第05讲反比例函数的图象与性质（6大知识点12大典例变式训练过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义

第05讲反比例函数的图象与性质（6大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）

0题型预览

典型例题一根据反比例函数的定义求参数

典型例题二由反比例函数值求自变量

典型例题三已知反比例函数的图象，判断其解析式

典型例题四比较反比例函数值或自变量的大小

典型例题五已知反比例函数的增减性求参数

典型例题六由反比例函数图象的对称性求点的坐标

典型例题七已知双曲线分布的象限，求参数范围

典型例题八求反比例函数解析式

典型例题九一次函数与反比例函数的交点问题

典型例题十反比例函数、二次函数图象综合判断

典型例题十——次函数与反比例函数的综合实际应用

典型例题十二与反比例函数有关的规律有关的探究问题

图知识梳理

知识点01反比例函数的定义

特别说明：

交点.

决有关自变量指数问题时应特别注意系数上H0这一条件.

例系数攵，从而得到反比例函数的解析式.

【即时训练】

【答案】C

故选：C.

【即时训练】

A.x,y互为倒数，c,d互为相反数

【答案】C

【分析】此题考查了代数式求值.熟练掌握相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求

值，是解题的关键.

根据相反数的概念，倒数的概念，函数性质，整体代入求代数式求值，逐一判断即得.

故选：C.

知识点02确定反比例函数的关系式

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数Z的值；

【即时训练】

1.（2425九年级上•安徽安庆•课后作业）如果等腰三角形的面积为10,底边长为1,底边上的面为V,那么

了与x之间的函数关系式为（）

【答案】C

【详解】解：•・•等腰三角形的面积为10,底边长为X,底边上的高为y,

故选:C.

【即时训练】

2.（2025•安徽阜阳•模拟预测）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x,），的三组对应值如下

表，你觉得这三点可以同时位于（）的图象上.

X।24......

yni

A.一次函数和反比例函数B.二次函数和反比例函数

C.一次函数和二次函数D.一次函数和二次函数和反比例函数

【答案】B

故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上，

故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上.

故选:B.

知识点03双曲线

定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、

三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与X轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

【即时训练】

【答案】C

故选：C.

【即时训练】

【答案】c

故选C.

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质

是解题的关键.根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断.

故选：C.

【即时训练】

故选:C.

知识点05反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反

比例函数的图象关于原点对称，永远不会与工轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

特别说明：

比例函数的图象关于原点对称：

都无限接近但永远不能达到工轴和》轴.

2、画反比例函数的图象的基本步骤：

（1）列表：自变量的取值应以。为中心，在（）的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y

值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数;

（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；

（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序

连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐

标轴相交；

3、反比例函数的性质

特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的

增减性都是由反比例系数A的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k

的符号.

【即时训练】

与。关于原点对称,

即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意;

故选:B.

【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质.注意掌

握排除法在选择题中的应用是解应题的关键.

【即时训练】

2.（2425九年级上•安徽淮北・期末）如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（）

【答案】D

【分析】根据二次函数图象得出顶点位置，进而根据各选项排除即可.

只有选项D的顶点符合要求，

故选:D.

【点睛】本题考查了二次函数图象，根据图象得出顶点位置是解题关键.

知识点06一次函数与反比例函数的交点问题

1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

【即时训练】

A

B

O5、x

【答案】D

【分析】本题考查了•次函数与反比例函数交点问题.根据•次函数与反比例函数交点确定方程的解即可.

.••点A,8的横坐标为1,5,

故选:D.

【即时训练】

【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系，根据反比例函数图象所在

的象限可以判定〃的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限.

故选；A.

画经典例题

摩【典型例题一根据反比例函数的定义求参数】

【答案】B

【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之枳为定值，据此逐项判断即可.本题考查反比例函数图象上的点的

坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值.

故选B.

【答案】130

【分析】本题考查反比例函数的实际应用，待定系数法求出k的值即可.

故答案为：130.

【答案】A

【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1k>0即可.

【详解】•・•反比例函数y=l-kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，

.二l-k>0,

解得k<L

故选A.

【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.

2.（2425九年级上•全国•课后作业）填空：

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.

（1）根据反比例函数的定义列方程即可得到结论；

（2）根据反比例函数的定义列方程即可得到结论；

（3）待定系数法即可得到结论；

（4）待定系数法即可得到结论.

故答案为：0；

故答案为：1;

（1）当〃?为何值M，该函数为二次函数？

(2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？

(2)不可能为反比例函数，理由见解析

【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义.

(2)该函数不可能为反比例函数.理由如下：

故该函数不可能为反比例函数.

(1)求用的值和点C的坐标；

(2)若点D为线段上的一个动点，过点。作DE〃y轴，交反比例函数图象于点匕交工地于点F.求

当AOOE面积为6时，点E的坐标.

【分析】(1)根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；

(2)根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到一元二次

方程，解方程即可求解.

过点A作x轴的垂线，垂足为G,

贝IJ有NAGC=NBOC=90。，OG=4,

•••点C是AB的中点，

/.AC=BC,

XVZACG=ZBCO,

AAACG^ABCO,

/.OC=CG=2,

AC(2,0)；

(2)由(1)知4ACG^ABCO,

AOB=AG=3,

AB（0,3）,

VA（4,3）,B（0,3）,

所以，点E的坐标为（2,6）.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，一元二次方程的应

用，根据三角形面积得到一元二次方程是解题的关键.

心【典型例题二由反比例函数值求自变量】

A.—3B.3C.—8D.8

【答案】A

故选：A.

【答案】＞

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函

数的解析式是解题的关键.把各点代入反比例函数的解析式，达而可得出结论.

故答案为：＞.

【例3】（2425九年级上•安徽合肥,阶段练习）如图是一款可调节亮度的台灯，可通过调节台灯的电阻，控

制电流的变化实现亮度的调节.该台灯工作时电流/（单位：A）与电阻R（单位：是反比例函数关系.它

的图象如图所示.

⑴求这个反比例函数的解析式；

【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值.

0变式训练

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键.

根据反比例函数的图象特征逐一判断即可.

•.•函数在第一象限，

•••反比例函数图象关于原点中心对称，

所以A的横坐标是2,

所以4的纵坐标是2,

所以人的横坐标是4,

所以当的纵坐标是1,

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解

析式是解题的关键.

⑴求该反比例函数的表达式和点A的坐标；

（2）用的值为6

【分析】本题主要考查反比例函数的性质、平移的性质和解一元二次方程,

（1）根据待定系数法求得反比例函数解析式，将点代入即可求得

故阳的值为6

摩【典型例题三已知反比例函数的图象，判断其解析式】

【答案】A

【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等.根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到

本题答案.

・•・点B的横坐标等于点A的横坐标等于2,点8的纵坐标大于点A的纵坐标，

・•・符合条件的点8的横坐标为2,纵坐标大于1小于g即可，

【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键.

0变式训练

1.（2425九年级上,安徽马鞍山•期中）如图是某同学利用计算机软件绘制的某函数的图像，根据图像判断可

能是下列的哪一个函数（）

【分析】根据反比例函数的比例系数2的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线

与坐标轴围成的矩形的面积为伙I,据此即可得解.

•・•反比例函数的图像在第二、四象限，

【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数人的几何意义是解此题的关

键.

（1）这个反比例函数图像的另一支位于哪个象限？常数〃的取值范围是什么？

(2)-7

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题

的关键.

【详解】（1）解：图像的另一支位于第四象限；

（2）过A作x轴的垂线，垂足为C,如图.

即A点的纵坐标为2.

4.12025•安徽安庆・模拟预测）如图，矩形O48C的顶点A、C分别在），轴、工轴上，点Z?的坐标为（4,-2）,

反比例函数）=七（x>0）的图象经过A8的中点。，交BC于点E.

⑴求上的值；

（2）若尸是OC上一点，且AA所的面积为3,求直线E/的函数表达式.

【答案】（1）4

【分析】（1）求得线段A8的中点。的坐标，再利用待定系数法求出的值；

（2）先求得点E坐标，然后根据题意求得点尸坐标，利用待定系数法求直线）的解析式.

【详解】（1）解：•・•点4的坐标为（4,-2）,A3的中点为。，

・・・0（2,-2）,

•・•反比例函数（x>0）的图象经过43的中点。，

x

:.k=2x(-2)=-4,

故上的值为-4；

(4,-1),

连接4兄设接(〃?，0),

则。尸=〃?，CF=4-m,

,：Sf^OAEC=；(1+2)x4=6,AAFE的面积为3,

:・SAAFE=S^OAEC-SAAOF-%CEF=6-m-(2--w)=3,

2

解得机=2,

:,F(2,0),

设直线EF的解析式为y=at+b,

把E(4,-I),F(2,0)代入

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，求得£、产的

坐标是解题关键.

国I【典型例题四比较反比例函数值或自变量的大小】

【答案】D

【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系

数的关系是解题的关键.

根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

.•・函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随X的增大而减小，

二函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，

・•・函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内丁随x的增大而增大，

・•・函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内）'随X的增大而增大，

故选:D.

【答案】＜

【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可.

故答案为：＜.

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数图象在第二、四象限，再根据

反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而增大判断.

・•"，B在第二象限，

0变式训练

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键：

先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而减小，然后根据l的范闱，结合选项逐一判断A、B两

点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断.

，在每个象限内，y随x的增大而减小，

故选：B

【答案】＞

【分析】根据题意，确定反比例函数的解析式，利用性质解答即可.

本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键.

故答案为：＞.

【分析】本题考查了求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，解题的关键是正确掌握反比例

函数的图象与性质.利用待定系数法先求出左值，再根据反比例函数的图象与性质求解，即可解题.

二.反比例函数过二、四象限，且在各自象限内y随着“的增大而增大，

【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：

【答案】（1）5；

⑵

（3）4.

【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键.

（I）根据“纵横差”的定义求解即可;

综上所述，〃的值为4.

整【典型例题五已知反比例函数的增减性求参数】

【答案】B

故选:B.

【答案】3（答案不唯）

.•工的值可以是3（答案不唯一）.

故答案为：3（答案不唯一）.

⑴求女的最小整数值.

【答案】（1）上的最小整数值为0

（2）有交点，理由见解析

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例困数的图象与性质.

（2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可.

【详解】（1）解：•・•由题意，得

・•・/的最小整数值为0

（2）解：有交点，理由如下：

由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限；

颌变式训练

【答案】D

根据反比例函数的性质可知，函数图象在第•、三象限内，且在每个象限内，y随x的增大而减小，对选项

逐一进行分析，即可得到答案.

••・函数图象在第一、二象限内，且在每个象限内，随”的增大而减小，

••・选项结论错误，不符合题意；

••・选项结论错误，不符合题意；

二选项结论错误，不符合题意；

.,・选项结论正确，符合题意；

故选：D.

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】本题考查反比例函数的性质：反比例函数图象上点的坐标特征.就根据题意，结合反比例函数的

增减性，可得女的取值范围，即可解答.

则上的值可以是-3.

故答案为：-3(答案不唯一).

(1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键.

(2)将各个点的横坐标代入反比例函数解析式，再对比纵坐标即可；

・・•该反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限；

⑴求反比例函数的表达式；

(2)3

,：A为线段BC的中点，

随。的增大而增大，

.随X的增大而增大.

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求

反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数的性质，熟知函数的性质是解题的关键.

®【典型例题六由反比例函数图象的对称性求点的坐标】

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点

的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关

键.

【详解】解：•・•过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称,

故选:C.

(1)直接写出C点坐标_

(2)求反比例函数的解析式；

(2)根据(1)中A点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式.

【点睛】本题考杳了待定系数法求反比例函数的解析式及反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得出

。。的长是解题的关键.

0变式训练

【答案】C

••・过点。作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A,过点。作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交

于点

故选C.

⑴求k的值；

（2）直接写出点A的坐标;

【答案】（1）一6

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数

的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键.

（2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可；

【动手操作】

列表:

【探究发现】

（2）上述探究方法运用的数学思想是

A.整体思想

B.类比思想

C.分类讨论思想

【应用延伸】

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质.

探究发现：结合图象填空即可：

应用延伸：根据发现的规律填空即可.

【详解】解：动手操作

列表：

X・・・-6-5-4-3-212345•••

_2_222

,.・-1-21••・

~52~33253

描点、连线画出函数图象如图示:

故答案为：左，1;

(2)上述探究方法运用的数学思想是B.

故答案为：B；

应用延伸

故答案为：右平移2个单位长度：向下平移1个单位长度；

国I【典型例题七已知双曲线分布的象限，求参数范围】

【答案】D

选项D符合题意,

故选：D.

（1）判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出用的取值范围.

【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质.

（2）根据反比例函数的增减性即可求解.

【详解】（1）解：该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限.

•・•该反比例函数图象在第一、三象限，

（2）解：•・•该反比例函数图象在第一、三象限，

・•・在每一个象限内，随x的增大而减小.

0变式训练

由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧,

«＜（）,

故选：D.

【答案】1

【详解】解：由题意得

;图象在第一象限，

•・•A是整数,

(1)冽的取值范围为「画出图象另一支的示意图；

(2)见解析

【分析】本题考杳反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键：

(1)根据反比例函数图象所在的象限，判断"的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可;

【详解】(1)解：由图象可知，反比例函数图象过笫二象限，则另一支在第四象限，

画图如下：

y随x的增大而增大,

⑴求反比例函数的关系式;

(2)若矩形的面积是12,求点E的坐标.

(3)直接写出当x>4时，)，的取值范围

(3)先求出当广4时的反比例函数值，然后再根据函数图像即可解答.

(2)解：设线段A6,线段8的长度为小,

【点睛】本题主要考查了勾股定理、反比例函数的应用、根据函数图像求函数值的取值范围等知识点，求

得函数解析式是解答本题的关键.

以【典型例题八求反比例函数解析式】

【例1】（2425九年级上•安徽池州•阶段练习）已知变量小），满足下面的关系如表所示，则x、y之间用关系

式表示为（）

X••・-3-2-1123•・・

y・・,11.53-3-1・・・

【答案】A

【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，即图象上点的横纵坐标的乘积为一定值.

观察上表格，由工、y的关系可求得其满足反比例关系，再由待定系数法即可得出解析式.

故选：A

【例2】（2025・安徽安庆・模拟预测）物理学中：欧姆定律可得，电流（/）和电阻（R）成反比，由下表可得,

当电流（/）为30安培时，其电压（。）为伏特.

实验①实验②实验③实验④实验⑤

6A5A1A

I0Q4c

A.30B.120C.4D.以上都不对

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键.

由图中给出的数据，代入函数解析式进行计算即可.

【详解】解：・・•电流（/）和电阻（R）成反比，

由表中的数据可得，当电流⑺为30安培时，电阻（火）的值为4C，

故选：B.

A

B

Ox

(1)求点A的坐标及k的值;

(2)9

【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键.

(1)运用待定系数法求解即可;

如图,过点8作>轴的垂线，垂足为C,BC交OA于点D,

C.16D.-16

故选:D.

【答案】＜

・•・函数图象分布在二四象限，且在每个象限），随工的增大而增大,

故答案为：＜.

（2）求点8的坐标.

【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，二元一次方程组求交点的坐标，掌握以上知识是关键

（2）联立正比例函数，反比例函数得到一元一次方程组，由此即可求解.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点专标满足两个函数解析式，二次函数的图象

性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答.

国.【典型例题九一次函数与反比例函数的交点问题】

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键.写出反比例函数图象在

一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可.

故选：A.

【答案】B

故选：B.

【答案】6

故答案为：6.

0变式训练

（1）求反比例函数的表达式；

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键.

（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；

⑴求反比例函数的表达式.

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数表达式等知识，解题关键是会用待定系数

法求函数表达式.

【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数的图象和性质等知识，正确求出函数

解析式是关键.

(1)利用借助已知点的坐标利用待定系数法解答即可；

(2)根据/的取值范围，利用反比例函数的性质进行解答即可.

(1)求直线48的表达式.

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，勾股定理，熟知相关知

识是解题的关键.

图1

摩【典型例题十反比例函数、二次函数图象综合判断】

【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出女是负数，然后根据二次

函数的开口方向、对称轴、与），知的交点坐标确定出函数图象，从而得解.

【详解】解：•・•反比例函数图象位于第二、四象限，

・•・二次函数图象开口向上，

・♦•二次函数图象与y轴的交点在）:轴负半轴，

，对称轴在y轴左边，

纵观各选项，只有A选项符合.

故选：A.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

・•・由函数图象可知，两个函数在第三象限一定有2个交点，在第一象限有1个交点，

・••两个函数一共有3个交点，

【答案】二

故答案为：二

0变式训练

(2)若点5在入轴的负半轴上，试确定k的取值范围：

(4)直接写出攵的值，使。，尸两点间的距离为1.

①当6在x轴的负半轴时，

②当5在x轴的正半轴时，

(4)V0,一两点间的距离为1.

【点睛】此题是二次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、

反比例函数的图象和性质、一元二次方程的解法等知识，分类诃论和数形结合是解题的关键.

⑴列表：

X-7-6-5-4-3-2-101一934

633

y1232102n0

522

解析式中的小=，表格中的〃=

(2)描点，连线：

请画出函数图象；

y

（3）分析图象：根据函数图象，写出函数的一-条性质：

（4）拓展研究：

3

【答案】（1）-6,1

⑵见解析

（3）该函数有最大值3（答案不唯一）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先描点，然后连线即可；

（3）根据（2）中所画函数图象进行求解即可；

（4）根据函数图象进行求解即可.

3

故答案为：-6,—：

（2）解：如图所示，即为所求；

（3）解：由函数图象可知，该函数有最大值3；

故答案为：该函数有最大值3（答案不唯一）；

故答案为：3；

【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数综合，正确画出对应的函数图象是解题的关键.

⑴求这两个函数的表达式；

【分析】（1）利用待定系数法即可求解.

（2）利用函数的性质结合图象即可求解.

即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，

【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比

例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键.

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是）'轴;

③该函数图象与坐标轴只有一个交点；

【分析】（1）分别代入x求y.

（2）观察图象，逐条分析判断即可.

（3）根据图象及不等式分类讨论工＞0与xVO解集.

99

故填：一三，-

JJ

补全图象.

（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；

③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；

故答案为：②③④；

【点睛】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式.

【典型例题十——次函数与反比例函数的综合实际应用】

【答案】A

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由&的取值确定函数所在的

象限.因为k的符号不确定，所以应根据攵的符号及一次函数与反比例函数的特点解答.

故选：A.

故答案为：13.

⑴求反比例函数的表达式：

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数

的表达式，函数与不等式的关系，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题和利用数形结合解决问题是

解题的关键.

(1)先求出点"的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；

(2)两个解析式联立，解方程组求得A的坐标，然后观察函数图象即可求解.

0变式训练

(1)求双曲线的表达式;

(2)4

【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合:

（2）解：•.•点B在第一象限且到,，轴距离为12,

.••点3的横坐标为12.

⑴求儿网的值.

（2）2

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐

标是解题的关键.

（1）把点A代入正比例函数、反比例函数关系式可求出从心的值；

图1图2

⑴求反比例函数的解析式；

（2）8

【分析】（1）首先确定点。坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可;

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定

与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合

的思想分析问题.

国【典型例题十二与反比例函数有关的规律有关的探究问题】

4

【分析】根据题意，-=4即产士，且3>0,根据解析式，确定函数的图像即可.

x

4

xy=4即产一,且x>0,

■x

故选B.

【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，熟练掌握解析式及其图像是解题的关键.

（1）完成下表

>1>2为

_3

-2

【答案】（1）见解析

⑵T

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，求反比例函数值:

（2）由（1）计算的结果，发现循环规律，由此求力）04即可.

填表如下:

>1必当汽X

313

22

232

故答案为：

0变式训练

（1）完成下表:

)2%

_4

~3

(2)根据上表的规律，猜想为36的值为.

【答案】(1)见解析

(2)-7

4

【分析】本题考查求反比例函数的函数值，数字类规律探究：

(1)根据题意，将自变量的值代入函数解析式，求出函数值，二真写表格即可；

4|

(2)由(1)中表格可知，函数值以-彳，3,三个数为一组进行循环，进而求出y刈6即可.

34

填表如下：

52>3X

414

33

343

4I

(2)由表格可知：函数值以一彳'3'-了三个数为一组进行循环,

频率/(MHz)10152025

波长2(m)30201512

(1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个函数能反映波长入与频率/的变化规律？并求出4与/的

函数解析式；

⑵波长至少是6米.

【分析】本题考杳了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值，反比例函数的性质等知识，利用待

定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键.

・••反比例函数能反映波长4与频率/的变化规律，

答：波长至少是6米.

如果有一道数学综合题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过

适当安排，老师可否在学生注意力达到较为理想的稳定状态下讲解完这道题目？

你的结论是一(填写“可以”或“不可以”〉，

理由是_（请通过你计算所得的数据说明理由）.

【答案】可以，理由见解析

【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，分别求出直线48和曲线CO的解析式，再分

别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能.

【详解】解：可以，理由如下：

・••经过适当安排，老师可以在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

4.（2025.安徽.模拟预测）已知自变量工与因变量》的对应关系如表呈现的规律：

X•••-2-1012•••

••••••

yi12111098

⑴直接写出函数W表达式；

（2）设反比例函数\，2=七（00）的图象与（I）求得的函数的图象交于4、B两点,O为坐标原点且

x

=20.求反比例函数表达式.

【分析】（1）根据表格可发现“与凹的关系，进而问题可求解；

（2）解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C和。，如图所示：

：・0M=0N=\3

•・•点A、8都在反比例函数图象上，

【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一次函数

与反比例函数的综合及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

过关检测

1.(2425九年级•全国•单元测试)己知一个三角形的面积为4,一边长为x,这条边上的高为y,则y关于x

的变化规律用图象表示大致是()

【答案】C

1Q

【分析】由△ABC的面积及•边长为x,这边上的高为y可得关系式，即4=；xy,y:一(