青岛版五年级数学上册 第五单元 三角形 第1节 三角形的三边关系教学课件

第1节

三角形的三边关系第五单元

创意手工坊——三角形情境导入任选三根小棒，试着摆出三角形。有的同学很快就围成了三角形，可有的同学无论怎么调整，都无法围成三角形，这是什么原因？1.可能是小棒长短不一样，有的太长，有的太短。2.可能是因为有的小棒两根加起来都没有第三根长，所以合不起来。情境导入3.可能是小棒的长度搭配不合适。4.拼的时候，两根小棒的端点总是碰不到一起。通过这几种情况，说一说影响围成三角形的关键是什么？是小棒的长度！小棒的长度其实就是三角形三条边的长度。探究交流任务1：借助直尺和圆规探究三角形三边关系能围成三角形的三根小棒，长度之间有什么关系？小棒有粗细，摆起来不够精确。可以用线段表示小棒，借助直尺和圆规来研究。刚才用小棒摆三角形时，都是先摆好一根，再把另外两根慢慢拼接。现在改用线段，应该先怎么做？探究交流先画好一条线段当作底边。另外两条线段要怎么摆放，才有可能围成三角形？另外两条线段的一端要分别接在底边的两个端点上。探究交流那问题来了，只知道线段长度，怎么判断它们的端点能否重合？如果一条线段一个端点固定，长度不变，只绕着端点转动，能想到什么工具？可以用圆规。探究交流怎么用？把圆规张开到其中一条线段的长度，以底边一个端点为圆心画个弧，那这条线段的另一端就一定在这个弧上。探究交流为了方便描述，把底边的两个端点分别记为点A和点B。以点A为圆心，以一条线段长为半径画弧，弧上所有点到点A的距离都等于这条线段的长度。那另一条线段呢？再以点B为圆心，用另一条线段的长度画弧！探究交流如果有交点，说明什么？没有交点，说明什么？有交点，说明能围成三角形。没有交点，就不能围成三角形。探究交流研究方法：先画底边，再以底边两端点为圆心分别画弧，观察是否存在交点，判断能否围成三角形。但两条弧如果能相交，就一定能围成三角形吗？探究交流现在请拿出操作单，以小组为单位，任选一组线段进行探究。探究交流A组线段：选择最长的线段c作为底边，然后以a、b为半径分别画弧，发现它们有交点。这说明A组能围成三角形。探究交流B组线段：选择最长的线段c作为底边，然后以a、b为半径分别画弧，发现两条弧相交在线段c上。B组不能围成三角形。探究交流为什么不能围成三角形？三个点在同一条直线上，只能重合或连成一条线段，没有形成真正的第三个顶点，所以围不成三角形。探究交流交点落在底边上，其实就说明线段a和b首尾相接后，正好和底边c一样长。这反映出三条线段之间有怎样的长度关系？a+b=c。当两条较短的线段加起来，刚好等于最长边时，它们只能拼成一条线段，无法围成三角形。探究交流C组线段：C组的两条弧不相交，不能围成三角形。弧不相交，又反映出三条线段怎样的长度关系？a+b＜c。探究交流弧不相交，其实就是两条较短的线段加起来，长度还不够最长的那条边，所以它们连“碰头”都做不到，自然也围不成三角形。探究交流两条弧相交在线段c，说明a+b=c。两条弧不相交，说明a+b＜c。那两条弧相交在底边上方时，说明什么？a+b＞c。探究交流只有当交点在底边上方时，才能形成三角形；交点在底边上或没有交点，都围不成三角形。这背后对应的就是线段的长度关系：两条短边之和大于最长边，能围成三角形；两条短边之和等于或小于最长边，不能围成三角形。探究交流请思考一个问题，刚才统一把最长的线段c当作底边来研究。那如果不固定c，而是把b当作底边，或者把a当作底边，是不是也一定能围成三角形？是的，三角形的三条边都可以看作底边。探究交流也就是说，要真正围成一个三角形，三条线段中任意一条当作底边，另外两条线段的长度和都必须大于它。只满足一种情况够不够？不够，三种情况都要满足才行。探究交流不论选哪条边作底边，另外两边的和都大于它。像这样“不管选哪两条”“不管以谁为底边”都成立，在数学上叫作——任意。三角形任意两边之和大于第三边。探究交流三角形任意两边之和大于第三边。像刚才的三条线段，就有三组“两边之和”，是否要逐一验证，验证三次，才能判断它们能否围成三角形？想法一：需要验证，这样结论能够严谨。探究交流想法二：不需要逐一验证了，只要选择最长边作为底边，另外两条短边之和大于这个第三边，就能推出其他两条边之和，一定比第三条边长。怎么推论出来的，能详细说说吗？假设c是最长的一条，那a和b肯定都比c短。a+c一定大于b，因为c本身就比b长，再加a，只会更长。探究交流同样，b+c也一定大于a，因为c本身就比a长，再加b肯定更长。所以，只要两条短边的和大于最长边，另外两组“两边之和大于第三边”就必然成立，不用再验证了。因此在实际做题中，只需要选择两个短边之和与最长边比较，就能判断能否围成三角形。探究交流任务2：用“两点之间线段最短”验证三角形三边关系刚才通过尺规作图、动手操作，自主发现了三角形三边的长度规律，推论出两条弧相交于底边上方时，a+b＞c。那有没有更本质的数学道理，能直接证明这个结论一定成立？探究交流看这个三角形，A、B是两个端点，连接它们的路径有哪些？有直接连接A、B的线段AB，还有经过点C的折线AC+CB。探究交流我们学过一个最基本的几何事实，是什么？两点之间线段最短。既然A、B

两点之间，线段AB是最短的路径，那另一条路径AC+CB，长度一定比AB长，对不对？对！

所以AC+CB＞AB。探究交流那如果换两个端点呢？比如以A、C

为端点，最短路径是什么？是线段AC，另一条路径是AB+BC，AB+BC＞AC。再换一组，以B、C为端点呢？最短路径是BC，另一条是AB+AC，所以

AB+AC＞BC。探究交流在三角形中，不管选哪两个端点，另外两边组成的折线长度，都一定大于连接这两个端点的第三边。这就从根本上说明了，为什么“三角形任意两边之和大于第三边”是永远成立的真理，而不是我们操作出来的巧合。探究交流尺规作图是“发现”规律的工具，而“两点之间线段最短”是“证明”规律的依据。一个帮我们探索，一个帮我们确认，两者结合，才让数学结论既直观又严谨。巩固练习1.每组中的3根小棒能否围成三角形？√××√巩固练习2.用一根长24厘米的细铁丝围三角形。(1)围成一个底是10厘米的等腰三角形，它的腰长是多少？(2)用这根