，=户,

y=x'：

当0<x()<l时，按交点的高低，从高到低依次为y=xLy=x-,y=x,

y=x2,y=x3o

3、幕函数的性质

寺三数\_

7123.1

y=xy=xy=xy=x2y=x

定义域RRR[0,)

值域R[0,+8)R[0,-Ho)3)，£R且"0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

x£[0,+oo)时，增；

x£(0,+8)时，减;

单调性增增增

XW(-00,0]时,减x£(-8,o)时，减

定点(1,1)

二、题型归纳

(一)运算问题

例1、化简或求值:

(1)Q75Tx+/0(j3-2)f++16J；

300

4/

Q—8a，b

(2)-亚］

4凉+2病+Qla）米石•夜

lg51g8000+(lg273)

(3)

lg600-|lg0.036-|lg0.1

Y2.v2

例2.(1)已知x+y=12,p=9,且工＜y求——的值

x2+y2

（2）已知1g。和1g8是关于x的方程X2—x+〃7=o的两个根，而关于x的方程X2—（lga）x—（1

十恒幻=0有两个相等的实数根，求实数。、〃和团的值，

（二）定义域、值域问题

例2、求卜.列函数的定义域:

2

0\l-x-3x4-4

(Dv-/^⑵y

V-X2-3X+4ln(x+1)

例3、求下列函数的值域;

(1)已知/(x)=l+log2Mle(2)y=2r+2v；；(3)y=\^~3x2+6x+7^；

，，'—1/八八

(4)y=―—

4+1

（三）单调性问题

例4、求下列函数的单调区间:

z]x6r+/7

22

⑴产5;(2)y=lg(—3X+6X+7)；(3)f(x)=\og93\x-6x+5\；

\^7

2

例5、(1)若〃=2°，b=log*3,则().

A.a>b>cB,b>a>cC,c>a>hY).b>c>a

变式：已知OVaVl,b>l,ab>l,则loga：,】og“b』ogt的大小关系是()

i).,.1.I

A.ioga-vlog力vlog,—B.log.b<log-<log-

bbt)6o

C.Tog力<log,；<log..；D.log+7<log.,7<bg)

bbbb

(五)奇偶性问题

例6、定义在(-8,+8)的任意函数/㈤都可以表示成一个奇函数g㈤和一个偶函数〃㈤之和。如果

f(X)=lg(/OX+jyXG(-OO,+8),那么()

xxxx

A.g(x)=xth(x)=\g[l&+10~+2\B.g(x)0+l)+x~^,h(x)=^_lg(J0+1)—x]

C.gW=p/?W=lg(/Or+/)—D.g(x)=—^,h(x)=\g[10x+l^^

(六)综合问题

例7、设集合A={x|21ogJx-211og8X+3W0},若当时，函数/(x)=log?;r」og2巳的最大值

224

为2,求实数。的值.

（八）恒成立、存在性问题

例8.对于函数/（x）=log］（x2—2ar+3）,解答下述问题:

2

（1）若函数的定义域为R，求实数。的取值范围；

（2）若函数的值域为R,求实数。的取值范围：

（3）若函数在［—1,+8）内有意义，求实数。的取值范围；

（4）若不等式/（x）W—l有解，求实数。的值：

（5）若函数的值域为求实数a的值；

（6）若函数在（-8,1］内为增函数，求实数。的取值范围.

课后巩固练习:

1,函数y=JlogJ3x-2)的定义域是:()

AB(1,4-co)C[y,lJD(j,l]

2.(2012年高考(陕西理))下列函数中,既是奇函数乂是增函数的为()

A.y=x+\B.y=-X2C.y=—D.y=x\x\

'x

2ex~\x<2,

3.设7U尸，则不等式7U)>2的解集为()

[log3(x--l),x>2,

A.(1.2)D(3,+OD)R.(J10.+8)C.(1.2)U(<10,+00)D.(1,2)

2

4.若log”->1,则。的取值范围是()

3322

A.\<a<—B.0<〃<1或1<。<二C.—<«<1D.0<a<—或。〉I

2233

5.已知函数y=log】x与y=Zx的图象有公共点A,且点A的横坐标为2,则攵=()

6.(2012年高考(安徽埋))下列函数中，不满足了(2幻=2/(幻的是()

A./(x)=|x|B.f(x)=x-\x\C./(x)