高二数学正弦定理

1.1.1正弦定理学案

【预习达标】

在△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c,

1.在RtAABC中，ZC=90°,csinA=____,csinB=_____，即

sinA

2.在锐角△ABC中，过C做CD_LAB于D,则|CD|==,

即」」=__，同理得_________________，故有

sinA

--a--=O

sinA

3.在钝角△ABC中，NB为钝角，过C做CD_LAB交AB的延长

线D,则|CD|==，即_"=，故有

sin4

a

-=________________________________o

sinA

【典例解析】一新课导入，推导公式

（1）直角三角形中

（2）斜三角形中

正弦定理是

例1.在AABC中，已知4=32.0。，8=81.8°,a=42.9CR1,解三角形。

例2如图，在AABC中，NA的平分线AD与边BC相交于点D,

求证:BD_AB

~DC~~AC

【达标练习】

1.已知△ABC已知A=60°,B=30°,a=3；求边b=():

A3B2CV3DV2

(2)已知AABC已知A=45°,B=75°,b=8；求边a=()

A8B4C4百3D8738

(3)正弦定理的内容是------------------------

(4)已知a+b=12B=45°A=60°则则则

则a=,b=

(5)已知在△ABC中，三内角的正弦比为4:5:6,有三角形的周

长为7.5,则其三边长分别为

利用正弦定理证明包=si"+sinB

(6).在△ABC中,

csinC

参考答案

【预习达标】

1.a,b,b=_2.bsinAasinB.

sinBsinCsinB

acbc

sinAsinCsin8sinC

3..bsinAasinB,，一，，一二——.

sinBsinBsinC

【典例解析】

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角

三角形中，角与边的等式关系。如图1.12,a^RtAABC中，设

BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的袅Y?=sin/，

—=sirii9,又sinC=l=£,A

cc

则3=上=」=。b

sin力sin夕sinC

C

从而在直角三角形ABC中，&=&=」）-------Ca

sin/1sin夕sine

B

图1.12）

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1.13,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根

据任意角三角函数的定义，有CD=asin〃=bsin4贝於1=—纥，

/sin?^sin2/

c

同理可得，7=3,b

sinCsin〃

a

从而3=上=，A

sinJsin8sin。

cB

（图1.13）

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而

可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作C

由向量的加法可得AB-AC+CB

则J-AE>=J-（AC+CB）A

B

；・j-AB=j-AC-4cBj

|,/||4B|COS（90O-A）=04-|j|CB|cos（900-C）

・・・csinA=asinC,即高二薪

同理，过点C作几BC,可得b

sinBsinC

从而abc

sin力sin方sinC

类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学

生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,

即

abc

sinsinZ?sin。

例1解：根据三角形内角和定理,

C=180°-(A+B)

=180°-(32.00+81.8°)

=66.2°;

根据正弦定理,

,asinB42.9sin81.8°,.、

/j=^hM=sin32.0-on

根据正弦定理，

asinC42.9sin66.2°

c=»74.

sinAsin32.0°

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2证明：如图在AABD和ACAD中,

得BD_ABDCAC4c

sinftsinasinpsin(180°-a)sina

两式相除得处=理

DCAC

【双基达标】

1.(1)C(2)D(3)_^=-^-=上.(4)3612后

sinAsinBsinC

12痛24(5)2,2.5,3

2.证明：设一--=——=---=k>则a=AsinA8=%sin8,c=ZsinC

sinAsinBsinC

•_a_+_b—_Z_s_in_A__+_k_s_in_B__si_n_A_+__s\_n_B

••c攵sinCsinC

学校：临清二中学科：数学编写人：刘会志一审：李其智二

审：马英济

§.2正弦定理

【三维目标工

一、知识与技能

1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问

题

2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间

的普遍联系与辩证统一.

3.在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力.

二、过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与

其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳

出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、情感、态度与价值观

1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；

【教学重点与难点工

重点：正弦定理的探索及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解二角形时判断解的个数。

【授课类型】：新授课

四教学过程

一、知识回顾1正弦定理的内容是什么？

二、例题讲解

例1试推导在三角形中二二工二三二？!^其中R是外接

sinAsinBsinC

圆半径

证明如医所示，ZA=ZD

—^―=—^―=CD=2R同理扁=2r

sinAsinD

.4=±=」一=2R

sinAsinBsinC

例2在AABC中，〃=6,3=60°,<:=1,求a和AC

sinBsinCby[32

•;b>c,B=60°,.*.C<B,C为锐角，

.•.C=30°,B=90°/.a=^Ib2+c2=2

例3A48C中，。=后,4=45°,4=2,求匕和区。

，二，，.「sinC=3=

解"n453

sinAsinCa22

•.，csinA<a<c,/.C=60°或1200

.•.当C=60°时，8=75°/=9^=丑叫g=6+l,

smCsin60。

.•.当C=120°时，8=15。/="&而1nI。="I

sinCsin600

二.。=6+1,8=75。,。=60°或〃=6-1,8=15,C=120°

五、巩固深化，反馈矫正

1试判断下列三角形解的情况：

已知〃=11,c=12,3=60。则三角形ABC有()解

A—B两C无解

2已知a=7,力=3,4=110。则三角形ABC有（）解

A—B两C无解

AA3C中，三个内角之比A:3:C=1:2:3,那么等于

AA8C中，，B=135°015。a=5则此三角形的最大边长为

5在AA3c中，已知a==2c/〃,8=45。，如果利用正弦定理解三角

形有两解，则x的取值范围是_____

A48C中，已知人=2csinB,求NC的度数

六、小结

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，

且比例系数为同一正数，即存在正数化使a=lsinA,Z>=ks仕8,c=无sinC;

（2）4二上二，等价于，二上，上二，

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinC

，二二，，即可得正弦定理的变形形式：

sinAsinC

1）c/=2RsinA,〃=2RsinB,c=2RsinC；

2)sinA=—,sinB=—,sinC=—

2H2R2R

3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角

形问题：

1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如〃二竺蛆i；

sinB

2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边

和角.^0sinA=—sinBo

b

一般地，已知角A边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见

外接圆法）如图所示，ZA=ZD

a=bsinA有一解a>bsinA有两解a>b有一解a>b有一

解

七板书设计略

正弦定理学案

-预习达标

1正弦定理的内容是------------------------------------

2在三角形ABC中已知c=10A=45°C=30°,则边a=，边b=，角

B=

3在三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,则角B=（可

借助计算器）

二典例解析

例1试推导在三角形中，二上二，，二2R其中R是外接圆半

suiAsuiBsuiC

径

例2在A48C中，/?=6,8=60°"=1,求〃和4。

例3A4BC中，。=述,4=45>〃=2,求匕和民。

三达标练习

1试判断下列三角形解的情况：

已知6=11,c=12,3=60。则三角形ABC有()解

A—B两C无解

2已知a=7,0=3,A=110°则三角形ABC有()解

A-B两C无解

A/WC中，三个内角之比A:8:C=1:2:3,那么a:):c•等于____

A48C中，B=135。015。a=5，则此三角形的最大边长为

中，已知a==2c也8=45°,如果利用正弦定理解三角形有

两解，则X的取值范围是____

A/WC中，己知〃=2csin3,求NC的度数

学案答案

一预习达标1，-二'-二—S—2106,5V6+5V23

sinAsinBsinC

64°或116。

二典例解析

例1证明如图所示，ZA=ZD

-^—=-^—=CD=2R同理〃一=2R,

sinAsinDsinB

=二-=，=2R

sinAsinBsinC

例2在A/WC中，〃=V5,8=60°,c=l,求t?和AC

上二，，二