2024-2025学年初中数学八年级上册（沪科版）期末冲刺 专题16 30°45°和60°角的四种类型-解析版

专题1630°.45°和60°角的四种类型

目录

解题知识必备......................................................................1

压轴题型讲练......................................................................1

类型一、在60°顶点处构造共顶点等边三角形.......................................1

类型二、利用60。角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形....................10

类型三、利用45°角构造等腰直南三角形..........................................17

类型四、利用30°角构造直角三用形...............................................26

压轴能力测评....................................................................32

“解题知识必备♦♦

L等边三角形的性质

，性质1:等边三角形的三个内角相等

，性质2:含30。角的直角三角形中,30。角所对直角边等于斜边的一半

2.等边三角形的判定

判定1:有三边相等的三角形是等边三角形

判定2:两个角是60°（三个内角相等）的三角形是等边三角形

判定3:有一个内角60。的等腰三角形是等边三角形

♦♦压轴题型讲练♦♦

类型一、在60。顶点处构造共顶点等边三角形

例.如图，VABC中，ZZMC=60。，点。、E分别在AB、AC上，/BCD=NCBE=30。,BE、C。相交于

点。，OG_L8C于点G,求证：OE+OD=2OG.

【答案】见解析

【分析】延长OE至点M，使OM=OC,连接CM,则O8=OC,ZMOC=ZBCD+ZCBE=60°,即可

得到,OMC为等边三角形，则CM=OC=O4,ZM=60°,ZABE=NMCE,即可证明MOD9cME,

DO=EM、则QE+OZ)=O8.在用AOBG中得到2OG=O8即可.

【详解】证明：延长OE至点M,使OM=OC,连接CM,如图，

^ZBCD=ZCBE=30°,

WOB=OC,ZMOC=ZBCD+Z.CBE=30°4-30°=60°.

EOM=OC,

(3,OMC为等边三角形，

®CM=OC=OB,NM=60。.

又/胡C=60°,

电ZABE=/MCE.

在，48和.CME中，

即BOD^-CME(ASA),

田DO=EM,

HOE+OD=OE+EM=OM=OB.

在R/408G中，NO8G=30。，OGIBC,

(3206=04,

ROE+OD=2OG.

【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、仝等三角形的判定和性质和

直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线并找到对应全等三角形.

【变式训练1】.在等边三角形A8C外侧作直线"，点3关于直线”的对称点为。，连接C。，交”于点

E，连接BE.

⑴依题意补全如图.

(2)若NPA8=20。，求NACE.

(3)若0。</%8<60。，用等式表示线段EC,C4之间的数量关系并证明.

【答案】(1)见解析；

(2)40°；

(3)DE=EC=CA,理由见解析.

【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等

知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

(1)依题意补全图形；

(2)由等腰三角形的性质和外角性质即可求解；

(3)连接A。、BE,BE交AC于点F,根据全等三角形的判定与性质可求解.

【详解】(1)解：过点8作直线社的垂线，交于点。，取点。，使得OD=QB,连接CO、BE,

则点D为点8关于直线AP的对称点，图为所求的图.

C

A

/

p

(2)

解：如图：连接4。，

国点D与点、B关于直线AP对称

\2AI)=AB,DE=BE,

团NADB=NABD,NEDB=NEBD

电ZADB-/EDB=ZABD-NEBD，^ZEDA=ZEBA

EAB—AGAB=AD

EAD=AC,

G：ZADC=Z71CO

"ABE=NACE

13在,.EAB与一匹石。中

ZFCE=NFBA,NCFE=ZBFA

[LZBAC=ABEC

圆VA8C是等边三角形

@ZR4C=60°

0ZBEC=ZB/\C=6O°

EZE4B=20°,BDLAP,

EZ4BO=90°-Z^4B=70°,

比ZEDB=NEBD,

仅NEBD=、NBEC=1X60°=30°,

22

RZABE=ZABO-/EBD=70°-30。=40°,

@ZACE=ZABE=40°.

(3)

解：。石=EC=C4,

理由：如图，连接A。、BE,BE交AC于点F,

回点。与点。关于直线AP对称

0">=/W,DE=BE,

EZADP=/ABP,Z.EDP=4EBP

I?ZEDP-ZADP=ZLEBP-ZABPZEDA=ZEBA

住AB=AC,AH=AD

团A£>=AC,

^\/ADF=/ACF.

用乙WACE

量ZAFB=/CFE

(3在二E45与一庄C中

Z.FCE=NFBA,Z.CFE=NBFA

QZBAF=NCEF

回VA8C是等边三角形

"RAJ600

0ZCEF=ZBAF=60°

gAB=BC、ED=BE,

13由线段AB,CE,ED构成的三角形与,EBC全等,则AB=CE=ED

又田48=C4,

0DE=EC=CA,

【变式训练2】.已知等腰VA8c和等腰VAOE中，AB=AC,AD=AE.

图⑴图⑵图⑶

(1)如图(1),①若他=7,AD=3,在等腰VAOE可绕点A旋转过程中，线段CO的最大值为

②若N84C=ND4E=40。，当&。、E三点共线时，则NAEC的度数为；

(2)如图(2),若4C=AO,且C与。重合，ABAC=^,当NDAE的大小在0。〜90。范围内之间任意改变，

NB"的度数是否随之改变？请说明理由；

⑶在(2)的条件下，〃是EC延长线上一点，且BF=EF,连接“，如图3,试探究以/艮尸。之间的关系，

并证明.

【答案】⑴①10;②110°或70°

⑵“BEC的度数不变，理由见解析

(3)FA=FI3+FC,理由见解析

【分析】

(1)①连接C。，由COW4C+4nA8=AC=7,AD=3,得CDKI0,则线段CO的最大值为10,广是得

到问题的答案；②分两种情况讨论，一是B、。、E三点共线，且点O在线段BE上，设8E交AC于点P,

由A8=AC,AD=AE^ABAC=ZDAE=40°,得N8AO=NC4E,Z4EO=70°,可证明△BAD/ZiCAE,

得ZABD=ZACE,所以ZAPE-ZABD=ZAPE-ZACE,贝ijNBAE=NBEC=40。,即可求得

ZAEC=ZAED+ZBEC=110°；二是B、D、E三点共线，且点E在线段8。上，设CE交A于点R,则

ZCAE=ZBAD=40°+ZBAE,ZD=ZAED=-x(180°-40°)=70°,可证明^\ACE^Z\ABD,得

2

Z4EC=ZD=70°,于是得到问题的答案；

(2)由A8=AC=AE,得/AEC=/ACE=』(18()o-NCAE),N4E8=NABE='(180。一NBAE),则

22

ZBEC=-(180°-ZC4E)--(180°-ZI3AE)=-ZBAC=30°.所以/REC的度数不变.

222

(3)在线段AF上截取/。=所.连接8Q,可证明VABC是等边三角形，得4B=CB,ZABC=60°,由

BF=EF,得/EBF=/BEC=3。。,则ZBFE=\20°,再证明A尸垂直平分砥，则

ZBFC=ZFM=1ZBFE=6O0,所以4即是等边三角形，则ZQBF=60°,可推导出

ZABQ=NCBF,即可证明一48Q0/，得QA=bC,所以AF=FQ+QA=FB+FC.

【详解】(1)解：①如图(1),连接CO,

AB=AC=7,AD=3,

/.AC+AD=7+3=10,

.CD<AC+AD,

：.CD<IO,

••・线段CD的最大值为10,

故答案为：10.

②如图(1)①，B、。、E三点共线，且点。在线段晅上，设班:交AC于点尸，

A

ZfiAC=ZZ^4E=40°.

：.Z.BAD=ZCAE=40°-ZC4D，^AED=1x(180°-40°)=70°,

2

在4aA。和,.C4E中，

AB=AC

ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.”R4D^一C4E(SAS).

/.ZABD=ZACE,

...ZAPE-ZAI3D=ZAPE-ZACE，

/BAC=ZAPE-ZABD,ZBEC=ZAPE-ZACE,

.•.NBAE=NBEC=400,

ZAEC=ZAED+NBEC=110°；

如图（1）②，B、。、E三点共线，目.点E在线段3。上，设CE交4B于点R,

图⑴②

AB=AC,AD-AE^ZBAC=/DAE=4O°,

：./CAE=/BAD=40°+NBAE,ZD=ZAED=-x(180°-40°)=70°,

2

在A4CE和△A3。中，

AC=AB

ZCAE=^BAD,

AE=AD

.•..AC匡./BO(SAS),

/.ZAEC=ZD=70°,

故答案为：110°或70。.

（2）N8EC的度数不变,

理由：AB=AC,AD=AE,AC=AD,且C与。堂合，

AB=AC=AE,

ZAEC=NACE=-(180°-ZC4E),/AEB=NABE=-(180°-ZBAE),

22

QN84c=60。，

ZBEC=ZAEC-ZAEB=1(1800-ZCAE)-^(180°-NBAE)=；NBAC=30°,

.•.NBEC的度数不变.

(3)FA=FB+FC.

证明：如图(3),在线段从'上截取尸Q=F8,连接BQ,

AB=AC,NWC=60°,

..ABC是等边三角形，

:.AB=CB,ZA8C=60。，

BF=EF，

••.NEBF=NBEC=3。。,

:"BFE=180°-4EBF-/BEC=120°,

BF=EF，AB=AE,

•••点F、点A都在跖的垂直平分线上,

..质垂直平分8£,

NBFQ=ZEFA=gZBFE=60°,

尸是等边三角形，

:.QB=FB,NQ8产=60。，

ZABQ=NCBF=60°-4CBQ,

在和VC8F中，

AB=CB

<NABQ=NCBF,

QB=FB

:一AB%二CBF(SAS),

:.QA=FC,

AF=FQ+QA=FB+FC.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与

性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试

压轴题.

【变式训练3】.如图，在四边形A8C。中，AC垂直平分80,44)=60°,£是4。上一点，连接CE交BD

于点F,且CE〃AB.

⑴求证：律是等边三角形；

(2)若AO=4,CE=3,求CF的长.

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】(1)由4c垂吏平分AQ,可得A8=A。，证明△A8Z)是等边三角形，加均=60°,由氏

“『得NOE尸=N84O=60。，则NOE/=NE£>/=60。，进而结论得证：

(2)如图，连接AC交8D于。，由AC垂直平分8。，可得N/MC=；NB4C=30°,

Z4CE=Z.DEF-ADAC=30°=ZDAC,则AE=CE=3,DE=AD-AE=\^由。£厂是等边三角形，可

得EF=DE=1,根据。尸二CE-M,计算求解即可.

【详解】(1)证明：团AC垂直平分8。，

AB=AD,

EZ5AD=60°,

国AABO是等边三角形，ZADZ?=60°.

^CE//AB,

m^DEF=/BAD=3,

EZDEF=ZEDF=60°,

回。£尸是等边三角形；

（2）解：如图，连接AC交川）于。,

回AC垂直平分8D,

EZDAC=-ZBAC=30°,

2

0ZACE=ZDEF-ZDAC=30°=ADAC,

?.AE=CE=3，

^DE=AD-AE=\,

回。所是等边三角形，

©EF=DE=1,

&CF=CE-EF=2,

团。尸的长为2.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质等

知识.熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质是解题

的关键.

类型二、利I用60。角的一边上的点向另一边作垂线构造直角三角形

例.如图，锐角VABC中，A8=AC,点。在A8上，DEJ.AC交AC于点、E,连接CO,/CDE=/B.

⑴特例探索：如图1,若44=60。，求NACD的度数；

⑵类比迁移：如图2,若4=a,求4CO的度数（用含a的代数式表示）;

⑶拓展提升：在图2中，猜想5。与4E■的数量关系，并给出证明.

【答案】（1）48=30。：

(2)ZAC£>=|；

(3)BO=2AE，理由见解析.

【分析】(1)首先证明VA3c是等边三角形，由。E/AC得到NCE£>=90。，从而求解；

(2)由AB=AC,NA=a,得NB=4CB=90-券，再根据三角形内角和与直角三角形的性质即可求解;

(3)在EC上截夕—AE，连接D/，则NO/*=NA=a,再根据等腰三角形的判定与性质即可求解；

本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用

是解题的关键.

【详解】(1)^AB=AC,ZA=60°.

13VA8C是等边三角形，

EZ/?=Z4CB=60°,

^DE-LAC,

0ZCED=9O°,

SZCDE=Z/?=60°,

0Z4CD=9OO-6OO=3O°：

(2)0AB=AC,NA=a,

BZg=ZACB=18°~a=90°--,

22

SDE.1AC,

0ZCED=9O°,

SZCDF=ZB=90°--,

2

ZX

SZACD=90°-90°--=-；

<2J2

(3)BD=2AE,理由如下：

如图2,在EC上截所=AE，连接DF,

^DEIAC

^AD=EF

则NW%=/4=c,

A

⑦NFDC=NFCD='a,

2

®CF=DF=AD,

又GM8=AC,

EBD=AF=2AE.

【变式训练1】.如图，在VA3c中，AC,点。在AC_L,点E在6c的延长线，，连接DS、DE,DB=DE.

图1图2图3

（1）求证：ZABD=/CDE；

（2）如图2,若/皮（7=60°,求证：AD=CE；

⑶如图3,在（2）的条件下，点尸是VABC外一点，连接尸C,AF,M,且尸。平分/4所，若CF=6,AF=^BF,

求8尸的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

（3）B尸=4

【分析】（1）根据八A=AC,得到由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；

（2）过点。作D"〃3C,交ABJ•点〃，根据己知证明4/5”为等边三角形，再证明一5DH四」把C（AAS）,

即可得出结论；

（3）过点、C作CN工BF于点N,过点C作CH_LB4的延长线于点〃，先证明工CN/gcC"r（AAS）,再证

明RtACNgRt.A"（HT）,推出+N4CH=180。，设人/=相，则B产=2〃?，建立关于小的一元一次

方程，求出，〃即可.

【详解】（1）证明：12AB=AC,

^ZABC=ZACB,

⑦DB=DE,

QZDBC=/DEC,

EZABC=ZABD+ZDBC,ZACB=ZCDE+ADEB,

叵NABD=NCDE；

（2）证明：过点Q作DH〃BC,交AB于点儿

AB=AC,Z£MC=60°,

.•一ABC为等边三角形;

.-.ZABC=ZACfl=60°,

DH〃BC、

：.ZAHD=ZADC=ZABC=ZACB=6(rf

..4//D为等边三角形;

：.AH=AD=HD,

由(1)知ZA5O=NCOE,

/BHD=180°-ZAHD=60。,ZDCE=180°-ZACB=l20°,

:.NBHD=NDCE,

在ABDH与DEC中,

NADB=NDCE

NABD=/CDE,

BD=CE

./A。”"DEC(AAS)：

:.DH=CE,

：.AD=CE:

（3）解：过点C作CN工BFF点N,过点C作C〃_LE4的延长线于点，.

:.£CFN=4CFA,

:CN工BF,CHLFA,

:"CNF=NCHF=9(r,

CNF^^CHF(AAS)；

:.CN=CH,NF=HF,

由(2)知V48C为等边三角形，

/.BC=AC,

RtBGV^RtAC//(IIL)；

:.BN=AH,NBCN=ZACH,

NCFH+ZFCA+ZACH+Z.CFN+/FCN=180°,

NCFH+ZFCA+ZBCN+ZCFN+ZFCN=180°,

二.ZAF^+ZAC^=180°,

Z4CB=60°,

•••ZAFB=120°,

ZAFC=60°,

QCF=6,

FH=NF=3；

设AF=m,则BF=2m,

FH=FN,

倒3-〃z=2"7-3,

0in=2f

138尸=4.

【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定

与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键.

【变式训练2】.如图，在VA4c中，A4=4C,。是3c中点，Z5AC=60°,BC=1,点、E,尸分别在

边上，且ZAEQ+ZA包)=180°.

A

⑴用等式表示线段OE与Ob的数量关系，并证明;

(2)求人£多力厂的长.

【答案】(1)06=0/，理由见解析

⑵3

【分析】(1)过。作于G,DHLAC于H,利用等边三角形的性质得出NA=NC=60。，进而利

用AAS证明ADEG与、DFH全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；

(2)LGED^SFHD(AAS).得至进而推出u=2AG,根据等边二角形和含30。角的百角

三角形的性质，求出3G的长，进而求出AG的长，即可.

【详解】(1)解：DE=DF,理由如下：

过。作Z)G_LA3于G,O”_LAC于〃，

用A8=AC,。是4C中点，㈤C=60。，

EVA8C是等边三角形，BD=DC,

0Z5=ZC=6O°,

在与△《£>〃中，

NDGB=NDHC=90。

«ZB=ZC=60°,

BD=CD

E.BDCSH(AAS),

EDG-DH,

EZAED+ZAI'D=180°,AGED+AAED=180°,

@ZGED=ZAFD,

在,GEQ与△£〃£)中，

NDGE=/DHF=9。。

</GED=/DFH,

DG=DH

图二G反注二F4/)(AAS),

@DE=DF；

(2)—GE哈一FHD(/6S)、

电,GE=HF,

0AF=AH+HF、AG=AE+GE,

^AE+AF=AH+HF+AG-GE=2AG,

(?iVA8C是等边三角形，BC=\,

^AB=AC=BC=\,I3D=-BC=-

22t

回"=NC=60。，

EZ«DG=30o,

0BG——BD——x—=—,

2224

13

^AG=AB-BG=\一一=-,

44

3

^AE+AF=-.

2

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角新的判定和性质，含30度角的直角三角形，解题的

关键是添加辅助线，构造特殊二角形和全等二角形.

【变式训练3】.如图，等腰VA3C中，A8=AC,点。在AC上，点E在8c延长线上，连接BD、ED,

且BD=ED.

图1图2

(1)求证：ZABD=NCDE；

(2)若NA=60。，且A8=3,AD=I,求8E的长.

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】(1)利用等边对等角求得NABC=NACB,利用三角形的外角性质即可证明结论成立；

(2)作DF工RE于点F,证明V48c是等边三角形，求得8=2,""=30。，利用含30度角的直角三角

形的性质求得CF=l,再利用等腰三角形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：团等腰VAAC中，AB=AC,

^.ZABC=ZACB,

EZABD+/DBC=ZCDE+ZE,

田BD=ED,

@ZDBC=NE，

eZABD=NCDE；

(2)解：作OF_L8E「点F,

团等腰VA3C中，NA=60。，

国VA4C是等边三角形，

SBC=AC=3,ZACff=60°,

SAD=1,

00=2,ZCDF=30°,

@CF=-CD=1,

2

0BF=BC-CF=2,

团8D=£D,DFLBE,

BBF=EF,

田BE=2BF=4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、直角三角形的性质,

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

类型三、利用45°角构造等腰直角三角形

例.等边三角形和等腰直角三角形是我们熟悉的特殊三角形.数学课上，同学们探究得到了以下判定和性

质：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形；③等腰直

角三角形的两腰相等，两锐角都是45。.请应用以上知识解决下列问题：

已知线段A8,点。是平面内一动点，且A8=AC,连接8C,点。在8C右侧，且BC=BD,NCBD=90。,

连接C£>、AD,AD交BC于点、E.

1,若〃4c=60°,则N8OA=°；

【深化应用】⑵如图2,在（1）的基础上，作NC4。的角平分线M交A。于F,试探究线段AO与2DF+BF

之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】（3）若A8=2,当4。最长时，请直接写出OE的长.

【答案】（1）15：（2）AD=BF+2DF，理由见解析；（3）的长为4

【分析】（1）根据N坳。=60°,结合48=47,得到等边三角形A8C,继而得到AA=4C=比"=40,

ZABC=60°t结合NCAO=90°,得到NA3£）=150。,继而得到/瓦必=理三变=15。，解答即可；

（2）过点B作8GJ.A。于点G,根据（1）证明NGB/=30。，利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形

的性质证明即可.

（3）过点8作于点8,且A〃=A4=2,再证明“8C9一，AO（SAS）,得到〃£>=AC=A5=2,

根据+得到当4、从。三点共线时，40取得最大值，根据题意，得NHBD=NHDB,证明

/EBH=NHEB,继而得到“£=碗=〃力=2,解答即可.

【详解】（1）（3^MC=6O°，AB=AC,

回等边三角形ABC,

BAB=AC=BC=BD,NA4c=60。，

（3NC%）=9（尸，

EZABD=150°,

180°-150°

0ZBDA==15。，

2

故答案为：15.

（2）线段4。与2/邛+8b之间的数量关系为：AD=BF+2DF.理由如下:

过点B作BG±A。于点G,根据（1）得N8D4=I5。，ZABC=60°，

EZ4BG=75°,486=15。

（3NC8Q=90",NCB。的角平分线M交A。于R

L>ZEBF=45°,

0ZG^F=30°，

叵BF=2GF,

12BGLAD,AB=BD,

AD=2AG=2DG=2DF+2GF,

^AD=2DF+BF.

（3）过点8作3”_LA8「点从旦8〃=A8=2,

0ZC£?D=9O°,BH上AB,

EZABH=90°-ZCBH=ZHBD,

AB=HB

^\^ABC=ZHBD,

BC=BD

瓦ABC空"83（SAS）,

田HD=AC=AB=2,

田AH+HDNAD，

故当A"、。三点共线时，A。取得最大值,

根据题意，得NHBD=NHDB,

D

H,

AB

叵空BH=/HEB,

通HE=HB,

WHE=HB=HD=2,

（3当AO最长时，DE=HE+HD=4.

【点睛】本题考查了等边三:角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，直角

三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形不等式求最值，熟练掌握等边三角形的性质，三角形

不等式是解题的关键.

【变式训练1】.如图1，在等腰直角三角形A8C中，AB=AC,ABAC=90°,点。在BC边上，连接A。，

AE±AD,AE=AD,连接C£,DE.

图1备用图

（1）乙4CE=N8=45。，请你说明理由.

（2）求/8CE的度数.

⑶点A关于直线CE的对称点为八，连接EA.补仝图形，判断NE4C与2胡Q之间的数量关系并说

明理由.

【答案】（1）理由见解析

（2）/88=90。

⑶朴全图形见解析，"AC=NBAD,理由见解析

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练

掌握全等三角形的判定与性质是解题关键.

（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得NB=NACB=45。，再证明,由全等三角形的性

质即可证明结论；

（2）由（1）可知，ZACE=45°,ZAC3=45°,然后由N8CE=ZACE+ZAC8求解即可；

（3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得EA=EA],CA=CA]fCE=CE,进而证明△ACE且△AQE,

易得NEAC=NEAC,结合可知NC4E=N8A。，即可获得答案.

【详解】（1）证明：^AB=AC,ZBAC=90°,

团"=NACB=45°,

[?：Zft4C=ZmE=90°,

EZBAD+ZDAC=ZC4E+ADAC.

叵4AD=NCAE,

又代AB=AC,AD=AE,

回,A8Z注ACE(SAS),

^ZACE=ZB=45°；

(2)解：由(1)可知，ZACE=45°,ZACT=45°,

Q：ZBCE=ZACE+ZACB=450+45°=90°；

(3)如图，"AC=/BAD,理由如下：

团点A与A关于CE对称，

团EA=EA，CA=CA,,CE=CE,

3CE丝LACE(SSS),

0ZE/4,C=ZEAC,

EAABD^AACE,

□ZC4E=ZfiAD,

0ZE4,C=ZBAD.

【变式训练2].如图，已知，VABC中，NB=3NC,ZADB=45°,。为8C的中点，求N8的度数

【答案】67.5°

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相

关性质内容是解题的关键.先作DELBC于点Q,DE交AC于点E,在用)上截取OE=OE，连接A£,

得出OE是线段8c的垂直平分线，证明.AOEt,AOE(SAS),结合角的等量代换以及角的运算，得出

ZADE=ZEAD+ZC=x+x=45c,即可作答.

【详解】解；作DE_L8CJ•点D,DE交八。卜点E,在BD上截取。£=£)石，连接A£,

则有N81)E=90。，

设NC=x,则ZABC=3x,

EDE±C/?,点D为BC的中点,

(3OE是线段BC的垂直平分线，

eBE=CE,NEBC=/C=x,

EZABE=2x,

GZAEB=NC+/EBC=2x(三角形外向性质)，

gZABE=ZAEB，

1AB=AE,

团=45。,乙BDE=90°,

EZADE=Z.CDE-ZADB=45°,

:・ZADE=ZADE,

又AD=/V)，

X力£0AOE(SAS),

团AE=A£，

0iA£=A4

0ZAFB=ZABC=3x,

I3&4E=N8EA-NC=3X7=2X,

见AOEgADE,

EZE'AD=ZEAD=-NE'AE=x,

2

团ZAT>£=NE4D+NC=x+x=45。，

即x=22.5。,

EZABC=22.5°x3=67.5°.

【变式训练3].如图，在平面直角坐标系xO)'中，直线y=:x+2与x轴交于点A,与直线丁=履-22+1相

交干点8；直线y=辰-2攵+1与工轴交于点C.

(2)若NABC=45。，求”的值；

⑶若VABC是以BC为腰的等腰三角形，求k的值.

【答案】(1)学3?

(2)k=3

14

⑶k的值为一不或工

【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)分别求出8、C、A点坐标，再求VA3C的面积即可；

(2)作AG_LA8交于G,作MN_Lx轴，过点B作交于M,作GN工MN于N,证明

A8M乡,GATV(AAS),从而得出装，再代入一次函数解析式计算即可得出答案；

(3)分两种情况：当6c=A3时，当4C=ACH寸，分别计算即可得出答案.

【详解】⑴解：当时3，y=|3-r-2,

当：3x_2=]1x+2时，解得x=4,此时)，=]3x4_2=4,

05(4,4),

在/=1-2中，当，=0时,-3x-2=0,解得工=可4，即C/R4O),

3

在y=gx+2中，当)，=0时,Jx+2=0,解得x=Y,即力(-4,0),

(44^32

05ABC=2x|-+4|x4=y；

3

(2)解：如图，作AG_LA8交于G,作MN_Lx轴，过点B作M8_LMV交于M,作GNLMN于N,

国NA/=NN=90。

@ZABC=45°,AGA.AB,

瓦MG为等腰自角三角形,

^AB=AG,

叵NM43+NA^G=90。，ZMAB+ZMBA=90°,

叵NNAG=/MBA,

13"8M”.G4V（AAS）,

RBM=AN,AM=NG,

1Ab4.74k+2

当h-2A+l=lx+2时，解得X=-^此时y=]X+2%

22k-\2k-\

4k+26k-1

2Z-1'2k-l

^-_y=kx-2k+\i\i,当1y=0时,

4A+26k-1

EBM=+4,AM

2k-\2k—1

回NG=AM=竺二1•,AN=8M=四二+4,

2k-12k-1

3-2k2-\2k

EG；

2k-\'2k-\

3—2k...2-12左

0---------k-2k+\=

2,t-l2k-l

解得：2=3或J,

6

检验：当攵=3时，22—1工0,是分式方程的解，当女=，时，2A—1工0,是分式方程的解,

6

团宜线BC与x轴的夹角为VABC的外角，ZABC=45°,

[3直线AC与x轴的夹角大于45。.

团%>1,

团A=3：

（3）解：由（1）可得4（-4,0）,

由⑵可得〃：§」停42+了26即A—11｝J〔l下k-\可

解得：化=一（或攵=!，

26

检验：当k=-＜或女=，时，2Z-1W0,是分式方程的解,

26

4

解得：k=w或4=0,

检验：当时，△（2"-1）¥0,是分式方程的解，攵=0是噌根，舍去,

I4

综上所述，左的值为-5或

类型四、利用30°角构造直角三角形

例.如图，在等边VABC中，点。、E分别在边人8、上，AD=CE,线段加、CD交于点F,连接AF.

⑴求NC7五的度数:

⑵当ZAFE=3O0时，用等式表示线段与的数量关系，并证明.

【答案】（l）NCFE=60。；

（2）CF=2BF,证明见解析.

【分析】（1）通过SAS证明.£）8。之,以4得出/BE=/BCD,再由NA8E+/C8E=60。即可推出结果；

（2）过点。作C〃_LAE,垂足为“，通过AAS证明一得出b=再根据含30。的直角三角

形性质推出CF=2FH即可得出结论；

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形

的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）证明：回VA8C是等边三角形，

0ZC4B=ZfiC4=6O°,AC=CH,

在△/WX?和qCEB中，

AD=CE

NCAB=NBCA

AC=CB

〔?&A£K*..CEB（SAS）,

自NCBE=NACD,

0NCFE=Z.CBE4-/BCD=NACQ+/BCD=NBCA=60°，

（2）证明：过点C作C〃_L8E,垂足为〃，

国NCHB=90。.

SZAFC=ZAF£+ZCF£=30°+60o=90°,

BZAFC=/CHB,

在△Ab和OH中,

/AFC=NCHB

<NACD=NCBE

AC=CB

04.ACF^.CTH（AAS）,

田CF=BH,

0ZFCA/=18O°-ZC/7B-ZCF£=18OO-9OO-6OO=3O°,

13b=2/77,

RBH=2FH,

却BF+FH=2FH,

9BF=FH,

^CF=2BF.

【变式训练1】.如图，在VA4C中，NACB=90。，ZA=30°,AB的垂直平分线分别交相和AC于点。,

E.

A

D

E

B4-----------'C

(1)求证：AE=2CE；

⑵连接CO,请判断△8C£＞的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)aBCZ)是等边三角形，理由见解析

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解

题的关键.

(1)连接班:，由垂直平分线的性质可求得N£8C=ZA3E=ZA=30",在Rt.BCE中，由直角三角形的性

质可证得3E=2CE,则可证得结论；

(2)由垂直平分线的性质可求得8=80,H.ZABC=60°,可证明△"())为等边三角形.

【详解】(1)证明：连接把，

回/4CB=90°,NA=30。，

（?ZABC=90°-30o=60°,

。£是4B的垂直平分线,

/.AE—RE>

ZABE=Z4=30°,

;.NCBE=ZABC-ZABE=30°,

在Rt.BCE中，BE=2CE,

AE=2CE：

（2）解：△BC。是等边三角形,

理由如下：连接co.

OE垂直平分AA,

^\BD=-AB,

2

Z4CB=90°,ZA=30°,

ABC=-AB,

2

田BD=BC,

vZABC=60°,

.•.△BCD是等边三角形.

【变式训练2】.已知，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,D为BC边上一点,E为射线A。上一点,

连接BE、CE.

mi图2图3

⑴如图1,若NAT>C=60。，CE平分NACB,求N4£O的度数；

(2)如图2,若AEJ.BE,求/AEC的度数；

⑶如图3,若/BED=30°,NCED=45。,E在A,。之间，且AE=2,求跖的长.

【答案】(1)30。

(2)45°

(3)4

【分析】(1)证明,.ACEWBCE得到NC8E=NC4E,AE=BE，根据等边对等角得到ZC4B=ZCBA=45°,

/CAE=NCBE=3(r,则/E43=NEBA=15。，即可由三角形外角的性质得到/跳7)=NE4B+N7?8A=30°；

(2)如图所示，在4E上找一点F,使得A〃=8E,连接C/，先证明NC4O=N£8O,进而证明

ACF^fiCE(SAS),得到CF=CE,NACF=NBCE,进一步证明NECF=90。，得至I」NCFE=NC所=45。,

即ZAEC=45°：

(3)作CK_LCE交A。延长线于K,连接欧，证明，AC£WA8CK(SAS),证明AB跖为含30。的直角三角

形即可得出答案.

【详解】(1)解：团CE平分/A。，N4CB=90。，

^ZACE=^BCE=45°,

在ZXACE和中，

AC=BC

ZACE=ZBCEf

CE=CE

团乙ACE空8CE(SAS),

□ZCB£=ZCAE,AE=BE，

团AC=BC,

@ZC4B=ZCTA=45°,

(ZZAZ)C=60°,ZACB=90°,

aZC4E=ZC«E=3O°,

EZE4B==45°-30°=15°,

EZBED=AEAB+/EBA=3(尸；

(2)解：如图所示，在AE上找一点人使得4b=8E，连接。尸，

田AEJ.BE,

闭/4。。=/月£。=9()。,

又匿ZADC=NBDE,

国NCAD=NEBD,

在ZkAb和.BCE中,

AC=BC

«ZCAF=NCBE,

AF=BE

BCE(SAS),

⑦CF=CE,NACF=NBCE,

0ZACF+ZBCF=ZACS=90°,

叵ZBCE+NBCF=90°,HPZECF=90°.

国NCFE=/CEF=45。,

EZAEC=45°：

A

(3)解：如图所示，过点C作CK_LCE交AO延长线「K,连接8K,

回NECK=90。，

0ZCED=45°,

图NCKE=45。=NC£D,

⑦CK=CE,

0ZACE+NEC8=/£(%+4CK=90>,

^ZACE-^BCK,

在/VICE和，8CK中，

AC=BC

ZACE=ZBCK,

CE=CK

"ACR.4CK(SAS),

□Z4EC=Zfi/CC=180°-45o=l35°,AE=RK=2,

^\Z.CKE=45n,

EZBKE=ABKC-Z.CKE=9()0,

◎ZBED=30°,

6BE=2BK=4.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，

三角形外角的性质，含30。直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线证明三角形全等是解题的关键.

【变式训练3.如图，四边形A4CO中，ZA=90°,4=120。，ZD=30°,A8=2,BC=3,求C。的长.

【答案】CD=7.

【分析】本题主要杳了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质.延长胡，。。交于点E,证明BCE足

等边三角形，可得6E=CE=8C=3,从而得至ijAE=A8+3E=5,再由宜用三角形的性质可得

Z?E=2AE=10,即可求解.

【详解】解：如图，延长BAOC交于点E,

(?ZABC=120°,

团NCBE=600,

回Z4=9O。，ZD=30°,

EZE=60°,

0Z.CBE=ZE=/BCE=60°,

回是等边T角形，

⑦BE=CE=BC=3,

^AE=AB+BE=5,

在RtADE中,ZD=30°,

SDE=2AE=IO,

\>CD=DE-CE=7.

”压轴能力测评“

1.如图，在VA3C中，点E在3c上,AE=EC,延长AE至O,连接80.过A作4/U4。，截取A尸=4C,

连接。/\若NBA力:N4OB:NABC=1:2:3.

图1图2

⑴探究NAC8与N84O的数最关系;

⑵求；”的值;

⑶设。广与8c交于点G,连接4G.若△4EC为等边三角形，AF=1,求AG.

【答案】（1）4。8=90。-2/弘。

明

⑶3人―瓜

2

【分析】（1）根据N8V）:NAO4:NA4C=I:2:3,得出NA2C=3NB4D,根据三角形外角的性质，得出

1AEC4?班力，根据4£=£C、等边对等角、三角形内角和定理，得出乙4cB与N84。的数量关系即可；

（2）过点A作A〃_L4C交CB延长线于H,推出AE=HE=EC=；HC,利用AAS证明，

1Ap

得出A"=AO,利用SAS证明一C4"g,£40，得出HC=O厂，推出AE=；；。〃，求出芸:的值即可；

2DF

（，）过点A