2026年整式加减中的说理题专题训练及答案

2026年整式加减中的说理题专题训练及答案1.已知代数式A=3x²y-2xy²+5x³，B=-x³+4xy²-7x²y，C=2x³-3x²y+xy²。（1）计算A+B-C，并说明每一步运算的依据；（2）若x=2，y=-1，小明认为不需要化简A+B-C，直接代入计算更简便，小红认为先化简再代入更简便。请判断谁的说法正确，并说明理由。答案：（1）A+B-C=(3x²y-2xy²+5x³)+(-x³+4xy²-7x²y)-(2x³-3x²y+xy²)。第一步去括号，依据是去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号后各项符号不变；括号前是“-”号，去掉括号后各项符号改变。展开后为3x²y-2xy²+5x³-x³+4xy²-7x²y-2x³+3x²y-xy²。第二步合并同类项，依据是乘法分配律的逆用（即ac+bc=(a+b)c），将同类项的系数相加，字母和指数保持不变。其中x³项：5x³-x³-2x³=(5-1-2)x³=2x³；x²y项：3x²y-7x²y+3x²y=(3-7+3)x²y=-1x²y；xy²项：-2xy²+4xy²-xy²=(-2+4-1)xy²=1xy²。因此A+B-C=2x³-x²y+xy²。（2）小红的说法正确。理由：化简后的代数式为2x³-x²y+xy²，仅含3项；若直接代入原式A+B-C，需分别计算A、B、C的值再相加减，涉及3个代数式共9项的计算（A有3项，B有3项，C有3项）。化简后减少了计算项数，降低了出错概率。例如，当x=2，y=-1时，化简后代入：2×2³-2²×(-1)+2×(-1)²=2×8-4×(-1)+2×1=16+4+2=22；若直接代入原式，A=3×2²×(-1)-2×2×(-1)²+5×2³=3×4×(-1)-2×2×1+5×8=-12-4+40=24；B=-2³+4×2×(-1)²-7×2²×(-1)=-8+4×2×1-7×4×(-1)=-8+8+28=28；C=2×2³-3×2²×(-1)+2×(-1)²=2×8-3×4×(-1)+2×1=16+12+2=30；则A+B-C=24+28-30=22，结果相同但步骤更多，因此先化简更简便。2.某数学兴趣小组在探究整式加减时，提出问题：“对于任意有理数a，代数式(3a²-5a+2)-(-2a²+4a-1)-(5a²-9a+3)的值是否为定值？”（1）请通过计算说明该代数式是否为定值；（2）若将代数式中的“-(-2a²+4a-1)”改为“+(-2a²+4a-1)”，则新代数式的值是否仍为定值？请说明理由。答案：（1）原式=3a²-5a+2+2a²-4a+1-5a²+9a-3（去括号，依据去括号法则）。合并同类项：3a²+2a²-5a²=(3+2-5)a²=0a²；-5a-4a+9a=(-5-4+9)a=0a；2+1-3=0。因此原式=0，对于任意有理数a，值恒为0，是定值。（2）新代数式为(3a²-5a+2)+(-2a²+4a-1)-(5a²-9a+3)。去括号得3a²-5a+2-2a²+4a-1-5a²+9a-3（去括号法则：“+”号去括号不改变符号，“-”号去括号改变符号）。合并同类项：3a²-2a²-5a²=(3-2-5)a²=-4a²；-5a+4a+9a=(-5+4+9)a=8a；2-1-3=-2。因此新代数式=-4a²+8a-2，其值随a的变化而变化（如a=0时，值为-2；a=1时，值为-4+8-2=2），故不是定值。3.已知多项式M=2x²+ax-y+6，N=bx²-3x+5y-1，且M-N的值与x的取值无关。（1）求a、b的值；（2）若|a+2|+(b-3)²=0，判断（1）中结论是否成立，并说明理由。答案：（1）M-N=(2x²+ax-y+6)-(bx²-3x+5y-1)=2x²+ax-y+6-bx²+3x-5y+1（去括号法则）。合并同类项得(2-b)x²+(a+3)x+(-y-5y)+(6+1)=(2-b)x²+(a+3)x-6y+7。因为M-N的值与x的取值无关，所以含x的项系数必须为0（若系数不为0，x取值变化会导致整个代数式值变化）。因此2-b=0，a+3=0，解得b=2，a=-3。（2）若|a+2|+(b-3)²=0，由于绝对值和平方数均非负，故a+2=0且b-3=0，即a=-2，b=3。此时M-N=(2-3)x²+(-2+3)x-6y+7=-x²+x-6y+7，含x²和x项，系数分别为-1和1（均不为0），因此M-N的值随x的变化而变化（如x=1时，值为-1+1-6y+7=7-6y；x=2时，值为-4+2-6y+7=5-6y，与x=1时值不同），故（1）中结论不成立。4.某商店销售两种笔记本，A款单价为x元，B款单价为y元。五一促销活动中，A款打8折，B款打9折。活动第一天卖出A款a本，B款b本；第二天卖出A款2a本，B款0.5b本（b为偶数）。（1）用整式表示这两天销售的总金额，并化简；（2）店员小吴说：“若x=2y，则两天总金额相当于A款按原价卖出3a本，B款按原价卖出1.4b本的总金额。”请判断小吴的说法是否正确，并说明理由。答案：（1）第一天销售额：0.8x·a+0.9y·b=0.8ax+0.9by；第二天销售额：0.8x·2a+0.9y·0.5b=1.6ax+0.45by。两天总金额=0.8ax+0.9by+1.6ax+0.45by=（0.8ax+1.6ax）+（0.9by+0.45by）=2.4ax+1.35by（合并同类项，依据乘法分配律）。（2）当x=2y时，总金额=2.4a·2y+1.35by=4.8ay+1.35by。A款原价卖出3a本的金额为3a·x=3a·2y=6ay；B款原价卖出1.4b本的金额为1.4b·y=1.4by。两者总金额=6ay+1.4by。比较4.8ay+1.35by与6ay+1.4by：4.8ay+1.35by=（4.8a+1.35b）y，6ay+1.4by=（6a+1.4b）y。若两者相等，则4.8a+1.35b=6a+1.4b，即-1.2a=0.05b，即24a=-b。但a、b表示销售数量，应为正整数，24a=-b不成立（左边为正，右边为负），因此小吴的说法错误。5.探究题：已知三个整式P=2m²-3mn+n²，Q=m²+4mn-2n²，R=-3m²+mn+3n²。（1）计算P+Q+R，并观察结果的特点；（2）小慧提出：“无论m、n取何值，P+Q+R的值都是非负数。”请判断小慧的说法是否正确，并说明理由；（3）若将R改为km²+mn+3n²（k为常数），使得P+Q+R的值与m无关，求k的值。答案：（1）P+Q+R=(2m²-3mn+n²)+(m²+4mn-2n²)+(-3m²+mn+3n²)。去括号后合并同类项：2m²+m²-3m²=0m²；-3mn+4mn+mn=2mn；n²-2n²+3n²=2n²。因此P+Q+R=2mn+2n²=2n(m+n)。（2）小慧的说法错误。理由：P+Q+R=2n(m+n)，其值的符号由n和(m+n)共同决定。例如，当n=-1，m=0时，2×(-1)×(0+(-1))=2×(-1)×(-1)=2（非负）；当n=-1，m=2时，2×(-1)×(2+(-1))=2×(-1)×1=-2（负数），因此存在m、n取值使P+Q+R为负数，故小慧的说法不成立。（3）修改后R=km²+mn+3n²，则P+Q+R=(2m²-3mn+n²)+(m²+4mn-2n²)+(km²+mn+3n²)=(2+1+k)m²+(-3+4+1)mn+(1-2+3)n²=(3+k)m²+2mn+2n²。要使其值与m无关，则含m的项系数必须为0，即3+k=0，解得k=-3。6.综合应用题：某小区计划在中心广场铺设两种地砖，白色地砖为正方形，边长为a米；灰色地砖为长方形，长为b米，宽为a米。铺设方案如下：中间用白色地砖铺一个边长为3a的正方形区域，四周用灰色地砖围边，围边的宽度为a米（即从中间正方形的边缘到整个铺设区域的边缘距离为a米）。（1）用整式表示整个铺设区域的面积（白色地砖区域+灰色地砖区域）；（2）若白色地砖每平方米价格为x元，灰色地砖每平方米价格为y元，求购买地砖的总费用（化简后用含a、x、y的整式表示）；（3）施工方提出：“当a=2时，总费用比a=1时多3倍。”请判断该说法是否正确，并说明理由。答案：（1）整个铺设区域为大长方形（或正方形），中间白色区域边长为3a，围边宽度为a米，因此整个区域的长=3a+2a=5a（左右各延伸a米），宽=3a+2a=5a（上下各延伸a米），故整个区域面积=5a×5a=25a²平方米。（2）白色地砖面积=中间正方形面积=(3a)²=9a²平方米，费用=9a²x元；灰色地砖面积=整个区域面积-白色区域面积=25a²-9a²=16a²平方米，费用=16a²y元。总费用=9a²x+16a²y=a²(9x+16y)元（提取公因式a²，依据乘法分配律）。（3）当a=1时，总费用=1²×(9x+16y)=9x+16y；当a=2时，总费用=2²×(9x+16y)=4×(9x+16y)=36x+64y。“多3倍”指a=2时费用是a=1时的4倍（原费用1倍，多3倍即1+3=4倍），而36x+64y=4×(9x+16y)，确实是4倍，因此施工方的说法正确。7.拓展题：已知代数式S=(2x²-xy+3y²)-k(x²+2xy-4y²)，其中k为常数。（1）若S化简后不含x²项，求k的值；（2）在（1）的条件下，若S的值与y无关，求x的值；（3）若无论x、y取何值，S的值恒为非负数，求k的取值范围。答案：（1）S=2x²-xy+3y²-kx²-2kxy+4ky²=(2-k)x²+(-1-2k)xy+(3+4k)y²。不含x²项即x²项系数为0，故2-k=0，解得k=2。（2）当k=2时，S=(2-2)x²+(-1-4)xy+(3+8)y²=0x²-5xy+11y²=-5xy+11y²=y(-5x+11)。S的值与y无关，说明含y的项系数为0（否则y取值变化会导致S变化），即-5x+11=0，解得x=11/5。（3）S=(2-k)x²+(-1-2k)xy+(3+4k)y²恒为非负数，需满足二次型非负。对于任意x、y，(2-k)x²+(-1-2k)xy+(3+4k)y²≥0。当2-k=0即k=2时，S=-5xy+11y²=y(-5x+11)，显然不恒非负（如x=0，y=-1时，S=11>0；x=3，y=1时，S=-15+11=-4<0）。当2-k≠0时，视为关于x的二次函数，判别式Δ=(-1-2k)²y²-4(2-k)(3+4k)y²=y²[(1+4k+4k²)-4(6+8k-3k-4k²)]=y²[1+4k+4k²-24-20k+16k²]=y²[20k²-1