【新教材】人教版（2024）八年级上册数学17.2 用公式法分解因式 教案

第第页【新教材】人教版（2024）八年级上册数学\o"17.2用公式法分解因式"17.2用公式法分解因式教案课题17.2用公式法分解因式（第一课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法因式分解基础。后启：后续学习完全平方公式、分式化简等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握整式乘法公式-平方差公式。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的平方差公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备公式法的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能理解平方差公式因式分解的推导过程，掌握平方差公式的结构特征，能运用平方差公式对符合条件的多项式进行因式分解。二、过程与方法通过观察、对比、推导，体会“逆向思维”在数学中的应用，提升分析和归纳能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，感受数学知识的连贯性和实用性，体会“逆向思考”运算.学习重点平方差公式的结构特征及运用公式进行因式分解。学习难点准确识别符合平方差公式的多项式，灵活处理因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含整式乘法练习题、公式推导动画、例题解析）预习单、练习本教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟1.什么是因式分解？2.已学的因式分解方法是什么？3.整式乘法中的平方差公式是什么？逆向思考：将平方差公式反过来，得到a²-b²=(a+b)(a-b)，这就是因式分解的平方差公式。引出课题：用平方差公式因式分解。学生复习，口述把一个多项式化成几个整式的积的形式。提取公因式法(a+b)(a-b)=a²-b²复习导入，引出新知，体会知识的完整性和连贯性。环节二：新知探究10分钟1.公式推导：教师引导学生对比：乘法公式：“和×差→平方差”，因式分解：“平方差→和×差”，强调二者是互逆运算。板书公式：a²-b²=(a+b)(a-b)，其中a、b可以是单独的数、字母，也可以是单项式或多项式。教师引导学生观察结构有什么特征？针对练习：教科书P129练习1下列多项式能否用平方差公式因式分解？x²+y²x²-y²-x²+y²-x²-y²学生观察结构特征分析、对比：1.多项式必须是二项式，且两项符号相反；2.两项都能写成一个整式的平方形式（即“平方差”形式）。学生对照平方差公式，做出判断。x²+y²不能x²-y²能-x²+y²能-x²-y²不能环节三：巩固应用15分钟例1分解因式（直接用公式）：(1)4x²-9(2)a²-25b²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。4x²=(2x)²,9=(3)²,25b²=(5b)².例2分解因式（高阶，整体法）：(1)(2)(x+p)²-(x+q)²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。,(x+p)和(x+q)整体。针对练习：教科书P129练习1(1)36-m²(2)49n²-1(3)a²-0.04b²4b²-(b+c)²(m+n)²-(m-2n)²总结步骤：因式分解时，先看是否有公因式，再看是否符合平方差公式，分解要彻底。课堂练习，强化技反馈纠正：通过抽查、小组互查方式核对答案，针对共性错误集中讲解。学生对照公式直接计算(1)4x²-9=(2x)²-3²=(2x+3)(2x-3)a²-25b²=a²-(5b)²=(a+5b)(a-5b)(1)(2)(x+p)²-(x+q)²=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q)针对练习：教科书P129练习1(1)36-m²(2)49n²-1a²-0.04b²巩固公式应用(4)(5)4b²-(b+c)²(6)(m+n)²-(m-2n)²结合多项式结构特点巩固公式应用环节四：拓展提升5分钟教科书P127习题17.1第7题设n是奇数，求证：n²除以8的余数是1.教师提问：奇数用代数式如何表示？数量关系如何用算式表示？师生总结：整除问题的解决方法。学生小组合作，交流被除数=除数×商+余数(2k+1)²-1=(2k+1+1)(2k+1-1)=4(k+1)k4(k+1)k一定能被8整数巩固因式分解在三角形问题中的应用环节五：课堂小结与课堂检测3分钟1.本节课学习了什么公式？（平方差公式因式分解）公式的结构特征是什么？（二项式、异号、平方项）因式分解的一般步骤是什么？（先提公因式，再用公式，分解彻底）2.板书知识框架，帮助学生构建体系。7分钟限时检测1．因式分解：a2−4(a+b)A．(3a+2b)(a−2b)B．(5a+4b)(−3a−4b)C．−(5a+4b)(3a+4b)D．−(3a+2b)(a+2b)2．已知m+n=4，m2−n2=−8A．−4 B．−2 C．2 D．43.分解因式：(1)9−m2；(2)4n2−1；(3)4b2−(b+c)2；(4)(m−2n)2−(m−2n)2.4.计算下列各题：(1)1012−992；(2)53.52×4−46.52×4.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业基础作业：教科书P132习题17.2第1题；拓展作业：思考“4x²-4x+1能否用平方差公式因式分解？为什么？”，为下节课完全平方公式做铺垫。板书设计17.2用公式法因式分解（第一课时）一、复习回顾1.因式分解：多项式→整式积2.平方差乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²二、因式分解平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)特征：①二项式②异号③平方项三、因式分解步骤：先提公因式→再用公式→分解彻底四、例题解析例1：x²-16=(x+4)(x-4)例2：3x²-27=3(x²-9)=3(x+3)(x-3)教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.2提公因式分解因式（1）教学设计全部内容课题17.2用公式法分解因式（第二课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法-完全平方公式进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法因式分解基础。后启：后续学习分式化简等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握平方差公式因式分解。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的完全平方公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备公式法的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能理解完全平方公式因式分解的推导过程，掌握完全平方公式的结构特征，能运用完全平方公式对符合条件的多项式进行因式分解。二、过程与方法通过观察、对比、推导，体会“逆向思维”在数学中的应用，提升分析和归纳能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，感受数学知识的连贯性和实用性，体会“逆向思考”运算.学习重点完全平方公式的结构特征及运用公式进行因式分解。学习难点准确识别符合完全平方公式公式的多项式，灵活处理因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含整式乘法练习题、公式推导动画、例题解析）预习单、练习本教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟1.什么是因式分解？2.已学的因式分解方法有哪些？3.整式乘法中的完全平方公式是什么？4.快速因式分解(1)4(m+n)2+2(m+n)(2)49n²-1教师核对过程及结果，进行评价。逆向思考：将完全平方反过来，得到a²-b²=(a+b)(a-b)，这就是因式分解的平方差公式。引出课题：用平方差公式因式分解。学生复习，口述把一个多项式化成几个整式的积的形式提取公因式法平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²学生计算，复习旧知(1)4(m+n)2+2(m+n)=2(m+n)(2m+2n+1)(2)49n²-1=(7n+1)(7n-1)错误反馈整改。1.

复习回顾平方差公式分解因式，提问“整式乘法中的完全平方公式反过来是什么形式？”，引出课题。环节二：新知探究10分钟1.公式推导：教师引导学生对比：乘法公式：完全平方公式“和×和→两项平方和加两倍积”“差×差→两项平方和减两倍积”(a±b)²=a²±2ab+b²由等式性质：因式分解：“两项平方和加两倍积→和×和”“两项平方和减两倍积→差×差”强调二者是互逆运算。板书公式：a²±2ab+b=(a±b)²，其中a、b可以是单独的数、字母，也可以是单项式或多项式。教师引导学生观察结构有什么特征？结构特征：两项平方和加/减两倍积→和×和、差×差。针对练习：教科书P131练习1下列多项式能否用完全平方公式因式分解？(1)a²-4a+4(2)1+4a(3)4b²+4b-1(4)a²+ab+b²学生观察结构特征分析、对比：1.多项式必须是二次三项式。2.两项平方和，加/减两倍积形式。学生对照完全平方公式，做出判断。(1)a²-4a+4能(2)1+4a不能(3)4b²+4b-1不能(4)a²+ab+b²不能明确算理夯实基础。选取基础习题、提升学生运用公式的准确性及熟练程度。环节三：巩固应用15分钟例1分解因式（直接用公式）：(1)x²+4x+4(2)16x²-24x+9解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。x²=(x)²,4x=2×x×2,4=(2)²;16x²=(4x)²,-24x=-2×4x×3,9=(3)².例2分解因式（高阶，整体法）：(1)(a+b)²-12(a+b)+36(2)-x²+4xy-4y²解析：先确定a、b，再代入公式，结果要化为最简整式积。(a+b)视为整体，先提出公因数-1，添括号，后完全平方公式。教师巡视点拨，规范书写过程。针对练习：教科书P131练习2(1)a²+2a+1(2)x²-12x+36(3)4x²-4x+1(4)4p²+12pq+9q²(5)(x+y)²-10(x+y)+25(6)-2xy-x²-y²总结步骤：因式分解时，先看是否有公因式，再看是否符合完全平方公式，分解要彻底。课堂练习，强化技反馈纠正：通过抽查、小组互查方式核对答案，针对共性错误集中讲解。学生对照公式直接计算x²+4x+4=x²+2×x×2+2²=(x+2)²(2)16x²-24x+9=(4x)²-2×4x×3+3²=(4x-3)².(a+b)²-12(a+b)+36=(a+b-6)²-x²+4xy-4y²=-（x²-4xy-4y²）=-（x-2y）²教科书P131练习2(1)a²+2a+1(2)x²-12x+36(3)4x²-4x+1(4)4p²+12pq+9q²巩固公式运用(5)(x+y)²-10(x+y)+25(6)-2xy-x²-y²结合多项式结构特点巩固公式应用选取基础题、稍难题分层讲解，强调先判断结构、再确定a和b的步骤，规范解题格式。渗透整体思想渗透转化思想布置梯度练习题，学生独立完成后小组互评，教师针对性纠错。。环节四：拓展提升5分钟若多项式4x2−mxy+92.x学生从结构特征入手解题。深度挖掘学生解决问题能力环节五：课堂小结与课堂检测3分钟师生共同总结：简述完全平方公式分解因式的得出过程。1.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²2.结构特征：两项平方和±两倍积3.解题步骤：判断结构→确定a、b→套用公式7分钟限时检测1.分解因式：(1)a2+2a+1；(2)x2−12x+36；(3)4x2−4x+1；(4)4p2+12pq+9q2；(5)(x+y)2−10(x+y)+25；(6)−2xy−x2−y2.2.利用完全平方公式计算：(1)1002−2×100×99+992；(2)342+34×32+162.学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业基础作业：教科书P132习题17.2第2、4题；拓展作业：思考“4x²+mx+1、4x²+4x+n能否是完全平方式？试求m、n的值”，为深入理解完全平方公式做铺垫。板书设计17.2用公式法分解因式（第二课时）1.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²2.结构特征：两项平方和±两倍积3.解题步骤：判断结构→确定a、b→套用公式教学反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.2提公因式分解因式（2）教学设计全部内容课题17.2用公式法分解因式（第三课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用公式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法和提取公因式法、公式法因式分解基础。后启：后续学习分式运算等内容的基础。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握提公因式、公式法因式分解。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难操作失误：整式乘法公式记忆不准确，导致操作失误，结果有偏差。学生已掌握整式乘法中的平方差公式、完全平方公式，理解因式分解与整式乘法的互逆关系，具备提取公因式的基本能力，但对“逆向运用公式”的思维转换存在困难，对待复杂形式的多项式因式分解无从下手，需要通过实例引导突破。学习目标一、知识与技能掌握“先提公因式，再用公式法”的分解步骤，能熟练运用平方差公式分解复杂多项式；理解因式分解的彻底性要求。补充：十字相乘法二、过程与方法通过例题分析、小组讨论，经历“观察—提取—套用—验证”的分解过程，培养逆向思维和逻辑推理能力。三、情感态度与价值观感受数学的严谨性，熟练运用因式分解的方法解决复杂多项式的分解问题，体会因式分解工具性的特点.学习重点“先提公因式，再用平方差公式”的综合运用。综合运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式的结构特征及运用多种方法进行因式分解。学习难点结合复杂多项式的结构特点，准确识别多项式符合的类型，灵活处理高次幂多项式因式分解的完整过程（先提公因式，再用公式）补充：十字相乘法学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（包含复习题、例题、练习题）教学思路复习引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入5分钟1.什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？2.因式分解的方法有哪些？3.基础练习分解因式：①6x²y-9xy²②36-m²③16x²-24x+9学生回忆，口答学生独立计算所有学生完毕后与教师出示的步骤核对出处并改正。环节二：新知探究15分钟当多项式既存在公因式，又是平方差形式，或为高次幂多项式时，该如何分解？引出本节课例题例5分解因式(2)a³b-ab教师引导步骤1：观察多项式，有无公因式？直接判断形式，你有什么发现？转化后，符合平方差公式步骤2：强调分解彻底性。步骤3：总结：高次幂多项式分解后，需检查每个因式是否能再分解，直到不能分解为止。(2)a³b-ab教师引导步骤1：观察多项式，引导学生发现各项是否含有公因式？先提取公因式步骤2：分析剩余部分结构特征，是否符合公式法形式，套用公式步骤3：验证分解彻底性，不能再分解，确认结果正确。归纳核心步骤师生共同总结：综合运用公式法分解因式的步骤“一提（公因式）、二套（公式）、三查（彻底性）”。小组合作观察，思考，作答，书写，表述，评价无公因式转化形式：观察结构特点，套用公式，检验结果类比学习a³b-ab观察多项式，学生发现各项含有公因式ab，需要先提取公因式。步骤2：分析剩余部分结构特征，符合平方差公式法形式，套用公式：验证分解彻底性，不能再分解，确认结果正确。师生小结：有公因式先提公因式，再看剩余部分是否能套用公式。a³b-ab=ab(a²-1)=ab(a+1)(a-1)生小结：有公因式先提公因式，再看剩余部分是否能套用公式。通过观察分析高次幂多项式结构特征，因式分解，后需检查每个因式是否能再分解，直到不能分解为止。环节三：巩固练习7分钟例6分解因式(1)3ax²+6axy+3ay²-ax²+2a²x-a³

教师梳理：因式分解需遵循“先提公因式，再用公式”，牢记“分解要彻底”，平方差公式适用于两项异号、均为完全平方的多项式。结合学生步骤及错题教师强调注意事项：运算顺序，结果要彻底，符号问题。学生独立完成，教师巡视指导，指名板演，纠错点评。(1)3ax²+6abxy+3ay²=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²

-ax²+2a²x-a³=-a(x²-2ax+a²)

=-a(x-a)²巩固练习，深化理解环节四：拓展提升8分钟教科书P133阅读与思考我们明确了整式乘法与因式分解的关系。思考：我们知道整式乘法(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq

，反过来，就是因式分解x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例题教师示范，精讲