【新教材】人教版（2024）八年级上册数学17.1 用提公因式法分解因式 教案

第第页【新教材】人教版（2024）八年级上册数学\o"17.1用提公因式法分解因式"17.1用提公因式法分解因式教案课题17.1用提公因式法分解因式（第一课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已掌握整式乘法法则，能计算单项式乘多项式，对“乘法分配律”有一定认知，具备理解“提公因式”的前提。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能1.理解因式分解概念且会识别；2.理解公因式的定义，掌握提公因式法分解因式的基本步骤。过程与方法通过“整式乘法→逆向推导→归纳方法”的过程，培养逆向思维和代数变形能力；通过小组讨论找公因式，提升合作探究与逻辑表达能力。情感态度与价值观感受数学的严谨性，体会“逆向思考”运算.学习重点理解因式分解概念且会识别；确定多项式的公因式正确因式分解。学习难点确定多项式的公因式；提取公因式后剩余项的确定（避免漏项）；处理符号问题（如多项式首项为负时，提取带负号的公因式）。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路情境引入-新知探究-巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：问题引入时间教师活动学生活动设计意图2分钟章前言情境导入提出问题：在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的，某单人跳水选手完成了一个难度系数为P的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分，会剩下3个分数a、b、c，求选手的得分？2.引导思考，引出主题：从整式运算角度看，从②到①是整式运算，从①到②相当于把一个多项式写成两个整式的乘积。问题本质是找“pa、pb、pc”的公共因式，引出本节课主题——提公因式法分解因式。学生思考作答①pa+pb+pc或②p(a+b+c)结合生活实际情境，激发学生兴趣环节二：知识精讲15分钟一、回顾旧知：1.快速复习“整数的分解”法则，计算33=，42=。教师过渡语：类比整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式乘积的形式。二、探究新知1.计算请把下列多项式写成整式的乘积的形式；x²+x=，x²-1=，x²+2x+1=.2.生成新知教师引导学生观察、分析、发现、归纳规律并板书：我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解(factorization)，也叫做把这个多项式分解因式.教师引导学生解读概念：①因式分解研究的对象是多项式，结果是整式的积。②因式分解是恒等变形，形式改变但值不变。③因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止。④因式分解与整式乘法是方向相反的变形。章前言中提到pa+pb+pc=p(a+b+c)追问：多项式pa+pb+pc的各项有什么共同特征？我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法．针对练习：找出多项式的公因式ac+bc；3m2+12m；a2b-2ab+ab2；4xy2-6xy+8x2y.例1分解因式：(1)mx2+my2；(2)3x2−4xy2+x.教师精讲例题示范分析：给出3x2−4xy2+x，引导学生观察各项的系数和字母：系数：3、-4、1的最大公约数是1；字母：各项都含字母“x”，指数：x的最低次幂是1；总结：这个多项式的公因式是“x”。教师板书：3x2−4xy2+x=x(3x−4y2+1).逆向推导：x(3x−4y2+1)=3x2−4xy2+x.（含易错点强调）：强调：括号内各项是“原项÷公因式”，不能漏项；若首项为负时，提取负公因式，括号内各项要变号。学生思考，口答33=3×11，42=2×3×7。学生独立计算根据整式的乘法，得到x²+x=x(x+1),x²-1=(x+1)(x-1)，x²+2x+1=(x+1)².学生独立完成同步练习1：下列式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？问什么？（教科书P125练习1）4a(a+2b)=4a²+8ab,a²-4=(a+2)(a-2)，x²-3x+2=x(x-3)+2.都含有相同的因式p对照实例，老师解读提公因式的概念和步骤。结合pa+pb+pc=p(a+b+c)得出过程，学生完成例1分解因式：(1)mx2+my2；结合例1(2)的得出过程，学生小结：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.类比整数的分解，过渡到整式的因式分解。通过旧知识整式乘法运算，等式的结构特点，过渡到新知识整式的因式分解。体会整式乘法运算与因式分解的互逆关系。巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。环节三：巩固练习，分层提升15分钟1.基础题（全体必做）教师巡视，纠正符号、漏项错误。纠错反馈：展示学生典型错题,剖析错因，师生改错，强化注意事项。xy−y2+yz=y(x−y+z)或xy−y2+yz=-y(-x+y-z)提升题（小组合作，8分钟）：深度挖掘：实质：乘法的分配律2名学生板演同步练习2：因式分解（教科书P125练习2）ax−aya²-2aa²+abxy−y2+yz同步练习3：利用因式分解计算（教科书P125练习3）(1)1.99²+1.99×0.01；(2)49×20.22+52×20.22-20.22(3)5×3⁴+4×3⁴+9×3²结合（3）强化“分解彻底”意识，小组讨论后展示答案巩固“找公因式”和“基本提取步骤”。巩固提公因式分解因式，体会因式分解的便利性，深度挖掘运算的实质-小学阶段学习的乘法分配律。环节四：课堂小结及课堂检测 3分钟1.知识回顾：什么是公因式？找公因式的关键是什么？提公因式法分解因式的步骤？常见易错点有哪些？2.新知生成过程回顾：因式分解是如何得出的？强调“逆向思维”公因式概念三定：系数；字母；指数（漏项、符号错误、公因式找不全）因式分解与整式乘法的互逆关系。10分钟限时检测1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1)-a(a+2b)=-a2-2ab；(2)a2−9=(a+3)(a−3)；(3)x2−3x+2=x(x−3)+2.2.分解因式：(1)3x+6y;(2)ab－2ac;(3)a2－a3;(4)4(m+n)2+2(m+n);(5)9m2n－6mn;(6)－6x2y－8xy2.3.利用因式分解计算：(1)39×37–13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14．4.利用因式分解求整式的值.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．学习评价过程性评价：观察学生在课堂师生活动中的参与度（占比60%）结果性评价：答题规范性、准确率（占比40%）布置作业纸笔作业：基础类作业：习题17.1第1，2，3题.提升类作业：习题17.1第7题.拓展类作业：3.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=.（3）思考“如何分解因式2(x-y)²-(x-y)”，为下一节课“公因式为多项式”的深入学习做准备。背诵作业因式分解概念、提公因式法因式分解的步骤拓展阅读拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：原式＝x2＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（x2＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式请类比上面的示例，分解因式：x2＋5x＋6板书设计17.1用提公因式法分解因式一、因式分解例1分解因式：1.定义：一个多项式化成了几个整式的积的形式(1)mx2+my2；整式乘法运算与因式分解互为逆运算。(2)3x2−4xy2+x.2.公因式确定方法注意事项步骤：1.定系数2.定字母3.定指数3.提公因式法步骤：1.找公因式2.提3.乘积形式课后反思1.教学目标达成度2.教学过程合理性3.学生表现和反馈4.习题的设计科学性5.教师的基本功6.二次备课及改进方向上述内容为17.1提公因式分解因式（1）教学设计全部内容课题17.1用提公因式法分解因式（第二课时）课型新授课☑章/单元复习课□专题复习课□习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□课标要求能用提公因式法进行分解因式教材分析前承：整式乘法是提公因式的逆向运算基础；后启：后续学习公式法因式分解、分式化简、一元二次方程求解等，提公因式法是这些内容的“前置工具”。学情分析一、已有基础1.知识层面：已初步掌握提公因式因式分解的基本步骤，能初步对较简单的多项式提公因式。2.能力层面：初步具备简单代数运算能力，但逆向思维和代数变形意识较弱。二、潜在困难1.概念混淆：易将“公因式”与“最大公约数”“同类项”概念混淆。2.操作失误：提取公因式后漏项，符号处理错误。学习目标一、知识与技能熟练掌握复杂单项式公因式（含多字母、高次幂）的确定方法，能识别并提取多项式型公因式，准确运用提公因式法分解较复杂的多项式。二、过程与方法通过实例探究、小组合作，经历“观察—识别—转化—分解”的过程，体会整体思想和转化思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。三、情感态度与价值观感受因式分解的实用性，培养学生严谨的运算习惯。学习重点复杂公因式（复杂单项式、多项式）的确定与提公因式法的灵活应用。学习难点多项式型公因式的识别，尤其是符号不同的多项式（如(a-b)与(b-a)）的转化。学习策略启发式教学+小组合作学习+讲练结合课前准备多媒体课件（含复习题、探究题、练习题）课堂练习单（分层设计）教学思路复习引入-新知探究,巩固应用-拓展提升-课堂小结教学过程（45分钟）环节一：复习引入时间教师活动学生活动设计意图5分钟复习提问：什么是因式分解？它与整式乘法是什么关系？2.基础练习分解因式：①6x²y-9xy²②-4a³+8a²学生口答，强调“互逆变形”学生独立练习课件展示步骤及结果师生评价复习旧知，巩固基础环节二：探究新知+巩固应用25分钟师过渡语：上节课我们解决了公因式是简单单项式的情况，今天我们来挑战更复杂的情况——当公因式是复杂单项式或多项式时，该如何分解因式？探究一：复杂单项式公因式的确定例2：分解因式8a³b²+12ab³c教师引导：追问1：系数8和12的最大公约数是多少？追问2：各项含有的相同字母有哪些？（a、b）追问3：相同字母的最低次幂分别是什么？（a^1、b^2）学生方法提炼，教师板书：定系数（最大公约数）→定字母（相同字母）→定指数（最低次幂）针对练习：教科书126页练习1(1)(2)(1)8m²n+2mn(2)4a²b+10ab-ab²探究二：多项式型公因式的识别与提取例3：分解因式(1)2a(b+c)-3(b+c）(2)4(a-b)³-8(b-a)²教师引导观察：式子中重复出现的部分是什么？类比迁移：整体法把(b+c)看成一个整体。学生独立完成分解后，教师板书：(1)2a(b+c)-3(b+c）=(b+c)(2a-3）例题精讲(2)4(a-b)³-8(b-a)²难点突破：提问：(a-b)与(b-a)有什么关系？提问：如何转化问题？教师巡视指导规范解答：4(a-b)³-8(b-a)²=4(a-b)²(a-b-2)师强调：遇到多项式公因式时，运用“整体思想”将其视为单个因式，符号不同时先通过变形转化为相同形式。针对练习：教科书126页练习1(3)(4)p(a²+b²)-q(a²+b²)(4)2a(y-z)³-4b(z-y)³先因式分解，再求值：4a²(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.学生思考，计算，表达系数8和12的最大公约数是多少4；8a³b²，12ab³c含有的相同字母有a、b。相同字母的最低次幂分别是a、b²。总结：公因式为4ab²，进而完成分解：8a³b²+12ab³c=4ab²(2a²+3bc)选2名学生板演全班都做师生评价计算步骤及结果学生观察，作答式子中重复出现的部分是b+c。类比迁移：(b+c)看成一个整体，它就是公因式-学生独立完成分解，解：原式=(b+c)(2a-3）难点突破：b)与(b-a)关系：互为相反数。故平方相等。学生小组讨论转化方法规范解答：原式==4(a-b)²(a-b-2)总结：遇到多项式公因式时，运用“整体思想”转化问题。目的：巩固复杂单项式公因式和符号转化基础。提高题（小组合作）目的：强化“提尽公因式”和多项式公因式转化。学生计算，错题再现纠错。采用“学生互评+教师点评”模式，重点纠正“公因式找不全”“符号错误”“分解不彻底”等问题。环节三：拓展提升5分钟出示拓展题分解因式：2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(x+y-z)提示：先统一公因式的符号(x+y-z)总结升华：提公因式法的核心是“找准公因式”，无论公因式是单项式还是多项式，都遵循“找—提—验”的基本流程，关键在于灵活运用转化思想和整体思想。学生独立思考后，教师引导完成分解：原式=(x+y-z)(2a-3b-5c)或原式=(-x-y+z)(-2a+3b+5c)环节四：课堂小结及课堂检测 3分钟复杂公因式的确定方法、多项式公因式的转化技巧、整体与转化思想的应用。核心步骤：找公因式→提公因式→验结果思想方法：整体思想、转化思想7分钟