四川省达州市万源市第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题（含答案）

四川省达州市万源市第二中学2026-2027学年九年级上学期开学自测数学模拟试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C．D．2．下列说法正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的平行四边形是正方形3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2025，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣5有一个根为（）A．2021 B．2023 C．2025 D．20274．下列因式分解结果正确的是（）A．a2+4a＝a2（a+4） B．a2﹣9＝（a+9）（a﹣9） C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．a2+4a+2＝（a+2）25．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OA＝（）A．5 B．4 C．3.5 D．36．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为AB的黄金分割点（AP＜BP），如果BP的长度为6cm，那么AP的长度是（）cm．A．5−12 B．5+1 C．37．题目：“某商场销售一款上衣，每件上衣的进价为50元，当售价为每件80元时，平均每天可售出20件．经调查发现，如果每件上衣降价1元，平均每天可多售出2件．如果商场平均每天想要盈利672元，则每件上衣的售价应为多少元？”解决该问题时，嘉嘉设“每件上衣的售价为x元”，淇淇设“每件上衣应降价y元”，下列说法正确的是（）A．按嘉嘉的条件，则该商场平均每天可售出2x件上衣 B．按淇淇的条件，则该商场平均每天可售出2y件上衣 C．按嘉嘉的条件，应列方程为（x﹣50）（20+2x）＝672 D．按淇淇的条件，应列方程为（30﹣y）（20+2y）＝6728．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（）A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．已知2a+bb=7，则ab10．在平面直角坐标系中，将点P（m，m+8）向下平移2个单位长度后，得到的点Q在x轴上，则m的值为．11．关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围为________．12．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF，则四边形ABFD的周长为．13．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形．．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（8分）（1）解不等式组：2x−13−5x+12≤215．（8分）先化简，再求值：（x−5x−4x+1）÷x16．（10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C均在格点上．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；（3）若点O的坐标为（0，0），点B的坐标为（2，3），建立平面直角坐标系，并在坐标系中找出一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为_________．17．（10分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点F．点E在BD上，且∠BAE＝∠CAD，ABAE（1）求证：△ABC∽△AED；（2）若∠CAD＝16°，求∠CBD的度数．18．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴．y轴于A，B两点，点A的坐标为（1，0），∠ABO＝30°，过点B的直线y=33x+m与x（1）求直线l的解析式及点C的坐标；（2）点D是直线BC上一点，当△ABD的面积为3时，求点D的坐标；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2b2＝__________．20．若关于x的方程2x−mx−2=3的解为正数，则m的取值范围是21．若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则1m+122．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．将△ABC沿射线CB平移得到△A'B'C'，将AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AD，连接DA′，DB′．在△ABC的平移过程中，△A′B′D的周长的最小值为．23．如图，正方形ABCD的边长为9，O是BC边上一点，且BO＝3，连接AO，作AO的垂直平分线交AB于点E，交AD的延长线于点F，连结OF交CD于点P，连结AP，AQ⊥OF于Q，给出下面五个结论：①AF＝OF；②AP＝PF；③∠OAP＝45°；④△OCP的周长是18；⑤△APF的面积是30．上述结论中，正确结论的序号有__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，分别延长BD，DB至点E，F，使BF=DE=2，连接AE，AF，CE，CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．25．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题；（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？（2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．26．（12分）如图，在△ABC下方的直线MN∥AB．（1）P为直线MN上一动点，连接PA，PB．若∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN．①如图1，求证：四边形APBC是平行四边形；②如图2，∠ACB＝90°，AC＝2BC，作BD⊥MN于点D，连接CD，若CD=17，求PD（2）如图3，∠ACB＝90°，BC＝1，作BD⊥MN于点D，连接AD，CD，若△ABD的面积始终为3，求CD长的最大值．参考答案A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．D．2．B．3．D．4．C．5．B．6．D．7．D．8．C．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．3．10．﹣6．11．k≥﹣2．12．18．13．45°．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．解：（1）2x−13解不等式①得x≥−17解不等式②得x＜2，∴原不等式组的解集是−17（2）xx−1xx−1两边同乘以（x﹣1）2得x（x﹣1）+3＝（x﹣1）2，整理得﹣x+3＝﹣2x+1，解方程得x＝﹣2，经检验，当x＝﹣2时，（x﹣1）2≠0，∴x＝﹣2是分式方程的解．15．解：（x−5x−4x+1=x=(x−2=x−2当x＝3时，原式==116．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）建立平面直角坐标系如图所示，点P1，P2，P3均满足题意．∴点P的坐标为（6，3）或（6，﹣1）或（﹣2，3）．故答案为：（6，3）或（6，﹣1）或（﹣2，3）．17．（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠CAD+∠CAE＝∠BAE+∠CAE，即∠EAD＝∠BAC，∵在△ABC和△AED中，ABAE∴△ABC∽△AED；（2）解：∵△ABC∽△AED，∴∠ADE＝∠ACB，在△CBF和△DAF中，∠ACB＝∠ADE，∠CFB＝∠AFD，∴△CBF∽△DAF，∴∠CBD＝∠CAD＝16°．18．解：（1）∵A（1，0），∴OA＝1，∵∠ABO＝30°，∴OB=3，AB∴B（O，3），设直线l的解析式为y＝kx+3∵A（1，0）在直线1上，∴k=−3∴直线l的解析式为y=−3x+∵B（0，3）在直线y=33x+∴m=3∴直线BC的解析式为y=33x∵点C在x轴上，∴令y＝0，则x＝﹣3．∴C（﹣3，0）；（2）①点D在线段BC上时，过点D作DE⊥AC于点E，如图，∵C（﹣3，0），∴OC＝3，∵OB=3∴BC=OC2∴OB=12∴∠BCO＝30°，∴∠CBO＝60°，∵∠ABO＝30°，∴∠ABD＝∠ABO+∠CBO＝90°．∵△ABD的面积为3，∴12BD•AB∵AB＝2OA＝2，∴BD＝3，∴CD＝BC﹣BD＝23−∵DE⊥AC，∠BCO＝30°，∴DE=12CD=3−32，∴OE＝OC﹣CE=3∴D（−323②点D在点B的右侧上时，过点D作DF⊥OB于点F，如图由①知：BD＝3，∠BCO＝30°，∴CD＝BC﹣BD＝23+3，∠FBO＝∠CBO∵DF⊥OB，∴BF=12BD=32，DF＝∴Of＝OB+BF=3∴D（323，综上，当△ABD的面积为3时，点D的坐标为（−323，3−3（3）存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为（1，23由题意：A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB=3∴AB＝2．①过点A作直线a∥OB，当点Q在直线a上时，如图，∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，∴AQ1＝AQ2＝AB＝2，∴Q1（1，2），Q2（1，﹣2）；②当以AB为一边时，如图，∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，∴OQ3＝OA＝1，∴Q3（﹣1，0）．③当以AB为一条对角线时，如图，∵以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，∴BP4∥AQ4，BP4＝AQ4＝AP4，设BP4＝AQ4＝AP4＝m，∴OP4＝OB﹣BP4=3−由勾股定理得：12∴m=2∴AQ4=2∴Q4（1，23综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为（1，23B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（a+2b）（a+b）．20．m＜6且m≠4．21．5222．73+23．①③④．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（1）证明：如图，连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BO＝DO，AO＝CO，∵BF＝DE，∴OD+DE＝OB+BF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，BF=DE=2∴AB＝AD＝1，∴BD=AC=2∴EF=32∴四边形AECF的面积为1225．解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2，用到的是完全平方公式；（2）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，∴因式分解不彻底；（3）设y＝x2﹣2x，∴（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．26．（1）①证明：∵MN∥AB，∴∠APM＝∠BAP，∠BPN＝∠ABP，∵∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN，∴∠ABC＝∠BAP，∠CAB＝∠ABP，∴BC∥AP，AC∥BP，∴四边形APBC是平行四边形．②解：过C作CH⊥MN于点H，交AB于点G，则四边形BDHG是矩形，设BC=5x，则AC＝25x∴AB=AC2根据等面积可得：CG=AC⋅BCAB=BG=BC∵S△ACB＝S△ABP，∴CG＝GH＝2x