应用基础数值 15

应用数值分析第十一讲插值法（一）2Lagrange插值法

34教学小结提纲Newton插值法1问题引入教学目标与重难点教学目标能运用Lagrange、Newton插值法解决相关问题。Lagrange、Newton插值基函数及Lagrange、Newton插值定义。

1.能说出Lagrange、Newton插值基函数及Lagrange、Newton插值定义；

2.能说出Lagrange、Newton插值法的解题步骤。教学重点教学难点一问题引入一、问题引入在工程应用中，函数可能不是一个具体的解析表达式，它可能是一组数据，或者虽有具体的解析表达式，但其关系式相当复杂，不便于计算和使用。因此在工程应用中需用一个简单的函数来近似代替数据，或近似代替函数。使称函数为函数在点处的插值函数。插值函数可以是多项式、有理分式、三角函数、指数函数等。一、问题引入定义1

设在上有定义，相异的节点，都在上，不妨又设为这些节点处的准确值，若存在多项式，使得则称为函数的插值多项式,称为插值区间,(10.1)条件(10.1)称为插值条件,称为插值节点。几何意义如图所示：由插值函数的定义可知求插值多项式，即使曲线与曲线在平面上有n+1个交点一、问题引入为保证插值多项式的唯一性，需对插值多项式限制为不超过n次的多项式，记Mn为次数不超过n次的多项式集合。定理1

满足插值条件(10.1)且次数不超过n

次的插值多项式存在且唯一证明

设，令由插值条件(10.1),有方程组一、问题引入该线性方程组的系数行列式是Vandermonde行列式由于节点是相异的节点,故该系数行列式不等于0。由Cramer法则，方程组有一组唯一的解求出方程组的解就得到了插值多项式，称之为待定系数法。但当节点数较多时，求解方程组的工作量和产生的误差都比较大。由插值多项式的唯一性，可以利用更简便实用并可行的方法来构造插值多项式。二Lagrange插值法1.Lagrange插值多项式引进记号

则有

令

二、

Lagrange插值法则满足

1）是n次多项式,2）称为Lagrange插值基函数。1）是n次多项式,则满足

2）即是满足插值条件的n次多项式。称之Lagrange插值多项式记为令二、

Lagrange插值法常见的Lagrange插值多项式为n=1,n=2的情形（1）当n=1时，称之为线性插值。此时几何意义如图所示，即用通过点的线段近似代替区间之间的曲线段二、

Lagrange插值法（2）当n=2时，称为二次插值，即抛物线插值

几何意义如图所示。用通过三个点的抛物线段来近似代替区间上的曲线段例1

已知求的近似值二、

Lagrange插值法解

1.线性插值2.抛物插值2.插值余项定义2

设是在[a,b]上满足插值条件的的插值多项式。为插值多项式的余项。

称二、

Lagrange插值法例2

设，给出如下数据，求的近似值0.40.50.70.8-0.916291-0.693147-0.356675-0.223144解定理2

设在[a，b]上具有直到n+1阶的导数，则有其中且与x有关二、

Lagrange插值法=-0.509975准确值ln0.6=-0.5108256，余项二、

Lagrange插值法二、

Lagrange插值法%Example2.mclc;clear;x=[0.4,0.5,0.7,0.8];y=[-0.916291,-0.693147,-0.356675,-0.223144];xp=0.6;[L,p,b]=Lagrange_Interpolation(x,y,xp)运行结果：L=1.68358*x^3-4.524*x^2+5.27605*x-2.41062p=-83.3333*x^3+166.667*x^2-109.167*x+23.3333166.667*x^3-316.667*x^2+193.333*x-37.3333-166.667*x^3+283.333*x^2-153.333*x+26.666783.3333*x^3-133.333*x^2+69.1667*x-11.6667b=-0.5100二、

Lagrange插值法Lagrange插值函数多项式有一个明显的优点是形式对称易于编制程序，记编制程序时，用二重循环可以完成对的计算对于多数函数而言，插值余项的绝对值将会随着节点个数的增加（即插值多项式次数的提高）而减小。因此在适当的时候可以通过增加插值节点的个数，即提高插值多项式的次数来达到提高精度的目的。

三Newton插值法三、

Newton插值法1.差商（１）差商的概念（差商又称为均差）处的函数值分别为定义3

设函数在[a,b]上有定义，在[a,b]上互异节点称为函数在处的一阶差商在使用Lagrange插值多项式时，当需增加一个插值节点时，每一个插值基函数不能被立即应用，都得重新计算。并且还需要计算新的插值基函数。即增加节点前的计算结果毫无用处，造成计算的浪费。因此在实用中需要构造能充分利用以前计算结果的插值方法。三、

Newton插值法一般地称

为函数在处的k

阶差商（2）差商的性质1)函数的k阶差商可由节点处函数值其中

的线性组合来表示，且2)差商具有对称性，即在k

阶差商中，交换节点的位置，其值不变。称

为函数在处的二阶差商三、

Newton插值法事实上当交换的位置时，只是改变了性质1)中右端的求和顺序，其值不变。因差商的对称性，即差商与节点的排列顺序无关，的k

阶差商也可以定义为

是x的m－1次多项式。特别，对n次多项式的k阶差商,当k≤n时是一个n-k3)若f(x)的k阶差商是x的m次多项式，则f(x)的k+1阶差商次多项式，当k>n时恒为0

4)差商与导数之间的关系三、

Newton插值法其中与节点有关。特别，由导数的定义有

2.Newton插值多项式由差商的定义有依次将后一个等式带入前一个等式就有三、

Newton插值法将上式中的x取为插值节点xi，有

其中

即是满足插值条件的n次多项式，称之为Newton插值多项式，其余项三、

Newton插值法由插值多项式的唯一性，虽然Lagrange插值多项式与Newton插值多项式的构造方式不同，但恒有这正是差商的性质(1)得出的结论比较这两个插值多项式中项的系数，就有由于，故两个插值多项式的余项也应相等。即故有

这正是差商的性质4)得出的结论

三、

Newton插值法在进行Newton差商插值时，常利用的差商表来加以计算Newton差商多项式插值的一个显著优点是:它的每一项都是按x的指数作升幂排列，这样当需要增加节点提高插值多项式次数时，可以充分利用前面已经计算出的结果。三、

Newton插值法一次插值

二次插值k次插值即

k

次Newton差商插值，仅仅是在k－1次插值多项式的基础上增加了一项作为对k－1次插值的一种补偿或修正，从而提高了插值的精度三、

Newton插值法例3

已知的数据如下表，求的近似值4.00024.01044.02334.02940.60208170.60318770.60458240.6052404解构造差商表如下表所示一阶差商

二阶差商

三阶差商4.00024.01044.02334.02940.60208170.60318770.60458240.60524040.10843140.10811630.1078699－0.0136404－0.0130225－0.0211629三、

Newton插值法=0.6020817+0.1084314(4.01－4.0002)+(－0.0136404)×(4.01－4.0002)×(4.01－4.0104)+(－0.0211629)×(4.01－4.0002)×(4.01－4.0104)×(4.01－4.0233)=0.6031444在实用中，当节点个数比较多时，由于不知道插值多项式的次数，所以常利用被插值点x的附近节点作低次插值，逐步增加插值节点个数,提高插值多项式的次数来提高精度。随着节点个数的增加，多项式次数的提高，该值将不断地减小,当该绝对值达到误差精度或其值在增加时停止计算。考虑相邻两次多项式值之差三、

Newton插值法例4

设有如下数据,求的近似值。0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解有差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商0.550.650.400.800.901.050.578150.696750.410750.888111.026521.253821.186001.144001.193401.384101.515830.280000.329330.381400.526920.197300.213030.228600.031460.03114-0.00049三、

Newton插值法%Example4.mclc;clear;x=[0.40,0.55,0.65,0.80,0.90,1.05];y=[0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652,1.25382];xp=0.596;[f,DD,yp]=Newton_Interpolation(x,y,xp)三、

Newton插值法例5

求满足及的次数不超过三次的插值多项式及其余项表达式运行结果：f=0.00029304*X^5+0.0302711*X^4+0.123615*X^3+0.0296166*X^2+0.990118*X+0.0012748DD=0.40000.4108000000.55000.57821.116000000.65000.69671.18600.28000000.80000.88811.27570.35890.1973000.90001.02651.3841