2027高中数学必修1培训讲义3.2.1 单调性与最值（含解析）

3.2.1单调性与最大(小)值知识点1函数的单调性1.单调递增、单调递减单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间DEI:如果Vx1,x₂∈D,当x₁<x2时，都有fxi)<f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.函数f(x)在区间一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间DEI:如果Vxi,x₂∈D,当x₁<x₂时，都有fxi)>f(x₂),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间一次函数y=ax+ba<0时，在R上单调递减.a>0时，单调递减区间是(-∞0,0)和(0,+∞);a<0时，单调递增区间是(-∞0,0)和(0,+∞o).二次函数y=a(x-m)²+na>0时，单调递减区间是[-o,m],单调递增区间是[m,+∞);a<0时，单调递减区间是(m,+o),单调递增区间是(-∞,m].增增增增减增减减减减增减知识点2函数单调性的判断(2)变形.作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.则.增增增增减减减增减减减增1.函数的最大(小)值(1)Vx∈1,都有f(x)≤M;(2)3xo∈1,使得f(xo)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.(1)Vx∈1,都有f(x)≥m;(2)3xo∈1,使得f(xo)=m.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.【例1】用定义法证明函数(1,十∞)上单调递增.【变式1-1】设f(x)=x,C.f(x)-g(x)在区间(0,+∞)上单调递增D.f(x)-g(x)在区【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.【变式1-2】已知函数f(x)满【答案】【解题思路】(1)将f(x+1)整理,利用整体代换法求出f(x);上的单调性.【解答过程】(1)∵【例2】函数f(x)=√-x²+4x-3的单调递减区间为()A.[1,2]B.[2,3]C.[-∞,2]【变式2-1】函的单调递增区间是()A.(-∞,2)C.(-∞,1),(2,3)D.(2,3),(3,+∞)A.(-∞,2.5)和(3,+∞)B.(-∞,2.5)【解析】【例3】若函数f(x)=√ax²+2x-1在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.[-5,-4],则,则C.f(2)<f(π)<f(3)D.f(π)<f(2)<f(3)可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2,所以f(π)<f(3)<f(2).f(-2),p=f(2),则m,n,p的大小关系正确的是()A.m>p>nB.p>n>mC.m>n>pD.n>m可.A.f(1)=0B选项，令,得f(x),f(x)不恒为0,故B错误；确.【例5】已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数，且f(4)=0,A.(-∞,0)B.(0,+∞∞)即解得x>4或x<0,所以解集为(-∞,0)U(4,+∞).,【变式5-2】(多选)下列说法正确的有()A.函数y=f(x)的定义域为[-8,3],则函数的定义域为(-5,4)C.若a>0,b>0,a+b=1,则的最小值为9确.f(2)=1,则不等的解集为()A.(1,3)B.(0,3)C.(1,x∈(0,+0),则g(x₁)<g(x₂),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递【例6】当x≥1时，下列函数的最小值不为4的有()D.因在(1,+∞)为单调增函数，所以函数的最小值为5×1-1×1=4,故不符合题意.【解答过程】(1)若a=2,则f(x)=x²-2x+1,对称轴为x=1,【变式7-1】(已知函若函数f(x)存在最小值，则实数k的取值范围为()A.(-2,1)C.(-∞,-2)U(1,+∞)【例8】已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],其图象如图所示，则下列说法中错误的是()C.f(x)的最小值为-1误.【变式8-1】函的图象不可能是()【例9】已知函数f(x)=x²-4|x|+3.当-1<k<3时，函数f(x)的图当k<-1时，函数f(x)的图象与直线y=k的交点个数是0,此时方程没有根.【分析】(1)利用已知条件，对自变量赋值可证f(1)=0且当0<x<1(3)利用(2)的单调性和函数f(x)的定义域建立不等式组，求解；【详解】(1)由题可知f(1)=f(×1)=f(1)+f(1)=2f(1),所以f(1)=0,令g(x)=2x=x²=-(x-1)²+1所以,解得2<m<3,【变式9-2】已知函数f(x)满足：对任意实数x,y,f(x)>0,f(x+y)=3f(x)·f(y),且当x>0时，f(x)<f(0).所以f(x,)>f(x₂),故f(x)是R上的单调又因为f(x)是R上的单调递减函数，所以VxeR,f(3)·f(a²+x-1)sf(3)·f(-3)等价于VxeR,即对Vx∈R,ar²+x+2≥0恒成立.围.【解答过程】