高中数学必修一函数概念及其表示教学设计（第5章阶段提升）

高中数学必修一函数概念及其表示教学设计（第5章阶段提升）一、教材分析与课标定位本节内容属于苏教版高中数学必修第一册第5章“函数的概念与基本初等函数Ⅰ”中的阶段提升部分，涵盖5.1函数的概念与5.2函数的表示方法两个核心小节。从知识体系来看，函数是贯穿高中数学课程的主线，是学习指数函数、对数函数、三角函数以及后续导数应用的基础。课程标准对这部分内容的要求是：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，理解函数的三要素，掌握函数的三种表示方法及其相互转化，能运用函数的概念解决简单的实际问题。高一学生已经具备初中阶段对函数的初步认识，能够从“变量之间的依赖关系”角度理解函数，但尚未形成用集合语言精确刻画函数概念的能力。学生在思维上正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对函数概念的抽象性、对应关系的深刻性认识不足，容易出现“对而不全”“懂而不会”的现象。因此，本阶段提升课的教学定位应当是在学生已有认知基础上，通过问题驱动和变式训练，帮助学生突破概念理解的难点，构建系统化的函数认知结构。本节课的核心素养指向包括：数学抽象（用集合与对应语言刻画函数概念）、逻辑推理（判断两个函数是否为同一函数）、数学运算（求定义域、值域及函数值）、数学建模（用函数模型刻画实际问题）以及数据分析（从表格和图象中提取函数信息）。教学中应有机渗透这些素养要求，使知识传授与素养培养融为一体。二、学情分析与教学策略从学生已有的认知基础来看，学生在初中已经接触了函数的概念，知道“在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y就是x的函数”。但这种认识存在三个明显的局限性：其一，对“唯一确定”的理解停留在直觉层面，缺乏用集合语言精确表述的能力；其二，对函数的表示方法局限于解析式，不熟悉列表法和图象法的深层应用；其三，对函数的定义域、值域、对应法则三要素的整体把握不够，特别容易忽略定义域的地位。从学生的学习心理来看，高一学生具有较强的求知欲和表现欲，但注意力的持久性有限，对纯理论推导容易产生倦怠感。因此，教学设计应当以问题链为载体，通过层层递进的问题引发认知冲突，激发学生的思维活力。具体教学策略如下：第一，情境策略。以学生熟悉的现实生活情境（如国内生产总值与年份的关系、气温随时间的变化、手机资费与通话时间的关系等）引入函数概念，使抽象的数学概念扎根于具体的生活经验之中。第二，对比策略。通过正例与反例的对比，帮助学生准确辨析“函数关系”与“非函数关系”，深化对函数概念中“唯一确定”这一核心特征的理解。第三，变式策略。设计不同呈现方式的问题（解析式、表格、图象、实际问题），引导学生从多个角度理解函数的本质属性，实现知识的迁移与深化。第四，反思策略。在每个教学环节结束时引导学生自我总结，明确“学了什么”“怎么学的”“还有什么困惑”，培养学生元认知能力。三、教学目标设计依据课程标准的要求和学生已有的认知基础，本节课的教学目标设定如下：（1）知识与技能目标：准确理解函数的概念，能够用集合与对应的语言表述函数的定义；理解函数的三要素——定义域、对应关系、值域的含义及其相互关系；掌握求函数定义域的基本方法，能够求具体函数和抽象函数的定义域；掌握函数解析式、列表法、图象法三种表示方法，并能根据实际需要选择合适的表示方法。（2）过程与方法目标：经历从具体实例中抽象概括函数概念的过程，体会数学抽象的思想方法；通过函数图象的识别与绘制，体会数形结合的数学思想；通过求定义域和函数解析式的过程，体会等价转化与化归的数学思想。（3）情感态度与价值观目标：在函数概念的形成过程中体验数学的严谨性与简洁美，激发学习数学的兴趣；通过解决实际情境中的函数问题，体会数学的应用价值，增强数学应用的意识。四、教学重难点及其突破策略重点：函数概念的理解与函数定义域的求解。突破策略：通过丰富的实例和正反例对比，帮助学生从直观感知上升到理性认识；通过一题多变训练，强化对定义域求解方法和步骤的熟练掌握。难点：对函数概念中“对应关系”的深刻理解，特别是对“同一函数”的判定。突破策略：设计两组对比题组，一组是相同对应法则但定义域不同的函数，一组是不同解析式但定义域和对应关系相同的函数，通过对比使学生认识到判断两个函数是否为同一函数必须同时考察定义域和对应关系，与变量用哪个字母表示无关。五、教学过程详细设计（一）创设情境，唤醒旧知（约8分钟）上课伊始，教师出示以下三个生活情境：情境一：某城市一周内每天的最高气温记录如下表：星期一二三四五六日最高气温（℃）28302931323027情境三：物体自由下落时，下落距离s（米）与时间t（秒）之间的对应关系满足s＝4.9t²，其中t的取值范围是［0，＋∞）。教师提问：这三个情境中，变量之间是否都存在函数关系？你是怎样判断的？你能用初中所学的函数定义描述这些关系吗？学生通过小组讨论，回忆初中阶段关于函数的定义，并列举出多个函数关系的实例。教师在此基础上引导学生思考：初中对函数的定义存在哪些不够精确的地方？当函数关系比较复杂，无法用解析式表达时，还能不能判断一个对应关系是否为函数？设计意图：通过学生熟悉的现实情境唤醒学生的旧知，引发学生的认知冲突——初中所学的函数概念在面对表格、图象等不同呈现方式的函数关系时是否仍然适用？从而自然过渡到用集合与对应的语言重新刻画函数概念的必要性。（二）抽象概括，形成概念（约12分钟）在上一环节的讨论基础上，教师引导学生从“集合之间元素的对应”这一角度重新审视上述三个情境。师生共同分析如下：情境一：设集合A＝{一，二，三，四，五，六，日}，集合B＝{27，28，29，30，31，32}，对A中任意一个确定的星期，在B中都有唯一确定的气温值与它对应。情境二：设集合A＝{1，2，3，…，20}表示20名学生的学号组成的集合，集合B表示全班成绩的集合（同一分数只记一次），对A中任意一个学号，在B中都有唯一确定的成绩与它对应。情境三：设集合A＝［0，＋∞），集合B＝［0，＋∞），对A中任意一个时间t，在B中都有唯一确定的下落距离s与它对应。教师引导学生对比这三个事例的共同特征，并尝试验纳出函数的一般定义。在学生充分讨论交流的基础上，教师规范化地给出函数的概念：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。教师在给出定义后，逐一强调以下要点：第一，函数概念中的“对应关系f”可以是解析式，也可以是图象、表格或其他方式，关键在于“任意一个x”都“有唯一确定的y”与之对应。第二，“任意一个x”意味着定义域中的每一个元素都必须参与对应，一个都不能少。第三，“唯一确定的y”意味着对于同一个x，只能对应一个y，不能出现一对多的情况。第四，定义域和对应关系是决定函数的两个关键要素，值域是由定义域和对应关系共同确定的。为帮助学生深刻理解定义的要点，教师随即呈现一组辨析题：例1判断下列对应是否为函数：（1）集合A＝R，集合B＝R，对应关系为“开平方”，即对A中的每一个x，取x的平方根作为对应的y值。（2）集合A＝{1，2，3}，集合B＝{2，4，6，8}，对应关系为“乘以2”。（3）集合A＝{x|x≥0}，集合B＝R，对应关系为“开平方”，即y＝√x。（4）集合A＝{x|x∈R，且x≠0}，集合B＝R，对应关系为“取倒数”，即y＝1/x。学生独立思考后，请四位同学分别回答，并说明判断的依据。第（1）题中，对于正数x，有两个平方根与它对应，不满足唯一性，因此不是函数；第（2）题中，A中的元素对应后在B中都有唯一确定的元素与之对应，是函数，尽管B中有多余的元素，但函数并不要求B中每个元素都被用到；第（3）题是函数，因为每个非负实数的算术平方根是唯一确定的；第（4）题也是函数，注意定义域中排除0是必要的。设计意图：通过正反例的辨析，加深学生对函数概念中“非空数集”“任意”“唯一确定”等关键词的理解，避免学生将函数等同解析式，为后续深入学习奠定基础。（三）深化理解，掌握三要素（约15分钟）1.函数三要素的系统梳理教师引导学生从函数概念的三要素入手，进一步明确：定义域是函数存在的“土壤”，对应关系是函数的核心“规则”，值域是对应关系作用在定义域上的“结果”。三要素之间相互联系，但定义域和对应关系起决定作用。教师板书（此处以口述形式呈现）：两个函数只有当它们的定义域相同且对应关系相同时，才认为是同一个函数。2.求函数定义域的规范训练例2求下列函数的定义域：（1）f（x）＝√（2x－1）＋1/（x－3）（2）f（x）＝√（x²－4）/（x－1）处理方式：先让学生独立完成，然后请两位学生板演，师生共同订正。围绕板演过程，总结求函数定义域的一般步骤：第一步，明确使函数解析式有意义的限制条件；第二步，列出相应的不等式或不等式组；第三步，解不等式或不等式组，求交集；第四步，用区间或集合表示定义域。对于第（1）题，学生容易遗漏分式分母不为零的条件，教师重点强调“多重限制条件应取交集”这一易错点。对第（2）题，学生可能在根号下表达式非负和分母不为零两个条件的处理上出现顺序混乱，教师加以引导，帮助学生建立规范的解题步骤。3.抽象函数定义域的深入探究例3已知函数f（x）的定义域为［1，3］，求函数f（2x＋1）的定义域。教师分析：函数f（2x＋1）中，括号内的整体“2x＋1”相当于原来函数f（x）中的自变量x，其取值必须落在f的定义域［1，3］内，因此有1≤2x＋1≤3，解得0≤x≤1。所以函数f（2x＋1）的定义域为［0，1］。例4已知函数f（2x＋1）的定义域为［0，1］，求函数f（x）的定义域。教师分析：本题与例3互为逆向。f（2x＋1）的定义域为［0，1］，意味着x∈［0，1］，因此2x＋1∈［1，3］。函数f（x）中的自变量x所起的作用与f（2x＋1）中的“2x＋1”完全相同，所以f（x）的定义域是［1，3］，而非［0，1］。这里要特别注意区分“函数的定义域”与“括号内代数式的取值范围”。教师通过两道例题的对比，让学生体会抽象函数定义域问题的本质：无论是f（x）还是f（g（x）），括号内整体必须落在同一个“允许的取值范围”内，这个范围就是f的定义域。师生共同总结出解决抽象函数定义域的口诀：“括号内范围相同，定义域是指x的范围。”4.同一函数判定例5判断下列各组函数是否为同一函数：（1）f（x）＝x，g（x）＝（√x）²（2）f（x）＝x，g（x）＝√（x²）（3）f（x）＝x²，g（t）＝t²（4）f（x）＝（x²－1）/（x＋1），g（x）＝x－1学生分组讨论后逐题分析。第（1）题中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为［0，＋∞），定义域不同，所以不是同一函数。第（2）题中，g（x）＝√（x²）＝|x|，与f（x）＝x的对应关系不同，所以不是同一函数。第（3）题中，尽管对应法则中使用的字母不同，但定义域都是R，对应关系都是“平方”，因此它们是同一函数。第（4）题中，f（x）的定义域为{x|x≠－1}，g（x）的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数。教师特别强调：判断两个函数是否相同时，只需看定义域和对应关系是否相同即可，与变量用哪个字母表示无关，与函数解析式的书写形式是否一致也无关，重要的是化简后的形式是否相同且化简过程中是否改变了定义域。设计意图：通过求定义域的规范化训练，帮助学生形成正确的解题习惯；通过抽象函数定义域的对比训练，突破学生思维的难点；通过同一函数判定的题组训练，深化对函数三要素的核心地位的理解。（四）全面梳理，掌握表示方法（约15分钟）5.三种表示方法的内涵辨析教师引导学生回顾已经学过的三种函数表示方法，并进行系统的对比分析：表示方法定义优点缺点适用情形解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系简明精确，便于进行数学计算和推理分析不够直观，有些函数关系难以用解析式表示函数关系可以用公式表达时，如物理中的运动学公式列表法用表格列出自变量与函数值的对应关系直观清晰，可以直接查出对应函数值只能表示有限个对应关系，不能反映函数的整体变化趋势自变量取值有限且对应关系明确时，如抽查统计结果图象法用函数图象表示两个变量之间的对应关系形象直观，能整体反映函数的变化趋势由图象读取的数值往往不够精确需要直观分析函数增减性、最值等问题时6.函数解析式的求法——待定系数法例6已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式。教师引导学生分析：因为f（x）是一次函数，所以可设f（x）＝ax＋b（a≠0）。则：3f（x＋1）＝3［a（x＋1）＋b］＝3ax＋3a＋3b2f（x－1）＝2［a（x－1）＋b］＝2ax－2a＋2b两式相减得：3f（x＋1）－2f（x－1）＝ax＋5a＋b由题意知：ax＋5a＋b＝2x＋17比较两边系数，得：a＝25a＋b＝17解得：a＝2，b＝7所以f（x）＝2x＋7。教师强调：利用待定系数法求函数解析式时，关键是先根据题目条件设出含有待定系数的函数形式（如一次函数设为f（x）＝ax＋b，二次函数设为f（x）＝ax²＋bx＋c），然后根据所给条件建立方程组，解方程组求出待定系数的值。7.函数解析式的求法——换元法与配凑法例7已知f（x＋1）＝x²＋2x＋3，求f（x）的解析式。方法一（换元法）：令t＝x＋1，则x＝t－1，代入得：f（t）＝（t－1）²＋2（t－1）＋3＝t²－2t＋1＋2t－2＋3＝t²＋2所以f（x）＝x²＋2。方法二（配凑法）：f（x＋1）＝x²＋2x＋3＝（x＋1）²＋2，把x＋1整体看作一个变量，得f（x）＝x²＋2。教师引导学生对比两种方法的异同，指出换元法的关键在于“令t＝x＋1”之后要将右边所有含有x的表达式都转化为含t的表达式；配凑法则是直接从形式上把右边配成关于“x＋1”的结构。两种方法本质上相同，都是将中间变量的作用转化为最终变量的作用。8.分段函数初步认识教师出示一个实际问题：某城市出租车收费标准为：起步价10元，可行驶3千米；超过3千米后，每千米加收2.4元（不足1千米按1千米计）。设行驶路程为x千米（x＞0），乘车费用为y元，写出y关于x的函数关系式。学生分析：当0＜x≤3时，y＝10；当x＞3时，y＝10＋2.4（x－3）＝2.4x＋2.8。所以函数关系式为：这是一个分段函数。教师指出：分段函数在定义域的不同子集上有不同的对应关系，但要注意它是一个函数，而不是几个函数。分段函数是一个整体，求函数值时先判断自变量的值属于哪一段，再代入相应的解析式计算。设计意图：通过系统的对比分析与例题教学，帮助学生熟练掌握三种表示方法及其优缺点，掌握求函数解析式的常见方法，初步认识分段函数的实质，为后续深入学习函数性质打下基础。（五）应用新知，解决问题（约10分钟）9.函数概念的综合应用例8求函数f（x）＝√（－x²＋4x＋5）的定义域、值域。教师引导学生按步骤求解：首先求定义域：令－x²＋4x＋5≥0，即x²－4x－5≤0，解得－1≤x≤5。所以定义域为［－1，5］。求值域时，令u＝－x²＋4x＋5，x∈［－1，5］。由二次函数的知识，u＝－（x－2）²＋9。当x＝2时，u取最大值9；当x＝－1或x＝5时，u＝0。所以u∈［0，9］。因此f（x）＝√u∈［0，3］。教师强调：求函数值域时要先确定定义域，在定义域内考虑对应关系的取值范围，这是“定义域优先”原则的具体体现。10.实际问题的函数建模例9用长为30米的篱笆围成一个矩形菜园，设矩形的一边长为x米，面积为y平方米，写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域。学生分析：矩形的一边长为x，则另一边长为（30－2x）／2＝15－x。所以面积为y＝x（15－x）＝15x－x²。因为矩形的每条边的长度都为正数，所以x＞0且15－x＞0，解得0＜x＜15。所以函数的解析式为y＝15x－x²，定义域为{x|0＜x＜15}。教师指出：在实际问题中建立函数关系时，除了要使解析式有意义外，还须使实际问题本身有意义（例如边长、时间、人数等不能为负），这是容易被忽视的地方，务必引起重视。11.课堂反馈练习（限时独立完成）（1）求函数f（x）＝（x＋1）／（x²－2x－3）的定义域。（2）已知f（x＋1）＝x²－x，求f（x）的解析式。（3）已知函数f（x）的定义域为［0，2］，求f（2x）的定义域。学生完成后，同桌之间互相批改，教师选取典型错误进行讲评。设计意图：通过综合应用训练，检验学生对本节课知识的掌握程度，帮助学生将知识转化为能力，同时暴露学生在理解上的偏差和漏洞，及时进行纠正和弥补。（六）归纳总结，构建网络（约5分钟）教师引导学生从知识、方法、思想三个维度对本节课的学习进行总结。知识层面：函数的定义（用集合与对应的语言描述）；函数的三要素（定义域、对应关系、值域）；函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；分段函数的概念。方法层面：求函数定义域的一般步骤；求函数解析式的待定系数法、换元法与配凑法；判断同一函数的方法。思想层面：数学抽象思想（从具体实例中概括出函数的一般概念）；数形结合思想（用图象直观表达函数关系）；转化化归思想（将抽象函数的定义域问题转化为括号内整体取值范围的问题）；模型思想（将实际问题转化为函数问题）。教师以思维导图形式对以上内容进行系统的可视化呈现，帮助学生形成结构化的知识网络。六、课后作业与拓展延伸基础巩固作业（全体学生必做）：1.求下列函数的定义域：（1）f（x）＝1／√（2x－3）；（2）f（x）＝√（2x＋1）／（x²－x－2）。2.已知f（x）＝3x＋5，求f（x＋1），f（x²）的表达式。3.已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x＋1）－f（x）＝2x，求f（x）的解析式。能力提升作业（选做）：已知函数f（x）的定义域为［－1，4］，求函数g（x）＝f（2x）＋f（x／2）的定义域。实践探究作业（小组合作）：走访学校附近的商店或农场，调查某种商品的价格与销售数量之间的关系，收集数据并绘制出函数图象，尝试用三种不同的表示方法呈现这一函数关系，并撰写一份简短的数学建模报告。设计意图：分层设计作业，既保证全体学生巩固基础知识，又为学有余力的学生提供拓展空间，同时还通过实践作业让学生体会数学的应