2026版53高考总复习A版数学-26版讲解册即练即清详细答案

即练即清全册详细答案

专题一集合、常用逻辑用语与不等式

L1集合

1.(1)J集合中的元素具有无序性.

(2)X空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(3)X集合{y|y=2x,xwR}为数集，集合{(%,)儿，=2x,xeR}为点集，不是同一集合.

(4)V因为(AC4)=(AU4),故若xtAClB,则

2.A因为A={xeR|x410},〃=6<2,所以awA.故选A.

3.答案：{^14x42}；{x|xvO或工工1}

解析:因为集合A={x|0<J<2),«={x|l<x<3},

所以/\门3=卜|14/42}，4，A=卜上<0或%>2},所以(屯人)。4=卜卜<0或工皂1}.

故答案为{加4142}；{小<0或％N1}.

4.答案：{0,1,2)

解析:本题易忽视空集.•.•A={x|公=2},A=N,

，当A=0时，〃=()；

2

当Aw0时，由x=—eN得々=1或2.

综上,得”{0,1,2}.

1.2常用逻辑用语

1.(1)v根据充分条件、必要条件的概念，可知是正确的.

(2)X"x>0”是"x>l"的必要条件，故错误.

(3)J由存在量词命题的否定是全称量词命题判断.

2.【答案】存在量词命题；VXGR,x2+2A+5*()

【解析】命题〃含有存在量词汇是存在量词命题.其否定为HreR,W+2x+5*O.

故答案为存在量词命题；VxeR,x2+2A+50.

3.【答案】(一8,2]

【解析】根据集合间的包含关系求解.

13不等式的性质与解法

1.(I)X由不等式的性质，当C=0时，〃>力=>"2：>儿2不成立，故错误.

(2)V符合不等式的可乘方性，故正确.

(3)X只有当。<0且$<々时，一元二次不等式or?+法+c>0的解集为｛xlxvx<；2｝，

错误.

(4)V不等式o^+Zu+cKOmwO)或ad+b%+c2o(awo)的解集为空集，可得对应的函

数)，=a/+Z?x+c(aHO)的图象与x轴没有公共点，所以函数1y=a，+/u+c无零点，正确.

(5)X取〃=-3力=-2,则式:>1,错误.

2【答案】B原不等式司化为f—2x+4<0,jtnx2-2x+4=(x—I)2+3>0,原不等式

无解，解集为0.故选B.

3.【答案】B

【解析】(待定系数法)设々7-2。="©-/?)+〃(。+〃)=(阳+〃)〃一(〃7-“)。,

,72+A7=4tTl=3

所以《C，解得V,,所以4a-乃=3("-/?)+(q+〃)，

m-n=2[n=1

又a-0w[0』[M+〃w[2,4],所以3(〃一与w[0,3],4〃一%三[2,7],故选B.

4.【答案】M>N因为M-N=M-。-。+1=仅-1)(。一1),且a,/?E(0,1),

所以M-N>On">N.故答案为M>N.

1.4基本不等式

1.(1)X,不等式2ab成立的条件是不等式审之而成立的条件是

错误；

(2)V,是基本不等式的变形，正确；

\_

(3)X,当％<°时，*x是负数，错误：

(4)X,理由一：显然，V+2+」二>2恒成立,2不可能是其最小值.

理由二：若利用基本不等式V+2+—二22,则等号成立的条件是当且仅当寸+2=工，

即丁二一1,无解.故取不到等号.故错误.

2.【答案】D

【详解】因为〃7>0，〃>0，mn=81,所以加+〃2=18,当且仅当〃z=〃=9时取等

号，故选D.

3.【答案】2+46

____“二26

【详解】2+3“22+2辰•±=2+4g,当且仅当“3时取等号，故最小值为

X7X

2+43

专题二函数及其性质

2.1函数的概念及表示

l.(l)X值域是函数值组成的集合，值域是集合B的子集.

(2)X两个函数的定义域和值域分别相同，对应法则不一定相同，如y=x与y=2x不是同一

函数.

(3)J根据函数的概念判断即可.

2.答案1

解析由人-2)=0得：1+捻=0,解得：a=\.

一/十a

3.答案(-8,1)

解析依题意得：l-x>0,解得：x<l.

4.答案-1

解析人-3)=1喻4=2,所以/(□(-3))=穴2)=257.

2.2函数的单调性和最值

l.(l)x函数的单调递减区间是(-8,0),(0,+8),不能用“U”，因此结论错误.

(2)X对R上任意的X&X2,都有f(xi)<f(X2),才能判定函数是增函数，因此结论错误.

(3)7由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知，结论正确.

2.答案［-1,1)

—2£Q+1W2,

解析依题意得：—2W2QW2,解得：-1WK1,因此答案为［“，I).

a+1>2a.

3.答案3；%

解析易知yu)在［1,4］上单调递减，所以最大值为.铝尸/与，最小值为.人4)=；4T.

2X1-12X4-71/

3.答案(0,9J

解析由函数f(x)=x44>0)在［赤，+8)上单调递增得：\/a<3,又a>0,因此0<〃W9.

2.3函数的奇偶性、周期性和对称性

l.(l)x［解析］对于府<烂1),存在Xo=0.5使代工0)二.贝即),但於)的定义域不关于原点对称,

所以它不是奇函数,故结论错误.

(2)x［解析］偶函数的图象不一定过原点正确，但若奇函数在尸0处无定义时，其图象不过

原点，只有当x=0时函数有意义，其图象才过原点，因此结论错误.

(3)7［解析］因为7,是函数人r)的一个周期，所以府+27)口tr+7)力U),因此27'也是函数人r)

的周期，进而可以得到对任意非零整数〃，〃丁都是函数/*)的周期，故结论正确.

(4)4［解析］由知识拓展中的结论知结论正确，

2.答案;［解析］依题意得：『一；+2；=0,解得：卜二”因此a+bg.

3.答案・2［解析］川)=1+1=2,因为危)是定义域为口的奇函数,所以如1)=41)=2故选C

4.答案-1［解析］由7U+2)=/U)得:危+4)=-危+2)可⑴，因此段)是以4为周期的周期函数，

所以，/2025)=/(1)=^-1)=-1.

2.4二次函数与森函数

l.(l)X暴函数的图象不经过第四象限，所以结论错误.

⑵X当a=・l时，尸川在(.8,0)和(0,+8)上均单调递减，但不是减函数，所以结论错误.

(3)7结合塞函数的图象知结论正确.

(4)x对于函数凡i)=aF+Ax+c(xWR,a/)),当〃=0时，函数八丫)是偶函数.所以结论不正确.

2」答案］4；2或14；1［解析］二次函数产片-(加-4)工+2加3图象的对称轴为产咛,所以当对

称轴为产0,即等=0,即〃尸4时,函数图象的顶点在)，轴上.因为二次函数产/-(〃?-4火+2”-3图

象的顶点坐标为(等，e+詈28),所以当廿+=28=0,即而+］6吐28=0,即%2或〃『14时，

函数图象的顶点在x轴上.当x=0时产2利-3,所以当2〃?-3=0,即〃『|时,函数图象经过原点.

3.［答案［解析］依题意得：解得：因此k+a*

4.［答案］(一8,-3］［解析］函数Hx)图象的对称轴为A1-小由函数代丫)在(-8,4］上是减

函数得，1-定4,解得；*-3,故实数a的取值范围是(-8,-3］.

2.5指数与指数函数

l.(l)x当〃为奇数时,=('VZ)n=Q,当〃为偶数时,=⑷，(VH)”=Q(Q>。).

(2)7由指数函数的图象知结论正确.

(3)、tar>0(a>0且存1)恒成立，.：指数函数的图象一定在x轴上方，故正确.

2.V2令。2-1=］得：a2=2,解得：a=±y/2>乂。>0,因此。=注.

［易错警示］指数函数不仅要求系数为1，还要求底数为正且不为1.

3.2或3由题意得a=2或。一1=2,所以a=2或:.

4.(-1,0)令x+l=0得：x=・Lf(-l)=l-l=0,故函数图象恒过点的坐标为(-1,0).

2.6对数与对数函数

I.(1)X当M<0,N<0时等号右边无意义，结论不成立.

(2)Xlog3X2=21og3|A-|,因此结论错误.

(3)7由对数运算法则知结论成立.

(4)x对数函数的图象都过定点(1,0),因此结论错误.

2.［答案］8［解折］依题意得，003。。。2X)=1=，。。33，因此］。92汇=3=故X=8.

3.［答案］avc<〃［解析］因为“logo.23Vo力=203>2°=1,0<C=0.30,2<0.3°=1,所以a<c<b.

4」答案g［解析］由alog29=3,可得log2y'=3,所以9"=23=8,所以3"=9"=点=*

2.7函数的图象

1.(1)7将函数/U)的图象先向右平移1个单位长度，可以得到函数凡。1)的图象，再向上平

移1个单位长度，可以得到函数次41)+1的图象，结论正确.

(2)X若困数府)具有奇偶性，则函数产火戈)|为偶函数，否则结论不一定正确，如取府尸.计1,

则函数产风到是非奇非偶函数.

(3)x函数凡什1)的图象是由函数代丫)的图象向左平移1个单位长度得到的.因为函数)二仆)

的图象经过点(1,2),所以函数产於+1)的图象经过点(0,2).故错误.

(4)x把函数)，=log3(x-l)图象上任•点的横坐标缩短为原来的f纵坐标不变，得到函数

y=log3(2x-1)的图象；

再把所得图象向右平移3个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y=log3(2(x-0-

1］=^3(2X-2).

故结论错误.

2」答案］D

［解析］由叶1>0,解得MJ或x1所以段)的定义域是(3,・l)U(l,+oo),故A,B错误.当x>\

时危)=-10g2(H-l)=-10g2a-D单调递减，故C错误,D正确.故选D.

［易错警示］已知解析式选择函数图象，要从定义域、奇偶性、单调性、特殊值等角度分析选

取，解题时防止遗漏导致解题错误.

3.［答案］C

［解析］出发时距学校最远，排除A;中途因交通堵塞停留，距离不变，排除D;堵塞停留后比原来

骑得快，排除B.故选C.

4.［答案］左，3；下，1(或下；1；左；3)

［解析］将把函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以

得到函数)=lg(x+3)-l=lgM的图象.(也可以先向下平移1个单位长度，再向左平移3

个单位长度)

2.8函数的零点与方程的根

l.(l)x函数的零点是函数的图象与X轴交点的横坐标.

⑵X因为方程/+x+l=G的判别式/=1-4=-3<0,所以函数於)没有零点，故错误.

(3)x二分法只能求变号零点的近似值.

(4)7由函数零点存在定理可知正确.

2.［答案］e

［解析］因为儿r)=lnx-l在(0,+8)上单调递增，且人e)=lne-l=O,所以函数y(x)=lnx-l的零点为e.

［易错警示］函数的零点是数，不是点.

3.［答案卜2

［解析］因为长2)=-3(041)=4>0,且於)在定义域R上单调递增,所以可以取的初始区间足

(2-1).故〃=-2.

4.［答案］(0,3)

［解析］由题意得川y(2)V。BP(2-2-a)-(4-l-d)<0,因此0«/<3,

因此实数。的取值范围是［0,3).

2.9函数的模型及应用

i.(i)x对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，但是模拟效果有区别，结论错误.

(2X当43时，23=8<32=9,结论不成立.当X无限增大对，函数)=2•'的增长速度比产产快.

(3)X因为100X1.1X0.9=99<100,因此亏本，结论错误.

2.D指数函数模型.

3.［答案］506

［解析］设日销售金额为)，元，则产("+35)(什10)=-9与『+350+竽，又0/30,WN,所以当

金12或13时j取得最大值506,故这种商品的H销售金额最高为506元

［易错点］由于/WN,因此7=12或13时,y取得最大值506.

4.［答案］200

［解析］当x=l时，100=alog33,所以a=100,所以x=7时,y=100log39=200.

_(0.5x,0<x<100,

5.［答案］y

一(0.4x+10,x>100.

［解析］当0<x<100W，y=0.5x；当x>100W,y=0.5x100+0.4x(x-100)=0.4x+10,

0.5x,0<x<100,

因此y=

0.4x+10,x>100.

专题三导数及其应用

3.1导数的概念及运算

由导数定义式知/'(1)=lim------―1—•1lim--------—————•1

AY，所以2Ar

lim/(l)-/(l+2Av)=1hm-+2/-

仍成立，所以2Ax,所以Ai°AY

(2)X/=2(sin(l-3x))=2cos(l-3x)(l-3x)r=-6cos(l-3x)

2.答案B

解析因为凡x)—Hnx+x2,所以/(x)—3+2x,所以/(1)一。+2—3,解得。一1,则贝%)一

lnx+f,所以*)=1,将点(1,1)代入切线方程得3—1+Q0,解得6=-2,故a+b=

一1.故选B.

3.答案3x2ex+/ex

解析/(幻=(7)ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex.

4.答案27

解析g'(x)=3炉,所以屋(3)=27.

3.2导数与函数的单调性、极值和最值

1.(1)X可能是了(X)20(2)X如函数y=q(3)V

2.C

［解析］在区间(4,5)匕广(外>0恒成立,所以/(%)在区间(4,5)上单调递增.

工(-嘉)

［解析］由/(x)=x3-x+2,可得/',(%)=3x2-1,令/(%)=3x2-1VO,得一当VxV£

JJ

所以7•(%)的单调递减区间为(一4,4).

4.(-oo,l)

［解析］由题意得f'(X)=1-?.令/'(无)>0,即尸>0,解得XVI或x>2,

Z-X2—XZ-X

又％V2,所以％VL所以/(%)的单调递增区间为(一8,1).

易错分析求单调区间时易忽略定义域而致误.

专题四三角函数与解三角形

4」三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

1.(1)X终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等.例如-300角和330°角

终边相同，但是两个角不相等.

(2)X例如100°角是第二象限角,370°角是第一象限角，(0100°<370°.

(3)X例如仪=一240。，则sina>0且tana<0,但。不是钝角.

2.-4V3由三角函数定义知：cos600=/、2,cos600=cos(600-720)=

Va12+*(-4)2\)

cos(-120)=COS120=-COS60=所以*^=一；，因为600°角的终边在第

V/2va+(-4)2

三象限，所以a<0,所以a=-4\/3.

-r+2r=21

3.6；27设扇形所在圆的半径为「，则2,解得「=6,该扇形的面积

13、

S=-X-X62=27

22

_2,2cosa-sina八丁八E「以…/口2coscr-smcr2—tana

4.5；--由--------------分子、分母同除以cosa得，--------------=---------

5sinc+coscsina+cosa1+tancr

，1汨足一「rnM.sinacosatana....

代入tana=——，得原式=5,因为sinacosa=——-----------—=----------—代入

2sin-cr+cos~al+tan-a

1?

tancr=——得原式=——

25.

5.1-V3

tan3000+sin450。=tan(360-60°)+siii(360°+90°)=tan(-60)+sin90°=I-V3.

4.2三角恒等变换

1.(1)v

cos7-sinlbsinS

,cos8~

_cos(15a-8°)-sin15'sinS°

cos80

_cosl5cos8+sinl5sinSv-sinl5"sin8^

cos8

_coal5"co»8°

cos8~

=cos15°

=cos(45°-30°)

=cos450cos30°+sin450sin3D°

_\/26v/21

=-2-XV+VX2

_\/6+\/2

4•

(2)X当a=B=45°时，就不成立.

]V3

(3)xsinx-V3cosx=2(—sinx--cosx)=2(sinxcos^-cosxsin^),所以

cose=g,sin0=*,而夕〉（），所以e的最小值为

2.1cos15°cos450-sin150sin450=cos60号.

r同C1C•2。,/1-COS^V30_71c,q

3.——cos^=1—2sin—>所以sin—=±J-------=±----->而一<£<不，所

622V262

葭Ssin"。sin限叵

以422,即2，所以26

4.3三角函数的图象与性质

71n冗

XG得2“wg2同，所以函数＞'=，。$2]在5'上是增函数.

1.(1)x由

（2）X函数y=Asin（at-。）的初相为一。.

（3）4将函数），=sinKX€|"q,,]的图象向左平移£个单位长度可得x£[0,2口的图象,

g|J3'=sinx+—=cosx.

\2,

/】44

（4）X令f=sinx,le（0,1],则），=：+f,由对勾函数模型得为m=[+1=5.

2.,XXH&乃一因为y=lanjf-x],所以乙一1/2+&不，keZ,

4JUJ42

解得xw—&乃一工，ksZ,故答案为：[d万一fMez].

3.±g因为函数/（x）=cos（2x+e）为奇函数，所以9=E+TWeZ）,又因为一兀4°〈兀，

所以k=09=；或&=_14=_；.故答案为与.

4.4解三角形

l.（l）X在AABC中，A:8:C=1:2:3,由三角形内角和为180。知A=30°,8=60°,C=90°,

0由正弦定理得a:Z?:c=sinA:sinB:sinC=sin30°:sin600:sin90°=1:^:2.

（2）X在AABC中，若〃+。2>/，只能说明,2bc,八是锐角，其他

两角是不是锐角不确定.

（3）7由余弦定理/=/+C2_»CCOSA,当A=9（F时，则有/二^+不，可知正确.

（4）X由正弦定理可得sin8="“4,因此三角形可能无解，可能有唯一解，有可

a

能有两解.

2.y由题意知，,八”=："4110=!"，所以$亩6'=:，又因为在锐角三角形ABC

6242

中，Ce(O^),所以C=B-

26

222

3.若3(a-c)-=3/-2ac,则3a-6ac+3c=3b-2ac»可得/+c?；ac,

J1

由余弦定理得cosB=o"=-.

lac3

4.5（V3+1）如图所示，依题意可知45=6C,

ABABGAB

在旧'8£）中,tan3()—=--------n-=-------

BDBC+CD348+10

解得"=5(&+l)m.

专题五平面向量与复数

5.1平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标表示

i.(i)x。与任意向量平行.

(2)X力与方所在的直线还可以平行・

(3)X基底向量中一定不可以含有零向量，故错误.

(4)X当。=(1,0)、8(2,。)时，满足〃与力共线，但不满足3=4因此结论错误.

x2丫2

2」答案12［解析］因为向量。二(2，。力=(1,・1),所以因为(〃/)〃仇所以

(什1)x1=1x(-1),解得r=-2.

3.［答案］(2,今［解析］设D(x,y),则近=(4,3),荷=(x,y-2)，

由前=2而得：1；：：2飞解得：IB1之即口。，》

3.［答案E［解析］由题可知荏通+而),：/是线段8E的中点，.:而W而+：冠，

6322

^=(-x-+^AB+-y-AD,.\AF=-AB+-AD,.\x=-.

\322/32'63'6

5.2平面向量的数量积

1.(1)［答案］x［解析］两向量的夹角的取值范围是［0,用.

⑵［答案］X［解析］当莉-0时，成力;可能均为非零向量且口亡故错误.

(3)［答案］X［解析］因为@石记表示的是与1共线的向量，水石£)表示的是与不共线的向量.所以

(高MS(兑)不一定成立，故错误.

(4)［答案］X［解析］当力=6时，石=2不一定成立，故错误.

2•［答案］(级)

［解析］由题意可得万方=2乂1+1乂2=4,而=>/1^7=遍,所以2=33=3e=G，9.

I易错警示］解决投影向最应注意概念与计算公式：腑刃上投影向量的定义：西=0cos循

①为与石方向相同的单位向量).嵇让投影向量的计算公式为：西=|d|x磊jx,费解

题时防止记错公式导致解题错误.

3.［答案］-6&［解析旧］=|外区|cos135o=3x4x(・/)=-6VI

4」答案］150。［解析］：*tf=(-V3,-1)5=(1,V3),.：\a\=2jS|=2,^=-V3xl-lxV3=-2A

•:85。=第二笑=T，又()°<0<180°,.：<?=150°.

|n||6|2X22

5.3复数

i.（i）x〃+历的虚部是儿故错误.

⑵X当。=0且屏0时，z是纯虚数，故错误.

⑶X复数不可以比较大小,如i与0不能比较大小:若>0,则产>0xi,即-l>o；若i<o,

则产>0xi,即-l>0,均不成立.

（4）X若z=i,则当=-1£R，但z/R,故错误.

2」答案卜3

［解析］因为（〃产+»6）+（〃?+2）i是纯虚数,所以爆z、2：,%=0解得〃尸”.

3.［答案］2・3i

［解析］依题意得耐=（1,1）,丽=（-1,4）,所以瓦?=而-丽=（2,-3）,故向量瓦?对应的复数为2-3i.

4」答案］3兀

［解析］由复数的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点在如图所示的圆环内（包括边界），

小圆的半径『1,大圆的半径R=2,所以圆环的面积5=兀（足-r）=3兀,即所求面积为371.

专题六数列

6.1数列的概念及表示

1.(1)X(2)X

(3)J(4)J

2.D

［解析］。2=1+=2,Q3=1+=ka4=1+=3,=1+=泉

3・…就武.

n+1n

［解析］因为%=2标】-1,所以当nN2时，an=S。-Sn_1=(2-1)-(2-1)=

2n,

当"=1时,即=Si=3不满足上式，故册=;女

易错分析易忽视对九=1的验证而致误.

6.2等差数列

即练即清

1.(1)X(2)V(3)X

(4)X

2.A

［解析］由题意得［%+3d+%+7d=I。，解得^故选A.

1。1+9d=6,4

3.5

［解析+a3+a5=3a3=3=»cz3=1,S5='⑶;")=5a3=5.

4.2n—5;n2—4n

［解析］设等差数列｛5｝的公差为d.。3+=2a5=1。，内=5,d=a6-a5=2,:.

=5+(n—5)x2=2龙一5,:.ar=-3,

c(-3+2n—5)xn7A

AS=-----------------=-4n.

n2

5'(fV)

［解析］由题意知dvo且即f+7d>0,解得一ivdv—1

8

U9<0,(7+8dV0,

易错分析易忽视题干中的“当且仅当"而致误.

6.3等比数列

1.(1)X在等比数列中，qWO.

(2)X若4=0,/?=(),c=0满足〃2=〃c,但a,b,。不成等比数列.

(3)X当a=l时，SH=n.

(4)X若0=1,〃=一1,则S4=0,S8-S4=0,S|2-S8=O,不成等比数列.

2・答案T

解析由ai=27,^=243J可得'27X^=正

8

即d=(9，又由,<°，得夕=—/

所以58=华吧=詈2.

l-qoI

3.答案3k或22

解析设数列｛〃“｝的公比为小

ci\q=6,

由题意得

60+=30,

q=2,4=3,

解得或

671=3ai=2,

故斯=3・2"r或许=23门.

4.【答案】8

【解析】等比数列｛0｝中，所有偶数项符号相同=4/>0,

«2=4,4=16,则=生%=64.

所以％=8.

易错分析•••可?=电线=64±8，忽视题中的所有偶数项符号相同而致误.

专题七立体几何与空间向量

7.1空间几何体的结构特征、表面积和体积

1.(1)x,根据棱柱的定义可知错误.

(2)X,根据楂锥的定义可知错误.

(3)X,这时侧棱的延长线不一定交于一点.

(4)V，设长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为则有必=2,权、=6,ac=9,

所以(aOcf=108.则长方体的体积V=abc=66.故正确.

(5)X,正方形的直观图是平行四边形，所以错误.

2.【答案】D

【详解】正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以2R=2,即R=l,

则球的体积V=故选口.

【易错点】容易混淆正方体的内切球与外接球的区别.

3.【答案】弓。【详解】设图⑴中正三棱柱的底面积为S,水面的高度为/?,则水的体积K=S〃.

13

因为E,F,K，耳分别为所在棱的中点，所以S△用SBCFE=^S,所以图⑵中水的

体积匕=(3“(20=齐.又匕=匕，所以〃=£

3

故答案为

7.2空间点、线、面的位置关系

l.(l)X,举出反例：当两平面平行时，这两个平面把空间分成了3个部分，故错误.

(2)，因为过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，所以如果两个平面有三个不共

线的公共点，那么这两个平面重合.故正确.

⑶X,若两两相交的三条直线交于一点，则其可不在同一个平面.

（4）X,异面直线所成角的范围是（0,外，故错误.

2.（1）异面⑵平行（3）相交（4）异面

【详解】由于与AZ）相交，而AO//8C,所以AR与8c异面，

取8用中点加，连接GM,由于尸R//MG,而MCJ/8E,故FDJIBE,

由于*DJ/BE,且F%=BE,所以四边形厂已必为平行四边形，故E尸与32相交,由于

A氏AC相交，而4C//AG,所以A8与AG异面.

故答案为：（1）异面，（2）平行，（3）相交，（4）异面.

7.3直线、平面平行的判定与性质

1.

（1）v,直线与平面上任意一条直线不相交，说明直线与平面没有公共点，所以直

线与平面平行，故正确，

（2）X,两条直线可能平行、相交或异面，故错误；

（3）X,/与m可以平行或异面，故错误；

（4）J,夹在两平行平面之间的平行线段相等，故正确.

2.【答案】D

【详解】A选项，如图1,满足。〃a,bua,但〃不平行，A错误；

a

///

图I

B错误，如图2,满足〃/以，b//p,all。，但〃/不平行，B错误；

/y

/F

y

图2

c选项，如图3,满足qua,bu0,〃/必，但。,夕不平行，C错误;

图3

D选项，若a(za力ua,a"b,由线面平行的判定定理可得a//。，D正确.

故选D.

【易错警示】容易混淆空旬中的线面位置关系。

3.【答案】平行解析：连接8D,设80nAe=。，连接七0(图略).在ABDDi

中，O为3。的中点，石为。£>i的中点、，所以EO为ABDDi的中位线，则BD\〃EO,

而BD\CP面ACE,2OU干面ACE,所以BD\〃产面ACE.

7.4直线、平面垂直的判定与性质

i.(i)x,若一条直线与平面内无数条互相平行的直线都垂直，那么这条直线可能在平面内，

故错误；

(2)J,己知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内与交线垂直

的直线，这样的直线有无数条，故正确.

(3)J,根据二面角的定义，故正确；

(4)X,若a_Ly,2,则。〃力或。与夕相交，故错误：

2.【答案】⑴外(2)垂

解析：(1)因为尸O_L平面ABC,连接。4,OB,0C.在RtZ\P0A中，0.42=

22222

PA-POf同理0B2=PB?—P02,OC=PC-PO.又PA=PB=PC,故04

=0B=0Cy所以。是△ABC的外心.

(2)由PA_LPB,PAA.PC可知B4_L平面PBC,所以PA_LBC.又P0LBC,

所以BC_L平面PA。，所以A0_L.BC,同理B0J_4C,CO_LAB.故。是△ABC的

垂心.

7.5空间角与空间距离、空间向量及应用

1.(1)J./的一个方向向量为怎=(1-(-1),0-2,3-1)=(2,-2,2)=2(1,-1』)，，加的

共线向量也为/的方向向量.

(2)X.当〃血+。也+囚4〈。时，〈小力可能等于180。,不是钝角.

(3)X.两平面的夹角与两个平面的法向量的夹角相等或互补.

(4)X.直线与平面平行，或直线在平面内.

y=1

2.【答案】B【详解】对于A,设d+B=xQ+b)+y(d-丹,则＞，所以。+氏乙+瓦。一乙

x=\

共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；

对于B,设々+25=%5+〉“日-3),则X,V无解，则4+25石,1-^不共面，能构成空间的一

个基底，故B正确：

___ix=—1

对于C,®2«+/?=x(2c+b)+y(a+/?+c),则〈，则21+5,25+6,万+6+/共面，不能

[y=2

构成空间的一个基底，故C错误；

1

X——

对于D,设4+忑=4伍+24+)，(5-24，则，2],则a+乙5+21,5-2^共面，不能构成

空间的一个基底，故D错误.故选B.

3.【答案】B【详解】根据题意,设如加8=1,则。(0,1,0),C(l,l,0),4(0,0,1),

则比=(1。0),AD=(0.1,-l),设平面AC。的法向量为初=(x,y,z),

则有一，令y=i,可得z=i,则成=(0,1,1).故选B.

ADm=y-z=0

专题八平面解析几何

8.1直线和圆

1.(1)x当两直线倾斜角均为]时，斜率均不存在，不能相等.

（2）X当天=0时，斜率不存在.

（3）X垂直”轴或垂直），轴不能使用土+；=1表示.

ab

（4）V方程/+）12》+怎，+1=0表示圆，所以（一2f+炉-4>0,解得£>0.

（5）V圆/+炉=1的圆心（°⑼刚好在直线/“=（）上，所以直线/：工=0与圆

必+）"=1的位置关系是相交且过圆心.

（6）X两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切.

2答案2x+y—5=0,圆心5。,。），因为2?+]2=5,所以M⑵。在圆上，

则直线QM与切线垂直，。2,所以切线的斜率为-2,

由点斜式得切线方程为）'-1=-2（工-2）,整理得2x+y-5=0

3.答案2,由题意得，圆心为（0,,1）,半径为遮，圆心到直线x+.y-l=0的距离为少=

V2,所以弦长为2j（V5j—（旬2=2.

4.答案4,由乂-41+尸=0=（1-2）-+），2=4,所以该圆的圆心坐标为（2,0）,半径为2,

22

X+/+4X+3=O=>（X+2）+/=1>所以该圆的圆心坐标为（-2,0）,半径为匕

所以该两圆圆心距为4,两圆半径和为3,因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，

故两圆的公切线共有4条.

8.2椭圆

1.（1）x因为附"附=忻用，所以点尸的轨迹是线段”

（2）V当机=〃时，方程表示圆.

£=①

a2

±1=1

/+//

a2=b2+c2

工+亡=1

2.7十丁一由题意可得,解得:/=6,。2=不=3,故椭圆方程为:

，,

X-

—+—y-=1.

63

3.14因为。-4,b=行，所以。=而下=3,故旦的冏长为2«+2c-14.

4.【答案】G

【解析】•,6为椭圆：+/=1的两个焦点，创世|+|A闾=6,忸用+忸周=6,

△A或8的周长为|阴+|电|+|%|=|A6|+kE|+|明|+怛国=12,即忸段+|A国=12一|A8|,

若|A8|最小，则忸周+|4月最大.又当轴时，|赫|最小，此时|人用=竺工丝二

a3

故12-空=io,解得

3

8.3双曲线

1.（1）x双曲线的定义中要求“常数小于两定点的距离"，而8T6闾，不满足定义要求.

实际上，平面内到点6（Q4）,6似7）的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是两条射线.

（2）X当时，焦点在y轴上.

），=±纥

（3）X两双曲线的渐近线不一定相同，焦点在/轴上的渐近线方程为〃，焦点在

y=±-x

y轴上的渐近线方程为力

V上=12

2.答案“一万一，可设双曲线方程为浮一丁=4（"'°）,将4（1⑼代入方程得2=2,

2_£_

故双曲线的方程为21-V=2,标准方程为x2=l

V-1

22丁丁1

3.答案y=±&,根据题意，双曲线的方程为/—〃?）'=L则其标准方程为：加

0mc]+-!-=4m=-x2-^―=1

其右焦点坐标为（2，°）,即c=2,则有，〃，解可得3,故双曲线的方程为3

其渐近线方程为'=±&

5

4.答案4,圆的圆心为d，2）,半径为1.因为圆与渐近线相切，则圆心到渐近线的距离等于半

径.设渐近线方程为）'=丘，化为一般形式为质-）'二°,则

=\^>k2-4k+4=k2+i^>k=-

“k24,由离心率公式得

8.4抛物线

1.

（1）7点尸到点尸（L°）的距离比到直线工=-2的距离小1,即点。到点尸0。）的距离和

到直线x=T的距离相等，所以点尸的轨迹是抛物线.

（2）X当直线平行于抛物线的对称轴时，直线和抛物线有一个交点，此时直线和抛物线相

交.

（3）Y抛物线方程中〃的几何意义是焦点到准线的距离.

Fx=~—

2.答案加=±4,依题意可得抛物线「的焦点为12人准线为2,

又点4（4"?）在「上，则“+4+丁5,解得〃=2,则抛物线「的方程为V=4x,所以

加=16,解得加=±4.

专题九计数原理

9.1计数原理、排列与组合

1.（1）X两类不同方案中的方法不可以相同.（2）X组合中的元素不讲究顺序.

（3）J两名同学可以担任正、副班长.（4）Xn也可以等于6.（5）X所有步骤都完成事情

才完成.

2.答案56

［解析］从8个位置中走出3个位置给3个红球，剩下的5个位置给5个白球，共有《种不

同的排法.

3.答案240

［解析］解法一:先从5本书中任意取出2本书捆绑看作一本，再将“4本书”分给4个学

生，有髭=240种不同的分法.

解法二:将5本书分成4组，有.喘•翠1种方法;将4组书分给4个学生，有A%种方法，故共

A3

有(髭•省嬖)・A%=240种不同的分法.

A3

易错分析易重复计算而出错.

4.答案6

［解析］或鹿=6.

9.2二项式定理

1.(1)X是展开式的第k+l项.

(2)V二项式系数是CA，与a,b无关.

(3)Va,b的顺序不能调换.

(4)X展开式系数与二项式系数是不同的概,念.

121

2.【答案】黑

122

5

【解析】令x=l,得(1+2)=243=a5+a4+a3+a2+ai+a(),

令x=一］,得(-1+2)'=］二一为+6一/+出一弓+%，

(+/+%+生+4+%)一(一-%+生4+恁)_243-1

则%+%+4=

(6++。3+02+%+40)+(一-。3+生—4+/)243+1

%+%+4—⑵

a4+a2+a0122

3.【答案】60

67(06-3,

【解析】以=c；(^)=