安徽省江南十校2027届高三上学期开学考试数学试卷（含答案）

2027届9月高三综合素质检测数学试卷考生注意★：1．满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案写在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题号的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据0.12，0.09，0.15，0.08，0.11，0.18，0.14的中位数是A．0.08 B．0.14 C．0.12 D．0.132．若集合，，则A． B． C． D．3．复数满足，则A． B．5 C．15 D．254．抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且点到焦点的距离为6，则点的横坐标为A．2 B．4 C．6 D．85．已知向量，不共线，且实数，满足，则的值为A． B． C． D．96．已知，则A．0 B． C． D．7．若函数在区间上有最小值，则正整数的值有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．某超市周年庆开展“幸运抽奖”活动，设置了一种盲盒抽奖机制．抽奖箱中有12个除奖品内容不同外，外观完全相同的盲盒，其中有8个“祝您好运”，4个“恭喜中奖”，试验一：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都放回，记取到“恭喜中奖”的个数为；试验二：从中随机地连续抽取4次，每次取一个盲盒，记录结果后都不放回，记取到“恭喜中奖”的个数为，的期望和方差分别为，（为1，2），则下列判断正确的是A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是A．的虚轴长为 B．的离心率为C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为10．记等差数列的前项和为，，，则A．数列的公差为2 B．数列是等比数列C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列11．已知圆：，圆：，直线：与圆、圆均相交，且截两圆所得的弦长分别为，，则A．圆与圆的公共弦所在直线方程为 B．若直线过点，则恒成立C．满足的直线恰有2条 D．当时，的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为________．13．已知函数（，），为图象的一个对称中心，直线为图象的对称轴，且在区间上单调，则________，________．14．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱．为侧棱的中点，三棱锥的外接球球心为，则平面与平面夹角的正弦值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．16．（本小题满分15分）如图1，已知菱形的对角线和交于点，，．将沿直线折叠，使得平面平面（如图2），连接，，分别是，的三等分点（靠近点，），平面与交于点．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．17．（本小题满分15分）某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营．培训营分设“算法优化”和“智能感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训．“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历．（1）若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次．（i）求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率；（ii）已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历的概率．（2）若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率．18．（本小题满分17分）已知椭圆：（）的离心率为，左顶点为．（1）求的方程；（2）过的右焦点作斜率不为0的直线交于，两点．（i）若直线的倾斜角为，为坐标原点，求的面积；（ii）设直线与直线的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（本小题满分17分）若函数在区间（）上的最大值与最小值之差为定值（），则称函数是在区间上的“距函数”．（1）判断函数是否是区间上的“2距函数”，并说明理由；（2）已知函数是定义在上的奇函数，且，证明：是区间上的“距函数”，并求出的值；（3）若对任意，关于的不等式恒成立且实数的最小值为．（i）求的值；（ii）已知函数是在区间上的“1距函数”，求实数的值．

高三数学参考答案、提示及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．C3．B4．B5．A6．D7．A8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD10．ACD11．BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．6114．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．解：（1）因为，所以由正弦定理得，即， 2分所以， 3分因为，所以，又，所以，所以，即， 5分因为，所以． 7分（2）因为，，所以，当且仅当时，取等号， 10分所以， 11分又， 12分所以实数的取值范围为． 13分16．（1）证明：因为，分别是，的三等分点（靠近点，），所以， 1分又平面，平面，所以平面， 3分又平面，平面平面，所以． 5分（2）解：因为菱形的对角线和交于点，所以为的中点，，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以． 7分以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分则，，，，，所以，，所以，，， 11分设平面的法向量为，则令，得，，， 13分所以点到平面的距离为． 15分17．解：（1）（i）设事件为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”，则其对立事件为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历”．所以， 2分所以． 4分（ii）设事件为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”，事件为“2次抽到的学生均有获奖经历”，事件为“第2次抽到的学生有获奖经历”．，， 6分由（i）可知， 7分， 8分所以． 10分（2）设事件为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中，恰有人有编程竞赛获奖经历”（），事件为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”．由题知，，此时“智能感知”08888小组有3人有获奖经历，共10人，； 11分，此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，； 12分，此时‘智能感知’小组有5人有获奖经历，共10人，， 13分所以由全概率公式得． 15分18．解：（1）设半焦距为，由题意知解得 3分所以的方程为． 4分（2）（i）由（1）可得右焦点为，所以直线的方程为， 5分点到直线的距离， 6分联立，消去并整理得，显然，设、的横坐标分别为、，则，， 8分所以， 9分所以． 11分（ii）为定值． 12分设：，，，，则，，联立消去并整理得，所以，， 14分所以，为定值． 17分19．（1）解：函数不是区间上的“2距函数”， 1分理由如下：所以当时，，；当时，，，所以在区间上，，所以，即函数不是区间上的“2距函数”． 3分（2）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，解得，所以（）， 4分所以（），所以在区间上单调递增，所以，，所以，所以是区间上的“距函数”，且． 6分（3）解：（i）因为，即，令，，则，所以在上单调递增，而，即，则，所以对任意，关于的不等式恒成立，等价于对任意恒成立， 8分令，，则，，所以当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，所以，所以的最小值． 10分（ii）由题知，函数是在区间上的“1距函数”，易知，则，即或．当，即时，在上单调递减，则，，所以，解得或（舍去），所以，即在上为“1距函数”； 11分当时在上单调递增，则，，所以，方程无解，故舍去； 12分时，即时