初三数学竞赛辅导教程

1.1因式分解

一、常用公式或变形方法(此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容)

1.+c2+2ab+lac+2bc=(a+b+c)2(在a+b+c和+/??+c2时此公式常

..(a+h+cY-(a2+Z?2+c2)

变形为ab+ac+bc=--------------------L]

2

二、例题讲解

例1.a、b、c是△ABC的三条边，且满足。2+〃2+(?=〃Z?+ac+/?C,试判断△ABC的形状.

例2.假设三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.(2021大同杯第四题)

例3.实数a、b、c满足4+b+C=O,CT+b~+(r=0.1,求。4+Z/+/的值.(2003年

宇振林第3题J

例4.a+Z?+c=O,a3+b34-c3=0,求证：。'+。'+(?=0

三、练习题

1.整数a、b满足6。力=9。-1(矽+303,求a+6的值.

2.a=—m+l,b=—m+2,c=/〃+3,求a2+2。/?+〃？-Zac+c2一功。的值.

22

3.a、b、c是不全相等的实数，且。儿?工0,+/?3+c3=3abc,求：

(1)4+/7+C的值

,(11)/1n(1

(2)a—I—+Z?—I—4-c—I—的值

ybc)c)\ba

—a2b—cib~+

4.化简：——-~j—：~--(2021大同杯第1题)

々2_2阿+〃2

67+2Z?+3c=0,ab+bc+ca

5.设非零实数a,b,C满足《求F~5~~T的值.(2021年全国初中数学

2。+3b+4c=0cr+b~+c

联赛第一试第1题)

6.正数口、b、c满足々Z?+a+Z?=Z?c+Z?+c=ac+c+a=3,求(々+1X〃+l)(c+l)的值.

7.：a+b+c=52+b2+c2=15^3+Z?3+?=47求

(cJ+〃/?+Z;2)(b2+Z?c+c2)(c2+ca+a2)的值(2021全国初中数学联赛第二试B组第2题)

1.2对称式及轮换对称式

一、定义

1.一个〃元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为〃元

XVoo9

对称式，简称对称式。例如，x+y,xy^------,x~+y~+z~»xy+yz+zx都是对称式。

町

2.如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。

3.一个〃元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式

X—v

为〃元交代式。例如，x-y,(x-y)(y-z)(z-x),———均是交代式。

x+y

4.如果一个〃元代数式，如果将字母X，工2，一，X”：以乙代芭，当代工2，一，X”代七一，西

代与后代数式不变，那么称这个代数式为〃元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮换式，但轮换式

不i定是对称式。例如，a(/+y2+z2)是对称式也是轮换式；伏Yy+jz+z?©是轮换式，但不

是对称式。

二、例题讲解

二工，求此三角形的面枳.

例1.,a,b,c是AABC的边，且。二与不，b;三

1+c2X+a11+〃

例2.满足方程XXZ+孙+,2+£¥+工+＞，+2=2()14的非负整数解(乂)了)有几组？(2021

大同杯第4题)

例3.设X、”z是三个互不相等的数，且工+!=》+1=2+工，求xyz的直

yzx

例4.Xi、X2、9、y?满足x「+x/=2.x2yi-Xiy2=l»xiyi+x2y产3.求y：+y/l"l勺值.

三、练习题

ab1be1acL求abc

1.------=的值.

a+b15b+c17a+c16ab+bc+ac

vvzx3yz

2.假设数组（x,y,z）满足以下三个方程：一二——=1,一=——=-,—=一二3,

x+y+zx+y+z2x+y+z

求xyz的值.

3.bNO,且a+b=c+l,b+c=d+2»c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值.

4.不定方程/+/=4＞，+2工+2y的整数。4）解共有几组？（2021大同杯第7题）

5.be-a2=5»ca-b2=-1,ab-c2=-7,求6a+7b+8c

s

6.实数a、b、c,且Z?W（）,假设实数xi、＞2、yi＞y?满足xr+ax?9,x2yi-xly2=a,xiyi+ax2yzc.求

y『+ay『的值.（2007新知杯第5题）

一、定义

实数x，用［x］表示不超过x的最大值整数，那么y=［x］称为高斯函数.

二、例题讲解

例L国表示不大于x的最大整数，求方程［2x］+［3x］=8x-‘的所有实数解.（2006新知杯

2

第6题）

例2.对于正整数n,设凡是最接近的整数，求」-4111

——+—+....+——（2021全国数

qa2。3“200

学联赛第一试第6题）

,+月

7

例3.给定正实数a,对任意一个正整数n,记/（〃）=-—，这里，卜］表示不超过实数X

的最大整数。

（1）假设/（5）=5.求a的取值范围；

（2）求证：f（n）＞4a-\（2021新知杯11题）

二、练习题

1.用［司表示不超过X的最大整数，把”一［同称为X/=-----j=.。是/的小数局部，b是一t

2-V3

11

的小数局部，求-------•（2021全国数学联赛第一试第1题）

2ba

2.如果a为任意实数，用［a］表示不大于a的最大整数，例如-5］=-5,［-2,3］=-3,［6］=L

2[x]-y=-2

设x、y满足方程＜求[x+y].

3[x-2]+y=16

3.用国表示不超过x的最大整数，求方程国+［2上|=5工一'|的所有实数解.

4.设［龙］表示不超过实数X的最大整数,

223423456

s=\++++4-4-++I•••,

12222333333

12

直至2021项，其中分母为A的一段共有2%项-,-...亍'只有最后一段可能缺乏2"项'求

S的值.（2021大同杯第6颍）

nnn

2.设［灯表示不超过实数X的最大整数，正整数n小于1。0且满足=n,这样

236

的正整数n有几个？（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）

3.设表示不超过t的最大整数，令“}=［-，］.实数x满足/十二二常，求

x［x.

（2021全国初中数学联赛第5题）

7.设［幻表示不超过实数X的最大整数，求方程JI?-8［x］+7=0的所有解的平方和

求满足不等式［弓+R卜］热卜［"卜

8.〃的最大正整数〃，其中［工］表示不超过实数

X的最大整数.（2021新知杯第五大题）

1.4概率

一、根本概念

1.排列

（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列。

nl

⑵排列的计算公式：P=（.=n［n-1-2）……（H-/71+1）：使用计算器时先输

-mJ.

入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。

2.组合

（1）组合的定义：从n个不同元素中，任取m（mWn）个元素并成一组。组合及排列的区别是组合

是无序的，而排列是有序的。

pm

（2）组合的计算公式：「叩=红二——一-：使用计算器时先输入n的值，然后按C按钮,

"m\加（--加）

再输入m的值。

二、例题讲解

例L有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小一样的小球，从中任取3个小球，求取出的3个

小球的编号和为奇数的概率.（2021大同杯第2题）

例2.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.（2021全国

初中数学联赛第一试填空第2题）

伊|J3.三对夫妻排成一排照相，求仅有一对夫妻相邻的概率.

三、练习题

1.同时投掷两颗骰子，P3）表示两颗骰子朝上一面的点数之和为a的概率，求

P⑴+P（2）+P⑶+P⑷+P⑸的值.（2021新知杯第2题）

2.从编号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片中任意抽取3张，求抽出卡片的编号都大于

等于2的概率.（2021新知杯第3题）

3.6张不同的卡片上分别写有数字2,2,4,4,6,6,从中取出3张，求这3张卜片上所写的数字

可以作为三角形的三边长的概率.（2021全国初中联赛第一试第4题）

4.从正12边形的顶点中取出4个顶点，求它们两两不相邻的概率.

5.某校初三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5

位，假设采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，那么一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）

且二班的2位同学没有被排在一起的概率是多少？

6.5件产品中有3件合格品，2件次品。每次任取一个检验，检验后不再放回，求恰好经过3次检

验找出2件次品的概率.

1.5单元测试一

一、填空题

1.从1到9这九个数字中任取两个数，它们的乘积是偶数的概率是_______

2.a-h=b-c=\,那么a?+c?—cib-bc-ac的值为—

3.用[处表示不大于工的最大整数，那么方程/一2[划一3=0的解的个数为_

4.假设实数a,b,C满足/+/+/=9,代数式(〃一力F+俗一4+(《一”)2的最大值是

3

5.用「引表示不超过X的最大整数，方程[-X-l]=x-3,那么满足方程的x是

6.假设实数a、b、c、d满足22卅%2+g10,那么y=(a-b)2+(a-c)\(a-d)2+(b-c)2+(b-d)2+：c-d)2

的最大值是.

7.设[x]表示不大于X的最大整数，如[3.2]=[3.8]=[3]=3,假设

21+34+44+...+154=S,那么[S]=

223242152L」--------

1]「2]「29]

8.0<6/<1».H.ClH---+ClH-----+......+ClH---=18([X]表示不超过X的最大

30_30_30_

整数)，那么[10司=_

二、解答题

9.a、b、cNO,求证：a3+b'+c3>3abc

10.设a,b,C,d是四个整数。且使得〃?=”法+〃)2-；(。2+/72—。2一12y是一个非零整

数，求证：卜4一定是合数.

11.(1)用[可表示不超过X的最大整数，对于任意实数X,求证：[x]+x+g=[2x]

20101

+的值

22OIO2

12.试确定一切有理数r,使得关于x的方程b2+卜+2卜+3r—2=0有根且只有整数根.

2.1不定方程

一、例题讲解

例1.求满足方程(人43)2+>2+(上一),)2=3的所有实数对(X,)，).12021新知杯第2题)

例2.不定方程工2+）；=xy+2x+2y的整数（x,y）解共有多少组？（2021大同杯第7趣）

例3.求方程一+-------7=一的整数解（占），）.（200。弘晟杯第8题）

xyxy4

二、练习题

丫+5

1.求不定方程------y=O的整数解

x+2

2.方程xyz=2021的所有整数解行多少组？（2021新知杯第8题）

231

3.方程----=一，a、Z?都是正整数，求该方程的正整数解.

ab4

4.正整数a,〃,c满足：1va<〃<c,a+h-\-c=\11,从=ac,求〃.（2021全国初中数

学联赛填空第4题）

5.三整数4、b、C,之和为13且2=£,求。的最大值和最小值，并求出此时相应的及C•的

ab

值.

6.2为整数，假设关于x的二次方程上金+（2%+3卜+1=0有有理根，求攵值.

4.正整数2b,c满足。+Z?2—2。-2=0,3a2-8Z?+c=O,求的最大值.（202:全国

数学联赛第一试填空第8题）

2.2特殊方程（组）的解法

一、例题讲解

X

xy—=a

y（2021新知杯第10题）

例1.。是不为0的实数，求解方程组：<

）'1

xy--=—

xa

ab=2（a+h）

例2.设〃、〃、C均为非零数，解方程组：b?c=3（/?4-c）

ac=4（a+c）

3JI+2y+z=。，

例3.关于X、），、Z的方程组<有实数解（苍y,z）,求正实数。的最小

xy+2yz+3zx=6

值.（2006新知杯笫三题）

例4.解方程：2A/2布+7）-V2x-Jx+7=13-3x

例5.解方程：Jx—1+J2x—3+J3x—5+J4x—7=5x6

二、练习题

2a+b+c+d+e+f=20,

a+2b+c+d-^e+f=40,

a+b+2c+d+e+/=80,

1.实数a、b、c、，/、e、/满足如下方程组，

a+b+c+2d+e+/=160,

〃+/?+c+d+2«+/=320,

a+b^-c+d+e+2f=640.

求f—e+d—C+Z?—4的值.（2006新知杯第2题）

2.解方程：5x~+10）广一12入了—6x—4），+13=0

3.解关于x的方程：=（67+1）（2021大同杯第9题）

ab+c+d=3

be+d+a=5

4.解方程组:（2021新知杯第io题）

cd+a+b=2

da+b+c=6

5.解方程：17x~+9x+13+17炉—5x+13=7A

2.3韦达定理

一、例题讲解

例1.二次函数旷=X--X+Q的图像及X轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5,那么

a的取值范围.（2006新知杯第4题）

例2.a,b,c,d四个不相等的实数，满足c,d是方程工2-8以—9b=0的两实根，a,b是

x2-8cx-9（1=0的两实根，求a+b+c+d.（2021大同杯第8题J

例3.整数〃，q满足〃+4=2010,且关于x的一元二次方程67工2+〃式+4=0的两个根

均为正整数，求〃.（2021新知杯第7题）

例4.矩形ABCD的相邻两边氏为a、b,是否存在另一个矩形A'B'C'D',使它的周长和面积分

别是矩形ABCD的周长和面枳的1?证明你的结认论.（2005宇振杯第二题）

3

,,11

例5.设实数满足a~S~+l）+"〃+2a）=40,。（。+1）+/?=8,求r+r的

a~b~

值.（2021全国数学联赛第三题）

二、练习题

1.在△ABC中，ZC=90°,NA、ZB.ZC的对边顺次为a、b、c,假设关于x的方程

。（？+1）-2伍工一〃（工2-1）=0的两根平方和为io,求2的值.（2007新知杯第3题）

a

2.美于x的方程./+2/+（3+左卜2+（2+%卜+2左=0有实根，并且所有实根的乘积为母,

求所有实根的平方和.（2021新知杯第4题J

3.设a,b是方程/+68工+1=0的两个根，C,d是方程—86x+l=O的两个根，求

（ci+C）（Z?+c）（6z—d\b-d）的值.（2021新知杯第6题）

4.a,b,c,d四个不相等的实数，满足a,b是/-10t・才一114=0的两实根，5d是方程

42-10c6-11。=0的两实根，求a+b+c+d.（2021人同杯静安区初赛第9题）

5.设二次函数y=x?+陵-c的图象过两点P（l,a）,Q（2,10a）且及x轴的交点为A、B,及），

轴的交点为C.如果关于X的方程Y+加一。=0的两个根都是整数，求△ABC的面积.（2021全国数学

联赛第二试第三题）

2.4单元测试二

一、填空题

X1+x2+x3=;

x2+x3+x4=。2；

1.实数的,%2，巧，项，兀5满足方程组,与+匕+/=%；其中。1，。2，。3，。4，。5是实常数，

乙+冬+芭=%；

x5+%1+x2=a5.

且6>a2>4>%>%，用号连接百，工2，%,心，三：

2.如果方程f+/沈+1=0（〃>0）的两根之差等于1,那么P=_

3.如果上=1,*=2,3=3,那么‘+'+」=__________

x+yy+zz+xxyz

4.实数x,y满足x>y>1,且2x2-o,一5x+），+4=0,那么x+y=

5.x、y是正整数，并且个+工+丁=23,x2y+xy2=120,那么/+>2=_

6.在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设々为整数，当直线），=工-3不口y=的

交点为整数时，&可以取的值有个

7.假设实数X、y满足,大，、+'.'==L=［，那么x+y=

33+4333+6?53+453+6-

8.〃是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对（〃/）共有对

三、解答题

a+b=S、

9.a>b>c满足方程组：“f—，求方程+CX—a=0的根.

ab-c~+8A/2C=48

10.设关于x的二次方程。2—64+8卜2+（2%2-6左一4卜+42=4的两根都是整数.求满足

条件的所有实数k的值.

11.。是正整数，如果关于x的方程/+（。+17）«?+（38—。）为-56=0的根都是整数，求

a的值.

12.实数m、n满足3加2—2加-5=（）和5〃2+2〃-3=（）,求卜?一［的值.

3.1根本不等式

一、根本概念及公式

a+bI

1.根本不等式：当心0,〃>0时，--->yj-cibr,当且仅当a=6时取等号.

2

2.文字描述：设a>0,力>0,那么a,。的算术平均数为巴匚，几何平均数为而，根本不等

2

式可表达为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.

（1）实数a、b,H+A22劭，当且仅当a=b时取等号：

hn

（2）实数a、ZP同号时，一+工22,当且仅当a=8时取等号；

ab

（3）实数ab,,当且仅当m=s时取等号：

（4）实数以b,4；b咛且，当且仅当&=6时取等号.

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们

的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大"：

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

二、例题讲解

例1.假设正数x、y、z满足xyz（x+y+z）=4,求（x+y）（y+z）的最小可能值.（2002宇振杯第£题）

例2.x,y为非负实数，满足J1—L+J1—匕=3.求xy的最大值.（2021大同杯第10题）

V4V162

M3.设。是给定的正实数，n是给定的大于1的整数，实数不，%,％3/;天满足

222

X；+x2+x34--••+x,,=a,求

2

（X,-X2）+（玉一W）2+…+（百一/）2+（工2—E）2+…+。2—工〃）2

+・一+（11一%）2的最大值.（2021大同杯第8题）

例4.如图，在RiAARC中，ZC=90°,BC=2,AC=x,点P在边AB上，点G、H在边BC上，四边形

EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC.

（1）求y关于x的函数关系式

（2）当x取何值时，y取得最大值？并求出y的最大值.12007新知杯第二题）

三、练习题

1.x>Q,y>0,且2x+y=l,求1+）的最小值.

4y

2.设求——二一的最小值.

abaa—b

3.NBAC=90°,四边形4。石尸是正方形且边长为1,求二一+二一+二一的最大值.（2021

ABBCCA

新知杯第9题）

4.假设正数a,b满足46=1,求M=」一+」一的最小值.（2021全国数学联赛第二试B

1+。1+2/?

组第一题）

5.设实数/>>（）,且满足=求效妙的最大值.

h+2

3.2函数的最值

一、例题讲解

例1.将8个数一7,—5,—3,—2,2,4,6,13排列为a,b,c,d,e,f,

g.h,使得（〃+6+。+4）2+（。+/+且+人）2的值最小・求这个最小值.（2021新知杯第4题）

x—1

例2.实数x,求--------的最小值.（2021大同杯第二题）

x2-x+\

例3.实数x,y满足xy-x-y=l,求/+y?的最小值.（2021全国数学联赛A组第一试第5题）

例4.非负实数x,y,z满足x+y+z=l,求/=2xy+yz+2zr的最大值.（2021全国数学联

赛第一试第2题）

二、练习题

1.不等式X2+|2x-6|>a对于一切实数Xa的最大值.（2021新知杯第2题）

2.实数x,y满足/+不，+）3=1,求（x—y）2的最大值.（2021全国数学联赛B组第一试第4

题）

3.实系数一元二次方程ax、2bx+c=0有两个实根X1、x2,假设a>b>c,且a+b+c=0,求d=|x「xj的

取值范围（2004宇振杯第9题）

4.设实数x,y,z满足x+），+z=l,1求那么用=4>，+2冲+3位的最大值.（2021全国数学

联赛第一试第6题）

3.3二次函数

一、例题讲解

例1.假设实数a,Z?,c使得二次函数/"）=依2+/以+。当owxwi时，恒有|/（x）区］，求

|a|+l勿+1。|的最大值.（2021大同杯第7题）

例2.a,b,c,d为四个正的常数，那么当实数满足砒2+Z?.y2=1时，求cx+dy?的最小值.

（2021大同杯第8题）

例3.二次函数），=/一X+。的图像及A■轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5.求。

的取值范围.（2006新知杯第4题）

例4.某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c（aX0）的图象，取自变量的7个值：<X2<--<X7,

且工2一七二工3一%2=…二七一工6，分别算出对应的）的值，列出下表:

XX[X2AhX\X3混Xi

y511549717

但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由.（2003

宇振杯第四题）

二、练习题

1.点4（-0.8,4.132）,8（1.2,-1.948）,0（2.8,—3.932）在二次函数y=aY+饭+C的

图像上，那么当图像上的点。的横坐标x=1.8时，求它的纵坐标），的值.（2021大同杯第3题）

2.二次函数），=ax2+bx+l（a工0）的图象的顶点在第二象限，且过点（1,0）.当a-b为整数

时，求的值.（2021全国数学联赛B组第一试第3题）

3.关于正整数n的二次式yF'aMa为实常数）.假设当且仅当n=5时，y有最小值，求实数a的取

值范围（2002宇振杯第4题）

4.抛物线顶点A在x轴上交y轴于C,AC=2J5,y=ax1+/?x+c,有%c=0,y=x+t

过点A且交抛物线于另一点B,求B点坐标.（2021大同杯徐汇区初赛第6题）

3.4单元测试三

一、填空题

1.假设a>0，b>Q,且a+2力-2=0,那么M的最大值为

2.抛物线），=工2—（2〃+1卜+2。-5及》轴的两个交点分别位于点（2,0）的两旁，那么a的

取值范围是____________

3.设a,b都是实数，函数/（.r）=^2+Z?（x+l）-2,假设对任意实数b,方程

ax2+b（x+1）-2=x有两个相异的实根，那么实数a的取值范围为

7v

4.当尤>0时.那么“力=;^匚7的最大值为

XIX

c+厂+—-Jl+X，

5.假设XWO,那么----------------------的最大值是一

X

6.当卜+1|46时，函数>=可可一2_¥+1的最大值是—

、1

7.设x为正数，那么函数V=X~-X+-的最小值是

X

8.二次函数），=工2+法+。的图象及人轴正方向交于山夕两点，及），轴正方向交于点

C.AB=6AC,ZCAO=30°,那么c=

二、解答题

9.直角三角形斜边为c,直角边为a、b,求证：a+b<y/2c.

10.设A、B是抛物线），=2/+4”-2上的点，原点是线段AB的中点，求A、B两点的坐标.

11.a、b、c为实数，ac<0,且+J0+J5c,=（）,证明：关于x的方程a/+Z?x+c=0

3

有大于一而小于1的根.

4

12.如图，抛物线y=af+Z?x-3,顶点为£,该抛物线及x轴交于4H两点，及），轴交于点

c,旦0B=oc=30A.直线y=-gx+l及y轴交于点〃求/幽/CBE.

4.1相似三角形

一、例题讲解

例1.如图，在凸四边形ABCD中，ZABC+ZCDA=300J,ABxCD=BCxAD,求证:

A8xCQ=ACx8O.（2021大同杯第10题）

例2.如图，在正△ABC的边3C、C4上分别有点E、F,且满足的=。尸=。，

EC=FA=b（«>/?）,当6尸平分AE时，求巴的值为.（2021新知杯虹口区初赛）

b

3.如图，梯形月叫”中，AB//CD,AC,8〃相交于点。.P,0分别是月。，BC上的点,H.ZAPB=Z

CPD,//^史B=ZCQD.求证：OP=OQ.（2021全国数学联赛第13题）

///\\p0,A8=6,AC=8,E、/在A5上且AE=2,3尸=3过点E作AC的平行

沙'\妁延长线交AC的延长线于G,求G£.（2021新知杯第3题）

BEc

2.梯形A5CD中，AB//CD,ZABC=9（f,BDLAD,BC=5,BD=13,

求梯形ABCD的面积.（2021年新知杯第2题）

3.直角三角形斜边AB上的高CD=3,延长。C到尸使得CP=2,过5作8/_1_4P交

CD于E,交AP于F,求。E.（2021新知杯第8题）

4.如图，在四边形4BCO中，ZBAC=ZBDC=90（＞,AB=AC=右，CO=1,对角

线的交点为M，求DW的长.（2021全国数学联赛第一试第5期）

4.2梅涅劳斯定理

一、定理

梅涅劳斯（Menelaus）定理：一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB1或其延长线）于D、E、F,那

BDCEAF,

么--------------=1O

DCEAFB

例1.如图，在四边形ABCD中，Z\ABD、ABCD./XABC的面积之比是3：4：1,点M、N分别在AC、

CD±,满足AM：AC=CN：CD,且B、M、N三点共线.求证:M及N分别是AC和CD的中点.

例X宜角邓是斜边上的高，CE是/ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是

B

BECF,

1.过△ABC的重心G的0线分别交AB、AC于E、F,交CB延长线于D,求证；——+=1

EAFA

2.在AABC中，点吊和丫顺次三等分AC,点X和Y顺次三等分BC,AY及BM,BN分别交于点S,R,

求四边形SRNM及△ABC的面积之比。

3.AABC的重心为G,M是BC边的中点，过G作BC边的平行线交AB边于X,交AC边于Y,且XC

及GB交于点Q,YB及GC交于点P,证明：△MPQs^ABC.

4.3正、余弦定理

一、定理

1.正弦定理：一一=’—=—-=2R（R为外接圆半径）

sinAsinBsinC

面积公式：S=-absmC

2

诱导公式：sin（〃-a）=sina

2.余弦定理：c2=a~+b2-2abcosC

a1-¥b1-c1

变形：cosC=--------------

2ab

二、例题讲解

例1.△ABC中，AB=2,AC=3,点D、E在边AC、AB上，且NABD=4NDBC,

ZACE=4ZECB,ACxBD=ABxCE,求的面积.（2021大同杯第6题）

例2.在等腰直角三角形ABC中，N4C3=90°,P是AA3C内一点，使得m=ll,

PB=7,尸C=6,求边AC的长.12021新知杯第6题）

例3.点尸是△A8C内一点，使得N%3=NP4C=/PCA=a.

术下.1_1,1,1

sin2asin2Asin2Bsin2C

三、练习题

1.设P是正方形内部一点，尸到顶点A、B、C的距离分别是1、2、3,求正方形的面枳.

2.在"BC的AC及8C边上分别取点X、V,使/48X=NK4C,ZAYB=ZBXC,

XC=YB,求证：AA8C为正三角形.

3.△ABC中，ZB=60°,NA=20°,求4c一——.(2021大同杯徐汇区初赛第8题〕

BC

4.4单元测试四

一、填空题

L如下左图，AB"EF"CD,AB=20,CD=80,那么EF的值是

6.AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别在AC、CE上，

使AM：AC=CN：CE=r,如果B、M和N三点共线，那么r=

7.如下左图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点及正方形的顶点B重合，另两个顶

点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是_________厘米2

8.如上右图，在△ABC中，AB=AC=V5,BC=2,在BC上有ioo个不同的点

《、鸟、6••韦00,过这100个点分别作4ABC的内接矩形6芭丹仇，P2E2F2G2•••

々ooEiooGooGioo，设每个内接矩形的周长分别为£］、％…。00,那么乙+心2+…+匕00=

二、解答题

9.在Z5ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,AF及CE相交于G,AF及DE交于H,求AH:HG:GF

10.证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形ABCD的对角线交于尸，又设NA尸8=。，

AD2+BC2-AB2-CD2

那么cos。

2ACBD

11.过AABC三条角平分线的交点I,作A［的垂线及AB、AC分别交于D、E,求证:

△BID^AIEC

12.ZXABC中，ZABC=90°,延长AC到点。，连结BD,假设NC8O=30。，且

AB=CD=\,求AC的长.

5.1几何不等