2026新教材数学 25.2.3因式分解法 教学课件 -初中数学人教版九年级上册

25.2.3因式分解法

2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章

一元二次方程学习了公式法之后，我们知道，一元二次方程一般可以用公式法来解．但是对于像

x²＝4这样的方程，用公式法求解较为繁琐，根据平方根的意义直接求解会更简便．也就是说，应当结合方程特点，择优选择简便解法．问题在八年级，我们学习了因式分解．因式分解有哪些方法？提公因式法：pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)．公式法：平方差公式

a2－b2＝(a＋b)(a－b)，完全平方和公式

a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，完全平方差公式

a2－2ab＋b2＝(a－b)2．因式分解的核心是把多项式的和差形式转化为整式乘积形式能否找到解一元二次方程的简便方法？问题1根据物理学规律，如果把一个物体从地面以

10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过

xs后的离地高度(单位：m)约为10x－5x2．根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？分析：物体落回地面时，离地高度为

0m，即

10x－5x2＝0．

你能用学过的方法解这个方程吗？解：（配方法）二次项系数化为1，得

x2－2x＝0．配方，得

x2－2x＋12＝0＋12，即(x－1)

2＝1．由此可得

x－1＝±1，即

x1＝0，x2＝2．

问题1解：（公式法）方程化为

5x2－10x＝0．此时

a＝5，b＝－10，c＝0，所以Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×5×0＝100＞0．方程有两个不相等的实数根

即

x1＝0，x2＝2．能否找到更简便的解法呢？解方程：10x－5x2＝0．问题1解方程：10x－5x2＝0．x·105x·x如果

ab＝0，那么a＝0，或

b＝0．10x－5x2＝0（提公因式）因式分解x(10－5x)＝0化为两个一次方程x＝0，或

10－5x＝0解方程x1＝0，

x2＝2降次新知先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于

0

的形式，再使这两个一次式分别等于

0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．因式分解法的依据：若两个因式的积为

0，则这两个因式中至少有一个为

0．因式分解法的关键：将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，达到降次的目的．例

解下列方程：（1）x(x－2)＋x－2＝0；（2）解：（1）左边分解因式，得(x－2)(x＋1)＝0．于是

x－2＝0，或

x＋1＝0，即

x1＝2，x2＝－1．公因式平方差公式还有其他解法吗？提公因式解：（2）移项、合并同类项，得4x2－1＝0．左边分解因式，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是2x＋1＝0，或2x－1＝0，解：移项、合并同类项，得4x2－1＝0．左边分解因式，得(2x＋1)(2x－1)＝0．于是2x＋1＝0，或2x－1＝0，因式分解法直接开平方法解：移项、合并同类项，得4x2＝1．(2x)2＝12．由此可得2x＝±1，（2）归纳用因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）移项，将方程的右边化为

0；（2）将方程的左边分解成两个一次因式的积的形式；（3）令每个因式等于

0，转化为两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根．简记为“一移二分三化四解”．问题2学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？方法解题思路适用范围特点配方法公式法因式分解法配方—开方—降次所有一元二次方程通用性强，计算步骤多；可推导求根公式直接利用求根公式求解所有一元二次方程通用性强，流程固定，计算量大分解因式—令因式为0—降次容易分解为两个一次式乘积的方程步骤简洁，计算量小，仅适用于特殊形式解一元二次方程的基本思路：降次，即先将二次方程化为两个一次方程，再分别解两个一次方程问题2面对具体的一元二次方程时，要根据方程的结构特点灵活选择解法：①缺少常数项（如

ax²＋bx＝0）：一般运用提公因式法分解因式；②缺少一次项（如

ax²－c＝0）：一般运用平方差公式分解因式，也可直接开平方求解；③右边为

0，左边易分解：优先考虑因式分解法；④不易分解：选用公式法或配方法．1．解下列方程：（1）x2＋x＝0；

（2）解：（1）左边分解因式，得

x(x＋1)＝0．于是

x＝0，或

x＋1＝0，即

x1＝0，x2＝－1．（2）左边分解因式，得

于是

x＝0，或

即

x1＝0，x2＝解：（3）方程化为

x2－2x＋1＝0．左边分解因式，得(x－1)2＝0．于是

x－1＝0，即

x1＝x2＝1．1．解下列方程：（3）3x2－6x＝－3；

（4）4x2－81＝0；1．解下列方程：（3）3x2－6x＝－3；

（4）4x2－81＝0；解：（4）方法一：左边分解因式，得(2x＋9)(2x－9)＝0．于是2x＋9＝0，或2x－9＝0，方法二：方程化为(2x)2＝92，由此可得

2x＝±9，因式分解法直接开平方法1．解下列方程：（5）3x(2x＋1)＝4x＋2；

（6）(x－4)2＝(5－2x)2；解：（5）方法一：方程化为

3x(2x＋1)＝2(2x＋1)，3x(2x＋1)－2(2x＋1)＝0．左边分解因式，得

(2x＋1)(3x－2)＝0．于是2x＋1＝0，或3x－2＝0，提公因式1．解下列方程：（5）3x(2x＋1)＝4x＋2；

（6）(x－4)2＝(5－2x)2；解：（5）方法二：方程化为

6x2－x－2＝0．左边分解因式，得

(2x＋1)(3x－2)＝0．于是

2x＋1＝0，或3x－2＝0，十字相乘2x×(－2)＋3x×1＝－x交叉相乘之后的和等于一次项2x3x1－2①拆二次项系数，拆成两个非0整数相乘；6＝2×3②拆常数项，拆成两个非0整数相乘；－2＝1×(－2)③1．解下列方程：（5）3x(2x＋1)＝4x＋2；

（6）(x－4)2＝(5－2x)2；解：（6）方程化为

(x－4)2－(5－2x)2＝0．左边分解因式，得

[(x－4)＋(5－2x)][(x－4)－(5－2x)]＝0，(1－x)(3x－9)＝0．于是1－x＝0，或3x－9＝0，即

x1＝1，x2＝3．归纳用因式分解法解一元二次方程，常见的因式分解形式（1）提公因式法：解形如

x2＋bx＝0的一元二次方程时，通过提公因式，将方程的左边分解为

x(x＋b)＝0，则

x＝0或

x＋b＝0，即

x1＝0，x2＝－b．（2）公式法：①

解形如

x2－a2＝0的一元二次方程时，通过平方差公式，将方程的左边分解为(x＋a)(x－a)＝0，则

x＋a＝0或

x－a＝0，即

x1＝－a，x2＝a．归纳②

解形如

x2＋2ax＋a2＝0的一元二次方程时，运用完全平方公式，将方程的左边分解为

(x＋a)2＝0，则

x＋a＝0，即

x1＝x2＝－a．（3）十字相乘法：适用于方程左边是二次三项式，即

ax2＋bx＋c＝0，a＝a1×a2，c＝c1×c2，b＝a1×c2＋a2×c1，能分解为

(a1x＋c1)(a2x＋c2)＝0的形式．用因式分解法解一元二次方程，常见的因式分解形式2．如图，把小圆形场地的半径增加

5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为

9∶4．求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为

xm，则大圆形场地的半径为

(x＋5)m．由题意，得π(x＋5)2∶πx2＝9∶4，方程化简整理，得

(x＋5)2＝左边分