高二数学第一单元教案：排列与组合

高二数学第一单元教案：排列与组合

我们先看下面两个问题.

⑴从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船,一天中，

火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从

甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，

每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从

甲地到乙地共有4十2十3二9种不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类方法中有ml种

不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，，在第n类方法中有

mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=ml十m2十十mn种不同的方法.

(2)我们再看下面的问题：

由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村

去C村，共有多少种不同的走法？

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到

达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法,因此，从A村经B村去C

村共有3X2=6种不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同

的方法，做第二步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法.

那么完成这件事共有N=(nlm2nin种不同的方法.

例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

1)从中任取一本，有多少种不同的取法？

2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取数学

书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类方法是从下层取语文

书，可以从5本书中任取一本，有5种方法,根据加法原理，得到不同的

取法的种数是6十5=11.

答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法.

(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一

步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法.根据乘

法原理，得到不同的取法的种数是N=6X5=30.

答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法.

练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1)从中任取一枚，有多少种不同取法？2)从中任取明清古币各一枚，有

多少种不同取法？

例2：(1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，

从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，

由于数字允许重复，

这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法.根

据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125.

答：可以组成125个三位数.

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从

甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.

(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、、19、

20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中

装着10张分别标有数1、2、、9、10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的

数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

3.题2的变形

4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加

法，分步时用乘法

其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习

练习

L(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成，

另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作，共有多少种

选法？

2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书

里任选一本，共有多少种不同的选法？

3.乘积(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？

4.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁

地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种

不同的走法？

5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球

的颜色互不相同.

(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

作业：

排列

【复习根本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n类方法，第一类方法中有ml种不

同的方法，第二方法中有印2种不同的方法，第n方法中有mn种不同的方

法，那么完成这件事共有

N=ml+m2+m3+mn

种不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不

同的方法，做第二步有m2种不同的方法，，做第n步有n)n种不同的方

法，.那么完成这件事共有

N=mlm2m3mn

种不同的方法.

3.两个原理的区别；

【练习1】

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的

机票？

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.

【根本概念】

1.什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素(这里的被取元素各

不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素

的一个排列

2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.

3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.

4.什么叫一个排列？

【例题与练习】

1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无意复数字的三位数？

2.a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列;②写出每

次取出4个元素的所有排列.

【排列数】

1.定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从

n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.

用符号表示上述各题中的排列数.

2.排列数公式:=n(n-l)(n-2)(n-m+1)

计算：=;=;=;

【课后检测】

1.写出:

①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；

②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2.计算：

①②③④排列

一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）

L排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；

2,排列数的定义，排列数的计算公式

或（其中mnm,nZ）

3.全排列、阶乘的意义；规定0!=1

4.分类、分步思想在排列问题中的应用.

二、新授：

例1：（1）7位同学站成一排，共有多少种入同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列=5040

⑵7位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7654321=7!=5040

（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列二720

⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5

名同学进行全排列有种那么共有=240种排列方法

⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学

站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列

（全排列）有种方法所以一共有=2400种排列方法.

解法二：（排除法）假设甲站在排头有种方法;假设乙站在排尾有种方法;

假设甲站在排头且乙站在排尾那么有种方法.所以甲不能站在排头，乙

不能排在排尾的排法共有一十二2400种.

小结一：对于在与不在的问题，常常使用直接法或排除法，对某些特殊元

素可以优先考虑.

例2：7位同学站成一排.

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学捆绑在一起看成一个元素与其余的5个元素（同

学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学松绑进行排列有种方

法.所以这样的排法一共有=1440

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有二720种.

⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素

放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最

后将甲、乙两个同学松绑进行排列有种方法,所以这样的排法一共有

二960种方法.

解法二：将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

假设丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法

有种方法.

解法三：将甲、乙两同学捆绑在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，

因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方

法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学

松绑，所以这样的排法一共有二960种方法.

小结二：对于相邻问题，常用捆绑法（先捆后松）.

例3：7位同学站成一排.

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：（排除法）解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，

此时他们留下六个位置（就称为空吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位

置（空）有种方法，所以一共有种方法.

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个空，再将甲、

乙和丙三个同学分别插入这五个空有种方法，所以一共有二1440种.

小结三：对于不相邻问题，常用插空法（特殊元素后考虑）.

三、小结：

L对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；

⑶某些元素要求别离（即不能相邻）；

2.根本的解题方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位

置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；

⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他

元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为捆绑法

⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插

入空挡，这种方法称为插空法

（4）在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求

有效的解题途径，这是学好排列问题的根基.

四、作业：？课课练？之排列课时13

课题：排列的简单应用（2）

目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步

培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解.

过程：

一、复习：

L排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；

2.常见的排队的三种题型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置优限法；

⑵某些元素要求连排（即必须相令6）捆绑法；

⑶某些元素要求别离（即不能相邻）插空法.

3.分类、分布思想的应用.

二、新授：

例如一：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演

员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，那么共有多少种不同

的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）解法二：（从特殊元素考虑）假设选：假设不

选：

那么共有+=136080

解法三：（间接法）136080

例如二：

⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在

后排，那么共有多少种不同的排法？

略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列.

所以一共有二5760种方法.

⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中a,b两种商品必须排在一

起，而c,d两种商品不排在一起，那么不同的排法共有多少种？

略解：（捆绑法和插空法的综合应用）a,b捆在一起与e进行排列有；

此时留下三个空，将c,d两种商品排进去一共有；最后将a,b松绑有.

所以一共有二24种方法.

⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，假设要求师生相

间而坐，那么不同的坐法有多少种？

略解：（分类）假设第一个为老师那么有；假设第一个为学生那么有

所以一共有2=72种方法.

例如三：

（1）由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？

略解：（2）由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字，并且比

13000大的正整数？

解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法;

另一类是首位不为1,有种方法,所以一共有个数比13000大.

解法二：（排除法）比13000小的正整数有个，所以比13000大的正整

数有二114个.

例如四：用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数，由小到大排列.

（1）第114个数是多少？（2）3796是第几个数？

解：（1）因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应

该是3，十位数字是1即31开头的四位数有个；同理，以36、37、38开

头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是39,而3968排

在第6个位置上，所以3968是第114个数.

(2)由上可知37开头的数的前面有60+12+12=84个，而3796在37开头

的四位数中排在第11个(倒数第二个)，故3796是第95个数.

例如五：用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中

(1)能被25整除的数有多少个？

(2)十位数字比个位数字大的有多少个？

解：(1)能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种，末尾为50

的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有+=21个.

注：能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况.

⑵用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，一共有个.因为在这

300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是等可能的，所以十位数字

比个位数字大的有个.

三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面

性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性.

四、作业：3+X之排列练习

组合(1)

课题：组合、组合数的概念

目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.

过程：

一、复习、引入：

1.复习排列的有关内容：

定义特点相同排列公式

排列

以上由学生口答.

2.提出问题：

例如1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其

中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的

选法？

例如2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种

不同的选法？

引导观察：例如1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序排

列，而例如2只要求选出2名同学，是与顺序无关的.

引出课题：组合问题.

二、新授：

L组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

注：1.不同元素2,只取不排无序性3.相同组合：元素相同

判断以下问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(组合)

⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支的书记.(排

列)

2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，

叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.

例如：例如2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，

乙丙.即有种组合.

又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：

AB.AC,AD,BC,BD,CD一共6种组合，即：在讲解时一定要让学生去

分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关.

那么又如何计算呢？

3.组合数公式的推导

⑴提问：从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的

排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

组合排列

由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元

素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素

中取出3个元素的组合，共有个;②对每一个组合的3个不同元素进行

全排列，各有种方法.由分步计数原理得：=，所以：.

⑵推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以

分如下两步：①先求从n个不同元素中取bm个元素的组合数：②求每

一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：二⑶组合数的

公式：

或⑷稳固练习：

L计算：⑴（2）2.求证：3.设求的值.

解：由题意可得：即：24

x=2或3或4

当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11.

所求值为4或7或11.

4.例题讲评

例1.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不

同的分

法？

略解：例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活

动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分

别有，，，所以一共有++=100种方法.

解法二：（间接法）5.学生练习：（课本99练习）

三、小结：

定义特点相同组合公式

排列

组合

此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题

还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理.

四、作业：课堂作业：教学与测试75课

课外作业：课课练课时7和8

组合（2）

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式;

掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题.

过程：

一、复习回忆：

1.复习排列和组合的有关内容：

强调：排列次序性；组合无序性.

2.练习一：

练习1：求证：.（本式也可变形为：）

练习2：计算：①和；②与；③答案：①120,120②20,20③792

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好根底.）

3.练习二：

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

答案：（1）（组合问题）⑵（排列问题）

二、新授：

1.组合数的性质1:.

理解：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n-rn个元素.

因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素

的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，

等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：.在这里，我们主

要表达：取法与剩法是一一对应的思想.

证明：;又注：1我们规定2等式特点：等式两边下标同，上标之和

等于下标.

3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.

例如：===2019.

4或2•例如一：(课本101例4)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1

个黑球.

⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：(1)(2)(3)引导学生发现：.为什么呢？

我，T1可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类:

一类含有1个黑球，一类不含有黑球.因此根据分类计数原理，上述等式

成立.

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可

以分为两类：一类含有元素，一类不含有.含有的组合是从这n个元

素中取出m-1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元

素中取出m个元素组成的，共有个.根据分类计数原理，可以得到组合数

的另一个性质.在这里，我们主要表达从特殊到一般的归纳思想，含与不

含其元素的分类思想.

3.组合数的性质2：=+.

证明：

注：1公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原

下标多1而上标与高的相同的一个组合数.

2此性质的作用：恒等变形，简化运算.在今后学习二项式定理时，我们

会看到它的主要应用.

4.例如二：

⑴计算：(2)求证：=++(3)解方程：⑷解方程：⑸计算：和推

广：5.组合数性质的简单应用：

证明以下等式成立：

⑴（讲解）（2）（练习）（3）6,处理？教学与测试?76课例题

三、小结：1.组合数的两个性质；

2.从特殊到一般的归纳思想.

四、作业：课堂作业：？教学与测试?76课

课外作业：课本习题10.3；课课练课时9

组合⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步稳固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂

的组合应用问题，提高合理选用知识的能力.

过程：

一、知识复习：

1.复习排列和组合的有关内容：

依然强调：排列次序性；组合无序性.

2.排列数、组合数的公式及有关性质

性质1：性质2：二+常用的等式：3.练习：处理?教学与测试?76课

例题

二、例题评讲：

例L100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.

（1）都不是次品的取法有多少种？

（2）至少有1件次品的取法有多少种？

（3）不都是次品的取法有多少种？

解：⑴；

例2.从编号为1,2,3,,10,11的共11个球中，取出5个球，使得这

5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？

解：分为三类：1奇4偶有；3奇2偶有；5奇1偶有所以一共有++.

例3.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任

德语翻

译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承

当一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么

有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有.

所以一共有++=42种方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，

乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？

解法一：（排除法）解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，

有；另一类为甲不值周一，但值周六，有.所以一共有+=42种方法.

例5.6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方

法？

解：第一步从6本不同的书中任取2本捆绑在一起看成一个元素有种方

法；第二步将5个不同元素（书）分给5个人有种方法.根据分步计数原理，

一共有二1800种方法.

变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？

变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送

书方法？

变题3：5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送

书方法？

答案：1.;2.；3..

三、小结：1.组合的定义，组合数的公式及其两个性质；

2.组合的应用：分清是否要排序.

四、作业：?3+X?组合根底训练

?课课练？课时10组合四

组合(4)

课题：组合、组合数的综合应用⑵

目的：对排列组合知识有一个系统的了解，掌握排列组合一些常见的题型

及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概