2025-2026年天津市北师大版高一数学第二章指数函数练习题

2025-2026年天津市北师大版高一数学第二章指数函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.某城市人口在2025年达到100万，预计此后每年人口增长率保持6%不变，则该城市人口数量y（单位：万人）与年数x（2025年为第0年）的函数关系式为（）A.y=100(1+6%)^xB.y=100(1-6%)^xC.y=100(1+0.06)^xD.y=100(1-0.06)^x解析：指数函数模型适用于描述增长率固定的复利增长或衰减问题。题中人口每年增长6%，属于复利增长，故底数为1+6%=1.06，初始值为100万，故函数关系式为y=100(1+0.06)^x。选项A底数错误，选项B为衰减模型，选项C正确，选项D为衰减模型且底数错误。2.函数f(x)=3^(-x)的图像大致形状为（）A.在第一象限内单调递增B.在第一象限内单调递减C.在第二象限内单调递增D.在第二象限内单调递减解析：指数函数f(x)=a^x（a>1）的图像始终位于第一象限，且当0<a<1时函数单调递减，当a>1时函数单调递增。题中底数3>1，故图像在第一象限内单调递减，选项B正确。3.若f(x)=2^x是增函数，则实数m的取值范围满足（）A.m>1B.m<1C.m>0D.m<0解析：指数函数f(x)=a^x的单调性与底数a的取值有关。当a>1时函数单调递增，当0<a<1时函数单调递减。题中f(x)=2^x是增函数，故底数2>1，选项C正确。4.函数y=0.5^x的图像与y=2^(-x)的图像的关系是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x对称解析：指数函数y=a^x与y=a^(-x)的图像关于y轴对称。题中y=0.5^x与y=2^(-x)的底数互为倒数（0.5=2^(-1)），故两图像关于y轴对称，选项B正确。5.若a^x>b^x（a>0,b>0且a≠1,b≠1），则下列结论一定成立的是（）A.a>bB.a<bC.x>0D.x<0解析：对于底数不同的指数函数，若指数相同则比较底数，若底数相同则比较指数。题中a^x>b^x，但未指明x的正负，故无法直接比较a与b的大小。选项C正确，因为当x>0时，底数较大的指数函数值较大。6.函数f(x)=3^x+1的图像可以由函数y=3^x的图像（）A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位解析：函数y=f(x)=g(x)+k的图像是将函数y=g(x)的图像整体向上平移k个单位。题中f(x)=3^x+1是将3^x的图像向上平移1个单位，选项C正确。7.若f(x)=a^x在x∈[1,2]上的值域为[2,8]，则实数a的值为（）A.2B.4C.2或4D.2或1/2解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[1,2]上的值域为[a,a^2]。题中值域为[2,8]，故a=2且a^2=8，解得a=2或a=-2（舍去），选项A正确。8.函数y=2^x与y=3^x的图像的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.无数个解析：令2^x=3^x，即ln(2^x)=ln(3^x)，得xln2=xln3，若x≠0则ln2=ln3（矛盾），故唯一解为x=0，即两图像在原点相交，选项B正确。9.若函数f(x)=a^x+bx在x=0时的值为3，且在x=1时的值为5，则实数a和b的值分别为（）A.a=2,b=1B.a=3,b=2C.a=1,b=2D.a=2,b=2解析：由f(0)=a^0+b•0=3，得a=3。由f(1)=a^1+b•1=5，得3+b=5，解得b=2，选项B正确。10.函数y=3^x的图像与直线y=x的交点坐标为（）A.(1,1)B.(0,1)C.(1,0)D.(0,0)解析：令3^x=x，即x=3^x，解得x=1（当x=0时3^0=1≠0），故交点为(1,1)，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若f(x)=2^x-1，则f(2)-f(1)的值为________。参考答案：3解析：f(2)=2^2-1=3，f(1)=2^1-1=1，故f(2)-f(1)=3-1=3。2.函数y=0.7^x的单调递减区间为________。参考答案：(0,+∞)解析：指数函数y=a^x（0<a<1）在R上单调递减，故y=0.7^x的单调递减区间为(0,+∞)。3.若f(x)=a^x在x=2时的值为4，则a的值为________。参考答案：2解析：f(2)=a^2=4，解得a=±2，因指数函数底数必须为正，故a=2。4.函数y=2^x+1的值域为________。参考答案：(1,+∞)解析：指数函数y=2^x的值域为(0,+∞)，故y=2^x+1的值域为(1,+∞)。5.若f(x)=a^x+b在x=1时的值为3，且在x=-1时的值为1/3，则a和b的值分别为________和________。参考答案：a=2,b=1解析：f(1)=a+b=3，f(-1)=a^(-1)+b=1/3，解得a=2,b=1。6.函数y=3^x的图像关于点(1,3)对称的函数解析式为________。参考答案：y=9^x解析：指数函数y=a^x的图像关于点(1,a)对称，故y=3^x的图像关于点(1,3)对称的函数为y=3^(x-1+1)=3^x=9^x。7.若f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[1,3]，则a的取值范围是________。参考答案：a∈(1,+∞)解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[a,a^1]，题中值域为[1,3]，故a>1且a=3，所以a∈(1,+∞)。8.函数y=2^x与y=3^x的图像在第一象限内相切，切点的横坐标为________。参考答案：ln(3/2)/ln(3/2)解析：两图像相切即存在唯一x₀使2^x₀=3^x₀，且导数相等，解得x₀=ln(3/2)/ln(3/2)。9.若f(x)=a^x+c在x=1时的值为5，且在x=2时的值为10，则a和c的值分别为________和________。参考答案：a=√5,c=5解析：f(1)=a+c=5，f(2)=a^2+c=10，解得a=√5,c=5。10.函数y=2^x的图像上一点P(x₀,y₀)，P关于原点对称的点Q的轨迹方程为________。参考答案：y=-2^(-x)解析：点Q的坐标为(-x₀,-y₀)，因y₀=2^x₀，故Q(-x,-2^(-x))，轨迹方程为y=-2^(-x)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若a^m=a^n（a>0,a≠1），则m=n。参考答案：×解析：指数函数是单调函数，故若a>0,a≠1则a^m=a^n⇒m=n，但题中未指明a≠1，故错误。2.函数y=3^(-x)的图像与y=3^x的图像关于x轴对称。参考答案：×解析：指数函数y=a^x与y=a^(-x)的图像关于y轴对称，故y=3^(-x)与y=3^x的图像关于y轴对称，错误。3.若f(x)=a^x是增函数，则f(x)的值域为(0,+∞)。参考答案：√解析：指数函数f(x)=a^x（a>1）的值域为(0,+∞)，正确。4.函数y=2^x+1的图像可以由y=2^x的图像向下平移1个单位得到。参考答案：×解析：函数y=f(x)=g(x)+k的图像是将y=g(x)的图像整体向上平移k个单位，故y=2^x+1是将y=2^x的图像向上平移1个单位，错误。5.若f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[1,3]，则a=3。参考答案：√解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[a,a^1]，题中值域为[1,3]，故a=3，正确。6.函数y=0.5^x的图像与y=2^(-x)的图像完全重合。参考答案：√解析：y=0.5^x=2^(-x)，两图像完全重合，正确。7.函数y=2^x的图像上任意一点P(x₀,y₀)，P关于y轴对称的点Q的轨迹方程为y=2^(-x)。参考答案：×解析：点Q的坐标为(-x₀,y₀)，因y₀=2^x₀，故Q(-x,2^x)，轨迹方程为y=2^x，错误。8.若f(x)=a^x+b在x=0时的值为1，且在x=1时的值为3，则a+b=4。参考答案：√解析：f(0)=a^0+b=1⇒b=1，f(1)=a+b=3⇒a=2，故a+b=4，正确。9.函数y=3^x的图像与直线y=x的交点在第四象限。参考答案：×解析：令3^x=x，解得x=1（当x=0时3^0=1≠0），交点为(1,1)，在第一象限，错误。10.若f(x)=a^x在x∈[1,2]上的值域为[2,8]，则f(x)在x∈[2,3]上的值域为[4,16]。参考答案：√解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[k,k+1]上的值域为[a^(k),a^(k+1)]，题中a=2，故f(x)在x∈[2,3]上的值域为[2^2,2^3]=[4,8]，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.某城市人口在2025年达到100万，预计此后每年人口增长率保持6%不变，写出该城市人口数量y（单位：万人）与年数x（2025年为第0年）的函数关系式，并求2028年的人口数量。参考答案：y=100(1+0.06)^x，2028年即x=3，y=100(1.06)^3≈119.1万人。2.函数f(x)=2^x的图像经过点A(1,2)，若将f(x)的图像向下平移2个单位，得到函数g(x)，求g(x)的解析式及g(x)的图像经过的定点。参考答案：g(x)=2^x-2，图像经过定点(0,-1)。3.若f(x)=a^x+b在x=1时的值为3，且在x=2时的值为5，求a和b的值。参考答案：a=2,b=1。4.函数y=3^x的图像与直线y=x的交点坐标是什么？参考答案：(1,1)。5.函数y=0.5^x的单调性如何？其值域是什么？参考答案：单调递减，值域为(0,+∞)。6.函数y=2^x+1的图像与y=2^x的图像有什么关系？参考答案：y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。7.若f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[1,3]，求a的取值范围。参考答案：a∈(1,+∞)。8.函数y=2^x的图像上一点P(x₀,y₀)，P关于原点对称的点Q的轨迹方程是什么？参考答案：y=-2^(-x)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某产品的成本原价为100元，计划每年提价10%，写出该产品价格y（单位：元）与年数x（0年即原价）的函数关系式，并求5年后的价格。参考答案：y=100(1+0.1)^x，5年后即x=5，y=100(1.1)^5≈161.05元。2.函数f(x)=3^x的图像与直线y=2x+1相交，求交点坐标。参考答案：令3^x=2x+1，解得x≈0.5，交点坐标约为(0.5,1.5)。3.函数y=2^x的图像上一点P(x₀,2^x₀)，P关于y轴对称的点Q的轨迹方程是什么？参考答案：y=2^(-x)。4.若f(x)=a^x+b在x=0时的值为2，且在x=1时的值为4，求a和b的值。参考答案：a=2,b=1。5.函数y=3^x的图像与直线y=x的交点在哪个象限？参考答案：第一象限。6.函数y=0.5^x的单调递减区间是什么？参考答案：(0,+∞)。7.函数y=2^x+1的图像与y=2^x的图像有什么关系？参考答案：y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。8.函数y=3^x的图像上一点P(x₀,y₀)，P关于原点对称的点Q的轨迹方程是什么？参考答案：y=-3^(-x)。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某放射性物质的质量随时间衰减，初始质量为100克，半衰期为10年，写出该物质质量y（单位：克）与时间x（单位：年）的函数关系式。参考答案：y=100(1/2)^(x/10)。2.函数f(x)=2^x的图像经过点A(1,2)，若将f(x)的图像向上平移3个单位，得到函数g(x)，求g(x)的解析式及g(x)的图像经过的定点。参考答案：g(x)=2^x+3，图像经过定点(0,4)。3.若f(x)=a^x+b在x=1时的值为3，且在x=2时的值为5，求a和b的值。参考答案：a=2,b=1。4.函数y=3^x的图像与直线y=x的交点坐标是什么？参考答案：(1,1)。5.函数y=0.5^x的单调性如何？其值域是什么？参考答案：单调递减，值域为(0,+∞)。6.函数y=2^x+1的图像与y=2^x的图像有什么关系？参考答案：y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。7.若f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[1,3]，求a的取值范围。参考答案：a∈(1,+∞)。8.函数y=2^x的图像上一点P(x₀,y₀)，P关于原点对称的点Q的轨迹方程是什么？参考答案：y=-2^(-x)。9.某产品的成本原价为100元，计划每年提价10%，写出该产品价格y（单位：元）与年数x（0年即原价）的函数关系式，并求3年后的价格。参考答案：y=100(1+0.1)^x，3年后即x=3，y=100(1.1)^3≈133.1元。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述指数函数y=a^x的单调性与底数a的关系。参考答案：当a>1时，指数函数y=a^x在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数y=a^x在R上单调递减。2.说明指数函数y=a^x的图像有哪些基本性质。参考答案：①值域为(0,+∞)；②过定点(0,1)；③当a>1时图像在第一象限单调递增，当0<a<1时图像在第一象限单调递减；④图像关于y轴对称（当a=1或a=-1时）；⑤若a=b^-1则两图像关于y轴对称。3.比较指数函数y=a^x与y=b^x（a≠b）的图像关系。参考答案：若a>b>0，则y=a^x的图像在y=b^x图像上方；若0<b<a，则y=b^x的图像在y=a^x图像上方；若a>1,b<1，则两图像在第一象限相交；若a<1,b>1，则两图像在第一象限相交。4.举例说明指数函数在实际生活中的应用。参考答案：①人口增长模型y=y₀(1+r)^x；②放射性物质衰减模型y=y₀(1/2)^(x/t)；③复利计算模型A=P(1+r)^t；④细菌繁殖模型N=N₀(2)^t。5.分析指数函数y=a^x+b与y=a^x的图像关系。参考答案：y=a^x+b的图像是y=a^x的图像整体向上平移b个单位（当b>0时）或向下平移|b|个单位（当b<0时）。6.证明指数函数y=a^x（a>1）在R上严格单调递增。证明：任取x₁<x₂，则a^x₁/a^x₂=a^(x₁-x₂)<1⇒a^x₁<a^x₂，故y=a^x在R上严格单调递增。7.讨论指数函数y=a^x与直线y=x的交点个数。参考答案：当a>1时，两图像在第一象限相切，有1个交点；当0<a<1时，两图像在第四象限相切，有1个交点；当a=1时，两图像无交点。8.说明指数函数y=a^x的图像经过哪些定点。参考答案：①当x=0时，y=a^0=1，图像经过定点(0,1)；②当x=1时，y=a^1=a，图像经过定点(1,a)；③当x=-1时，y=a^(-1)=1/a，图像经过定点(-1,1/a)。9.分析指数函数y=a^x+c与y=a^x的图像关系。参考答案：y=a^x+c的图像是y=a^x的图像整体向上平移c个单位（当c>0时）或向下平移|c|个单位（当c<0时）。10.举例说明指数函数模型在经济学中的应用。参考答案：①GDP增长模型y=y₀(1+g)^x；②股票价值模型P=P₀(1+r)^x；③通货膨胀模型P=P₀(1+i)^x；④人口政策调整模型y=y₀(1+r)^x。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.B5.C6.C7.A8.B9.B10.A解析：1.复利增长模型；2.指数函数单调性；3.指数函数单调性；4.指数函数对称性；5.指数函数比较；6.函数平移；7.指数函数值域；8.指数函数交点；9.函数参数求解；10.指数函数交点。二、填空题1.312.(0,+∞)13.214.(1,+∞)15.2,116.9^x17.a∈(1,+∞)18.ln(3/2)/ln(3/2)19.√5,520.y=-2^(-x)解析：11.指数函数值计算；12.指数函数单调性；13.指数函数值计算；14.指数函数值域；15.函数参数求解；16.函数对称性；17.指数函数值域；18.指数函数相切；19.函数参数求解；20.函数对称性。三、判断题1.×22.×23.√24.×25.√26.√27.×28.√29.×30.√解析：21.指数函数性质；22.指数函数对称性；23.指数函数单调性；24.函数平移；25.指数函数值域；26.指数函数相等；27.函数对称性；28.函数参数求解；29.指数函数交点；30.指数函数值域。四、简答题1.y=100(1+0.06)^x，2028年即x=3，y=100(1.06)^3≈119.1万人。解析：指数函数模型，y=y₀(1+r)^x，代入y₀=100,r=0.06,x=3计算。2.g(x)=2^x-2，图像经过定点(0,-1)。解析：函数平移，y=f(x)向下平移k个单位得y=f(x)-k，故g(x)=2^x-2，图像过(0,2-2)即(0,-1)。3.a=2,b=1。解析：f(1)=a+b=3，f(2)=a^2+b=5，联立方程解得a=2,b=1。4.(1,1)。解析：令3^x=x，解得x=1（当x=0时3^0=1≠0），交点为(1,1)。5.单调递减，值域为(0,+∞)。解析：指数函数y=a^x（0<a<1）在R上单调递减，值域为(0,+∞)。6.y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。解析：函数平移，y=f(x)+k的图像是y=f(x)的图像整体向上平移k个单位。7.a∈(1,+∞)。解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[a,a^1]，题中值域为[1,3]，故a>1且a=3，所以a∈(1,+∞)。8.y=-2^(-x)。解析：点P(x₀,y₀)关于原点对称的点Q的坐标为(-x₀,-y₀)，因y₀=2^x₀，故Q(-x,-2^(-x))，轨迹方程为y=-2^(-x)。五、应用题1.y=100(1+0.1)^x，5年后即x=5，y=100(1.1)^5≈161.05元。解析：指数增长模型，y=y₀(1+r)^x，代入y₀=100,r=0.1,x=5计算。2.令3^x=2x+1，解得x≈0.5，交点坐标约为(0.5,1.5)。解析：方程求解，可用图像法或数值法近似解得x≈0.5，代入3^x≈1.5。3.y=2^(-x)。解析：点P(x₀,y₀)关于y轴对称的点Q的坐标为(-x₀,y₀)，因y₀=2^x₀，故Q(-x,2^x)，轨迹方程为y=2^(-x)。4.a=2,b=1。解析：f(0)=a^0+b=2⇒b=1，f(1)=a+b=4⇒a=3，联立方程解得a=2,b=1。5.第一象限。解析：令3^x=x，解得x=1（当x=0时3^0=1≠0），交点为(1,1)，在第一象限。6.(0,+∞)。解析：指数函数y=a^x（0<a<1）在R上单调递减。7.y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。解析：函数平移，y=f(x)+k的图像是y=f(x)的图像整体向上平移k个单位。8.y=-3^(-x)。解析：点P(x₀,y₀)关于原点对称的点Q的坐标为(-x₀,-y₀)，因y₀=3^x₀，故Q(-x,-3^(-x))，轨迹方程为y=-3^(-x)。六、案例分析题1.y=100(1/2)^(x/10)。解析：半衰期模型，y=y₀(1/2)^(x/t)，代入y₀=100,t=10计算。2.g(x)=2^x+3，图像经过定点(0,4)。解析：函数平移，y=f(x)+k的图像是y=f(x)的图像整体向上平移k个单位，故g(x)=2^x+3，图像过(0,2+3)即(0,4)。3.a=2,b=1。解析：f(1)=a+b=3⇒b=1，f(2)=a^2+b=5⇒a=2，联立方程解得a=2,b=1。4.(1,1)。解析：令3^x=x，解得x=1（当x=0时3^0=1≠0），交点为(1,1)。5.单调递减，值域为(0,+∞)。解析：指数函数y=a^x（0<a<1）在R上单调递减，值域为(0,+∞)。6.y=2^x+1的图像是y=2^x的图像向上平移1个单位。解析：函数平移，y=f(x)+k的图像是y=f(x)的图像整体向上平移k个单位。7.a∈(1,+∞)。解析：指数函数f(x)=a^x在x∈[0,1]上的值域为[a,a^1]，题中值域为[1,3]，故a>1且a=3，所以a∈(1,+∞)。8.y=-2^(-x)。解析：点P(x₀,y₀)关于原点对称的点Q的坐标为(-x₀,-y₀)，因y₀=2^x₀，故Q(-x,-2^(-x))，轨迹方程为y=-2^(-x)。9.y=100(1+0.1)^x，3年后即x=3，y=100(1.1)^3≈133.1元。解析：指数增长模型，y=y₀(1+r)^x，代入y₀=100,r=0.1,x=3计算。七、论述题1.当a>1时，指数函数y=a^x在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数y=a^x在R上单调递减。解析：任取x₁<x₂，若a>1则a^x₁/a^x₂=a^(x₁-x₂)<1⇒a^x₁<a^x₂，若0<a<1则a^x₁/a^x₂=a^(x₁-x₂)>1⇒a^x₁>a^x₂，故单调性与底数a的正负有关。2.指数函数y=a^x的基本性质：①值域为(0,+∞)；②过定点(0,1)；③当a>1时图像在第一象限单调递增，当0<a<1时图像在第一象限单调递减；④图像关于y轴对称（当a=1或a=-1时）；⑤若a=b^-1则两图像关于y轴对称。解析：指数函数是初等函数的基本类型，具有上述基本性质，这些性质决定了指数函数的图像特征和函数性质。3.指数函数y=a^x与y=b^x（a≠b）的图像关系：若a>b>0，则y=