【数学试卷+答案】2026年9月宝安区高三一模考试

宝安区2026-2027学年第一学期教学质量检测

高三数学2026.9

注意事项：

1.答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位

置上，并正确粘贴条形码。

2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点

框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题时，用黑色

字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答

案一律无效。

3.本试卷共4页，19小题，满分为150分。考试时间120分钟。

4.考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.样本数据3,3,5,7,8,9,则该组数据的第40百分位数为()

A.3B.4C.5D.6

2.已知向量e1,e₂不共线，(xe₁+e₂)//(4e₁+xe₂),则x的值为()

A.2B.0C.±2D.4

3.集合A={sina,tana},.,且A∩B为非空集合，则α可以取()

A.B.C.D.

4.曲线y=ln(eˣ+x)在x=0处的切线方程是()

A.y=x+1B.y=2xC.x=1D.y=x

5.若椭圆C:与抛物线y²=4x有相同焦点，则该椭圆C与y²=4x在第

一象限的交点坐标为()

A.(6,2√6)B.(1,2)C.(3,2√3)

6.已知函数f(x)=a·e-x的最小值为2,则a的值为()

A.1B.eD.2

7.已知数列{an}是等差数列，记Sn,T,分别为{an},{b}的前n项

和，若S₃=18,T₂=10,则T₀=()

A.370B.0C.450D.1024

高三数学第1页共4页

8.一个袋子中装有大小形状相同的2个红色球、2个黄色球、2个白色球，1个黑球，从中

一次性摸出3个球，记：摸出一个红色球记0分，摸出一个黄色球记1分，摸出一个白

色球记2分，摸出黑色球记-3分，三个球总得分为X,则()

A.当“X=2”时，一定没有摸到黄球

C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0。

9.设Z=1+2i,则()

A.Z=1-2iB.|Z+1|>|Z+iC.Z²=-3+4iD.是纯虚数

10.已知圆C₁:x²+(y-3)²=1,椭圆,直线l:y=kax+m,则()

A.若1与C₁相交于P,P₂,对于k∈R,m∈R,|PP₂|不可能是定值

B.若l与C₁,C₂都相切，则这样的直线I有四条

C.若1与椭圆C₂相切且与圆C₁有两个交点P,P2,则△C₁PP₂面积的最大值为0.5

D.若I与圆C₁相切且与椭圆C₂有两个交点，则m<4-√5或m>4+√5

11.古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角

α的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为2β,则曲线的离心率为

如图，圆锥SO的底面半径为4,母线长为12,△SAB是圆锥的一个轴截面，D

为SA中点，过B,D两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆T,则()

A.椭圆厂的长轴为2√17

B.椭圆厂的离心率

C.SO与BD的交点是椭圆厂的一个焦点

D.内接于椭圆I的矩形面积最大值为4√34

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.椭圆5x²+6y²=1的离心率为

13.已知的展开式共有9项，则展开式中的常数项为_·

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14.在一次数学活动中，一位同学设计了有序实数组A=(a,a₂,a₃,…,an),a₁∈{0,1},i=1,

2,3,…,n,f(A)表示把A中每个1替换为两个连续元素0,0,每个0替换为一

个元素1,按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如A={0,1},则f(A)={1,0,0}.定义

Ax+1=f(A),k∈N若A₁={0,1},则A₁,A₂,A₃,…,Ao中1的总个数为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过

程或演算步骤。

15.(13分)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁,E,F,G分别为AB,AA,A₁D的中点.

(1)在线段B₁D₁存在一点0,使BO//面EFG试确定点O的位置；

(2)求平面EFG与平面A₁ADD夹角的余弦值.

C

16.(15分)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，

测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：

质量差(单位：mg)5457606366

件数(单位：件)52146253

(1)求样本质量差的平均数x;假设零件的质量差X～N(μ,o²),其中o²=16,用x作为μ

的近似值，求P(56<X<68)的值，

(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若

两条生产线的废品率分别为0.016和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立

的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.

(i)求抽取的零件为废品的概率；

(ii)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量X～N(μ,o²),则

P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973

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17.(15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，点D在边BC上，AD

是角A的内角平分线，

(1)求cosB;

(2)E在AD的延长线上，连接EC,,在直线AC上是否存在一点H,使BH//EC.

若存在，求AH的长，若不存在，说明理由.

18.(17分)已知抛物线E:x²=4y的焦点为F,P(m,n)(m≠0)是E上的动点，过P点作E的

切线1,直线1与椭圆C)交于A,B两个不同的点，记AB的中点为

D.设直线OD(O为原点)与直线.交于Q.

(1)若椭圆C经过抛物线E的焦点，且椭圆的离心率为,求椭圆C的方程；

(2)在(1)的条件下，证明：直线与直线PQ垂直；

(3)若1与FQ交于G,且a=2b,证明：

19.(17分)设函数f(x)=x(Inx)²-(a+2)xlnx+(a+3)x,a>0.

(1)a=1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若f(x)有两个极值点x₁,x₂且x<x₂,证明：

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宝安区2026-2027第一学期高三教学质量监测

数学试题答案及评分参考2026.9

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

题号12345678

答案CCABDBAD

7.【详解】设等差数列{a}的公差为d.由S₃=18,得a₁+a₂+a₃=a₁+a₁+d+a+2d=3₁+31=18①,

由T₂=10得a₁-8+2a₂+1=a₁-8+2(a₁+d)+1=10,:3a₁+2d=17②,

联立①②,,解得a₁=5,d=1,

所以aₙ=a₁+(n-1)d=5+(n-1)×1=n+4.

所以T₂₀=(b₁+b₃+…+b₁₉)+(b₂+b₄+…+b₂₀)=(-3-1+1+…+15)+(13+17+…+49)

8.对于A,当“X=2”时，可能出现2个黄球，1个红球的情况，不正确.

对于B,当“X=1”时，可能出现2红，1黄或2白，1黑，

,不正确

对于C,当“X≤0”时，可能出现2红，1黑；2黄，1黑；1红，1黄，1黑；1红，1

白，1黑；1黄，1白，1黑

,不正确

对于D,每摸出1个球得分期望为,故,正确。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

数学答案第1页(共7页)

题号91011

答案ACDBCDABD

11.【详解】在Rt△SOA中，SA=12,OA=4,∠OSA=∠OSB=β,

所以

对于A,椭圆的长轴为BD的长，在△SBD中，

所以根据余弦定理

所以BD=√68=2√17,A正确；

对于B,如图

B

设SO与BD的交点为E,由线面角定义可知∠OEB=α,

由上可知BD=2√17,AD=6,AB=8,

在△ABD中，

在Rt△OBE中，

由题设可知,B选项正确；

对于C,由上可知2a=2√17,a=√17,,所以c=3.

数学答案第2页(共7页)

在Rt△OEB中，,所

又a+c=3+√17,所以E不为椭圆焦点，故C选项错误；

对于D,如图：椭圆的标准方程

法一：设c(√17cosθ,2√2sine),则四边形面积S=8√34sinθ·cosθ=4√34sin20

选项正确.

当时，Smx=4√34D

法二：不妨设C在第一象限，点坐标为C(x,y),∵,xy≤√34

而S=4xy≤4√34选项D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

213.112014.2⁵¹-2

14.【详解】因为A₁={0,1},所以A₂={1,0,0},A₃={0,0,1,1},A₄={1,1,0,0,0,0},A₅={0,0,0,0,1,1,1,1},

A₆={1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0},显然，A,A₃,A₃中分别有2,4,8项，其中项数的项为1,A₂,A,

A₆中分别有3,6,12项，其中项数1.设A中总共有a项，其中有b,项1.

所以，A,A₂,A₃,…,A₀0中1的总个数

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)【详解】(1)取BC,CC₁,C₁D₁的中点分别为H,I,J,连接EH,HI,IJ,JG,

数学答案第3页(共7页)

连接GH,EJ,FI,而GH,EJ,FI都经过正方体中心，两两相交，所以多边形EFGJIH为平面六边形，且边长

相等，故EFGJIH为平面正六边形.……2分

取EH,GJ的中点，记为M,N,取B₁D的中点为0,连接BO,MN……3分

∵BMI/ON,BM=ON,四边形BMNO为平行四边形，故BO//MN,……4分

∵MNc面EFG,BOa面EFG,∴BO//面EFG,故线段B₁D₁的中点为O满足题意……6分

C₁

C

(2)延长DA,GF相交于K,过A作AL⊥GK,交GK于L,连接EL,……7分

∵EA1面A₁ADD,AL⊥GK,∴∠ELA为平面EFG与平面A₁ADD夹角，……9分

设正方体边长为2,则……11分

故∴平面EFG与平面A₁ADD,夹角的余弦值……13分

(附注：若以建立空间直角坐标系完成，酌情给分)

C

C

16.(15分)【详解】(1)由题意可知

则X～N(60,16),所P(56<X<68)=P(60-4<X<60+4×2)

…………6分

(2)(i)设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”,

数学答案第4页(共7页)

事件B₁表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”,

事件B₂表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”,…7分

则,P(A|B₁)=0.016,P(A|B₂)=0.012,…9分

所

(ii)因,…13分

…15分

17.(15分)【详解】(1)由题∵……2分

解得：,……3分

在△ABD中，,………5分

∵AB²=AD²+BD²,..………7分

(2)由题·,故H应在CA的延长线上，且∵∠ABC=∠ACB

s∠AHB=π-ACE,-9分

……11分

∵∠AHB=π-∠ACE,.……13分

在△ABH中，

附注：(若此题考生使用建平面直角坐标系正确完成，可以给分)

18(17分)

【详解】(1)由题：抛物线E焦点为(0,1),故b=1,因为椭圆C的离心率为.,所以a=2

故椭圆的方程为·………………3分

(2)由(1)可知a=2,b=1,p=2,即

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).由于P在抛物线上，所………4分

数学答案第5页(共7页)

由x²=4y两边关于x求导数得，所以切线l的斜率1,其方程.………5分

联立方

显然x1,x₂为方程①的两根，

所以D点坐标………8分

因此，直线OD的方程………9分

联立方程得Q的横坐标x=m,所以j垂直.………10分

(3)当a=2b时，直线即y介于x轴与抛物线准线之间的平行线.………11分

延长PQ交抛物线的准线y=-1于H点，

则H点的坐标为(m,-1);F点的坐标为(0,1),……12分

则直线HF的斜率为又直线L的斜率,所以l⊥HF.……13分

由抛物线的定义，△PFH为等腰三角形，且得直线l平分∠FPH.

所以，………15分

由角平分线性质可知所以，.………17分

19.(17分)

【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=(Inx)²-alnx+1.………2分

所以f(e)=2-a,f(e)=e-(a+2)e+(a+3)e=2e,

因此曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y-2e=(2-a)(x-