专题4 问题解决与探究（2024版新教材）

期末提分练案第二部分期末专题复习专题4问题解决与探究题型1有理数及其运算中的问题解决与探究1.[2024咸阳实验中学月考]【综合实践】我们知道，有

理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，

所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为

1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式

呢？请看以下示例.例：将0.𝟕·化为分数形式，设x＝0.𝟕·＝0.777…，①得

10x＝7.777…，②23456781②－①，得9x＝7，解得x＝𝟕𝟗，于是得0.𝟕·＝𝟕𝟗.同理可得0.𝟑·＝𝟑𝟗＝𝟏𝟑，1.𝟒·＝1＋0.𝟒·＝1＋𝟒𝟗＝1𝟒𝟗.根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简

分数表示)23456781【类比应用】(1)3.𝟐·＝⁠；点拨：设x＝3.𝟐·＝3.222…①，所以10

x

＝32.22…②，②－①，得9x＝29，解得x＝𝟐𝟗𝟗，即3.𝟐·＝𝟐𝟗𝟗.

23456781【实践操作】(2)仿照示例，将0.𝟔·𝟑·化为分数形式，写出转化过程；【迁移提升】(3)根据(1)2)猜想：3.𝟏·3𝟓·＝.(注：3.𝟏·3𝟓·＝3.135

135…)

23456781解：(2)设x＝0.𝟔·𝟑·＝0.636363…①，所以100x＝63.6363…②，②－①，得99x＝63，解得x＝𝟕𝟏𝟏，即0.𝟔·𝟑·＝𝟕𝟏𝟏.点拨：设x＝3.𝟏·3𝟓·＝3.135135…①，所以1000x＝3135.135135…②，②－①，得999x＝3132，解得x＝𝟏𝟏𝟔𝟑𝟕，即3.𝟏·3𝟓·＝𝟏𝟏𝟔𝟑𝟕.234567812.

[2024许昌期末]阅读材料：求1＋2＋22＋23＋…＋22

025＋

22

026的值.解：设

S

＝1＋2＋22＋23＋…＋22

025＋22

026①，将等式①

的两边同乘以2，得2

S

＝2＋22＋23＋24＋…＋22

026＋22

027②，23456781②－①，得2

S

－

S

＝22

027－1，即

S

＝22

027－1.即1＋2＋22＋23＋…＋22

025＋22

026＝22

027－1.仿照此法计算：23456781(1)请直接填写1＋2＋22＋23的值为⁠；点拨：(1)根据题意，得1＋2＋22＋23＋…＋2

n

＝2

n

＋1－1，当

n

＝3时，1＋2＋22＋23＝24－1＝16－1＝15.15

23456781(3)请计算出1－10＋102－103＋104－105＋…＋102

022－

102

023＋102

024－102

025的值.解：(2)1＋5＋52＋53＋……＋510＝𝟓𝟏𝟏−𝟏𝟒.解：(3)1－10＋102－103＋104－105＋…＋102022－102023

＋102024－102025＝𝟏−𝟏𝟎𝟐𝟎𝟐𝟔𝟏𝟏.(2)求1＋5＋52＋53＋…＋510值；23456781题型2代数式中的问题解决与探究3.

[2024青岛城阳区期末]【观察思考】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图

形中有6个圆形棋子，第2个图形中有9个圆形棋子，第3个

图形中有12个圆形棋子，第4个图形中有15个圆形棋子，

以此类推.23456781【规律发现】(1)第6个图形中有个圆形棋子；(2)第n个图形中有个圆形棋子；(用含n的代

数式表示)21

(3

n

＋3)

23456781【规律应用】(3)将2

024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋

子全部用完.若能摆放，是第几个图形？若不能，请说

明理由.解：(3)不能.理由如下：由题知，3n＋3＝2024，解得n＝𝟐𝟎𝟐𝟏𝟑，n不为整数.所以2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放.23456781题型3整式的加减中的问题解决与探究4.

[2024北京海淀区期中]【知识呈现】我们可以把5(

x

－2

y

)

－3(

x

－2

y

)＋8(

x

－2

y

)－4(

x

－2

y

)中的(

x

－2

y

)看成一

个字母

a

，使这个代数式简化为5

a

－3

a

＋8

a

－4

a

，“整

体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在

多项式的化简与求值中应用极为广泛.在数学中，常常用

这样的方法把复杂的问题转化为简单问题.23456781【解决问题】(1)上面【知识呈现】中的问题的化简结果为⁠

；(用含x，y的式子表示)(2)若代数式x2＋x＋1的值为3，求代数式2x2＋2x－5的

值为⁠；【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下面

问题：6

x

－12

y

－1

23456781(3)已知

a

－2

b

＝7，2

b

－

c

的值为最大的负整数，求3

a

＋4

b

－2(3

b

＋

c

)的值.解：(3)因为2

b

－

c

的值为最大的负整数，所以2

b

－

c

＝－1.所以3

a

＋4

b

－2(3

b

＋

c

)＝3

a

＋4

b

－6

b

－2

c

＝3(

a

－

2

b

)＋2(2

b

－

c

)＝3×7＋2×(－1)＝19.23456781题型4一元一次方程中的问题解决与探究5.

[2024枣庄期中]【阅读材料】已知

ax2＋

bx

＋

c

是关

于

x

的多项式，记为

P

(

x

).我们规定：

P

(

x

)的导出

多项式为2

ax

＋

b

，记为

Q

(

x

).例如：若

P

(

x

)＝3

x2－2

x

＋1，则

P

(

x

)的导出多项式

Q

(

x

)＝2×3

x

－

2＝6

x

－2；若

P

(

x

)＝5

x2＋4

x

，则

P

(

x

)的导出多

项式

Q

(

x

)＝2×5

x

＋4＝10

x

＋4.23456781【类比探究】(1)P(x)＝x2－4x，则它的导出多项式Q(x)＝⁠

⁠；2

x

－

4

23456781【拓展应用】(2)设

Q

(

x

)是

P

(

x

)的导出多项式.若

P

(

x

)＝2

x2＋3(2

x

－

1)，求关于

x

的方程

Q

(

x

)＝0的解.解：(2)因为P(x)＝2x2＋3(2x－1)＝2x2＋6x－3，所以Q(x)＝4x＋6.因为Q(x)＝0，所以4x＋6＝0，解得x＝－𝟑𝟐.234567816.

[2024泉州期中]阅读下列内容，完成任务.23456781任务：(1)数对[－1，1]和−𝟏𝟏𝟏，𝟏𝟑中，是“姊妹数对”的

是⁠；点拨：对于数对[－1，1]，因为𝟏𝟐×(a＋b)＝𝟏𝟐×(－1

＋1)＝0，2ab＋2＝2×(－1)×1＋2＝0，所以𝟏𝟐×(－1＋1)＝2×(－1)×1＋2，[－1，1]

23456781所以[－1，1]是“姊妹数对”.对于数对−𝟏𝟏𝟏，𝟏𝟑，因为𝟏𝟐×(a＋b)＝𝟏𝟐×−𝟏𝟏𝟏＋𝟏𝟑＝𝟒𝟑𝟑，2ab＋2＝2×

−𝟏𝟏𝟏×𝟏𝟑＋2＝𝟔𝟒𝟑𝟑，所以𝟏𝟐×−𝟏𝟏𝟏＋𝟏𝟑≠2×−𝟏𝟏𝟏×𝟏𝟑＋2，所以−𝟏𝟏𝟏，𝟏𝟑不是“姊妹数对”.23456781

(2)若数对−𝟓𝟒，𝒙是“姊妹数对”，求x的值.解：(2)因为数对−𝟓𝟒，𝒙是“姊妹数对”，所以𝟏𝟐×−𝟓𝟒＋𝒙＝2×−𝟓𝟒x＋2，即－𝟓𝟖＋𝟏𝟐x＝－𝟓𝟐x＋2，解得x＝𝟕𝟖.23456781题型5几何图形中的问题解决与探究7.

[2024青岛期中]【实践操作】在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，

点

A

，

O

，

B

在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放

置，∠

COD

是直角，直角顶点与点

O

重合，

OE

平分

∠

BOC

.

23456781【问题发现】(1)若∠

DOE

＝20°，求∠

AOC

的度数；解：(1)因为∠

COD

是直角，∠

DOE

＝20°，所以

∠

COE

＝∠

COD

－∠

DOE

＝90°－20°＝70°.因为

OE

平分∠

BOC

，23456781所以∠

BOC

＝2∠

COE

＝2×70°＝140°.因为点

A

，

O

，

B

在同一条直线上，所以∠

AOC

＝180°－∠

BOC

＝180°－140°＝40°.23456781解：(2)∠

AOC

＝2∠

DOE

.

理由如下：因为∠

BOC

＝2∠

COE

＝2×(90°－∠

DOE

)＝180°－2∠

DOE

，所以∠

AOC

＝180°－∠

BOC

＝180°－(180°－

2∠

DOE

)＝2∠

DOE

.

(2)猜想图①中∠

AOC

和∠

DOE

的度数之间的关系，写出

你的结论，并说明理由；【变式探究】23456781(3)将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探

究∠

AOC

和∠

DOE

的度数之间的关系，写出你的结

论，并说明理由.解：(3)∠

AOC

＋2∠

DOE

＝360°.理由如下：设∠

BOE

＝α，所以∠

BOC

＝2∠

BOE

＝2α，

∠

COE

＝α，23456781所以∠

AOC

＝180°－∠

BOC

＝180°－2α，∠

DOE

＝90°＋∠

COE

＝90°＋α，所以2∠

DOE

＝180°＋2α，所以∠

AOC

＋2∠

DOE

＝360°.234567818.

[2024泰安期中]阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图①，一条直线上有

A

，

B

，

C

，

D

四点，线段

AB

＝

8

cm，点

C

为线段

AB

的中点，线段

BD

＝2.5

cm，请你

补全图形，并求

CD

的长度.23456781以下是小华的解答过程：解：如图②，因为线段AB＝8cm，C