人教版数学八年级上册 第14章 全等三角形（24个高频易错考点训练 共48题） 同步练习 含答案

第14章全等三角形（易错题考点集训）【24个高频易错考点共48题】TOC\o"1-2"\h\u易错考点01：全等三角形的性质 2易错考点02：用SSS证明三角形全等 2易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 4易错考点04：全等的性质和SSS综合 5易错考点05：用SAS证明三角形全等 7易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 7易错考点07：全等的性质和SAS综合 9易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 9易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 10易错考点10：用HL证全等（(HL） 12易错考点11：全等的性质和HL综合 13易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 14易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 14易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 16易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 18易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 19易错考点17：全等三角形综合问题 20易错考点18：尺规作一个角等于已知角 21易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 22易错考点20：尺规作图—作三角形 23易错考点21：作角平分线（尺规作图） 24易错考点22：角平分线的性质定理 25易错考点23：角平分线的判定定理 26易错考点24：角平分线性质的实际应用 27易错考点01：全等三角形的性质1．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE=90°，且AC=7cm，CE=8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、MA．1 B．1或3 C．2或4 D．1或42．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？易错考点02：用SSS证明三角形全等3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O

作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D④过点D′画射线O′BA．AAS B．SAS C．ASA D．SSS4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点③画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题：(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA．(2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△OMC和△ONC中，OM=∴△OMC≌∴∠MOC=⑤________．∴OC为∠AOB的角平分线．易错考点03：用SSS间接证明三角形全等5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：已知：直线AB及直线外一点C．求作：过点C作直线AB的平行线CD．作法：①过点C作一条直线EF，与直线AB相交于点E；②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交EF，AB于点M，N；③以点C为圆心，EM长为半径画弧，交CF于点M′④以点M′为圆心，MN长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点N⑤连接CN′，并两端延长为直线CD，则直线请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△EMN和△CMEM=CM∴△EMN≌△CM∴∠_______=∠M∴AB∥6．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．易错考点04：全等的性质和SSS综合7．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，AB=BC，∠BCD=45°，∠A=135°，点E，F分别在CD，AD上，EF=CE+AF，延长DC至点H，使得CH=AF，连接BH．求证：(1)△BCH≌△BAF；(2)∠EBF=18．（21-22八年级上·四川德阳·期中）填空：如图，点E，F在BC上，BE=CF，证明：∵BE=CF∴BE+______=CF+______．即______=_______．在△ABF和△DCE中，AB=DC∴△≌△（

）∴∠B=∠C（

）．易错考点05：用SAS证明三角形全等9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG，CF=AB．(1)试说明：△ABG≌△CFB；(2)试说明BF与BG的关系？并说明理由．10.如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB=30°，∠B=55°，则∠BDE的度数为（

）A．35° B．40° C．45° D．50°易错考点06：用SAS间接证明三角形全等11．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若∠1=20°，则∠2的度数为（

）A．80° B．70° C．60° D．20°12．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．(1)性质探究：如图1，已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，AC、BD交于点O，AC=BD，且AC⊥BD，求证：四边形(2)问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：四边形(3)拓展应用：如图3；已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，若MN=2，求AB+CD的最小值．易错考点07：全等的性质和SAS综合13．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，BD=BC，BE=CA，∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠EBC的度数为（

）A．12° B．13° C．14° D．15°14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（

）A．33° B．76° C．57° D．66°易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等15．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF=AC．(1)求证：△ADC≌(2)若DF=2，AF=3，求BC的长．16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：EF=BE−CF；（3）如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC．点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为20，求△ACF与△BDE的面积之和．易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合17．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点归纳证明：如图③，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC,AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E,F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．18．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为（2）如图②，将（1）中的条件改为在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且有易错考点10：用HL证全等（(HL）19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在△ABC中，AB<AC，点D在△ABC的内部，CD=AB，∠DBA=∠DCA．(1)如图1，线段BD的延长线交AC于点E，且BE⊥AC，线段AC，BD，DE之间的数量关系是______．(2)如图2，点F在线段DB的延长线上，连接CF交射线AD于点M，且M为CF的中点，求证：DF=AC．20．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，cobb角（∠O）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当cobb角>10°为脊柱侧弯．已知AC⊥BO，BD⊥AO，CO=DO，AD=BC．(1)△ACO与△BDO全等吗？请说明理由．(2)若小明是轻度脊柱侧弯（10°<∠O<25°），直接写出与∠O相等的角：．易错考点11：全等的性质和HL综合21．（21-22八年级上·全国·期中）如图，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP．其中结论正确的是（A．①②③ B．①② C．① D．①③22．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°−∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)如图2，点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长．易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合)23．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点D，E在△ABC的BC边上，∠B=∠C，要推理得出△ABE≌△ACD，则可以补充的条件是(至少写出4组条件)．24．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对应边或对应角添加一组等量条件（点A′,B′,C轮次行动者添加条件1甲AB=2乙∠A=∠3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（）A．若第3轮甲添加∠C=∠CB．若第3轮甲添加BC=BC．若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠AD．若第2轮乙添加条件修改为BC=B易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）25．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“△DEF≌△ABC”的依据是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等26．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：；丙：．(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题）27．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】(1)如图1，请写出AD的取值范围是；(2)如图2，已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．28．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED．（2）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是．（3）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想．易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题）29．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，已知AD=6，DF=2，则S△AEF=（

A．6 B．15 C．12 D．3030．（20-21八年级下·江西景德镇·期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=100°，∠EAF=50°，猜想并写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=2∠EAF．请写出线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏东20°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C，D处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题）31．（20-21八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A−2,0(1)求证：AB=CD且AB⊥CD；(2)以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE，过点E作EF⊥x轴于点F，求点F的坐标；(3)若点P为y轴正半轴上一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ，∠APQ=90°，QR⊥x轴于点R，当点P运动时，OP−QR的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．32．（20-21八年级上·福建福州·期末）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°, BC=2, AC=3，点D在RtΔABC的边AC上，DC=m，以BD为直角边在AC同侧作等腰直角三角形BDE，使BD=DE=n，连接AE，若A．nm=6 B．m+n=5 C．n−m=1 D．2n=3m易错考点17：全等三角形综合问题33．（25-26八年级上·辽宁盘锦·开学考试）在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，点D、E分别是边AC、BC上一点，连接AE、BD交于点G．(1)如图1，点F是AE上一点，连接CF，若∠BAC=∠BGE=∠EFC，求证：AG=CF；(2)如图2，若∠BAC=90°，AE⊥BD于点G，CF⊥AC交AE延长线于点F，若∠ADB=∠CDE，求证：AD=DC．34．（2023八年级上·广东·竞赛）如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB=12cm，AC=BD=8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t易错考点18：尺规作一个角等于已知角35．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，已知平面上有A、B、C三点，请按要求作图：(1)画直线BC，射线BA，线段AC；(2)在射线BA上作一点D，使得BD=AC+AB；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）(3)在直线BC上方作∠CBE=∠CAD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．写出结论）36．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知∠AOB，线段AB、a、b．(1)请用尺规按下列要求作图：（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①求作：∠A′O②延长线段AB到C，使BC=a，再反向延长线段AB到D，使AD=b．(2)在（1）②问的条件下，如果AB=8cm，a=6cm，b=10cm，且点E为CD易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线37．（2025·江苏扬州·二模）在一次数学兴趣小组活动中，小明对一个数学问题作如下探究：(1)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边DC的中点，连接AE，并延长交BC的延长线于点F．求证：点E是(2)如图2，∠AOB内部有一定点P，若过点P的直线l与角的两边OA,OB分别交于点M，N，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出直线MN，使得点P是线段MN的中点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；(3)如图3，小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，探索当MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．38．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知：如图，BD是△ABC的角平分线．(1)在边BC求作点E，使得DE∥AB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，请画出∠DEC的平分线EF，点F在CD上，并证明：BD∥EF．易错考点20：尺规作图—作三角形39．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知△ABC，点D在BC边上．(1)求作△DEF，使△DEF≌△BCA，并满足点E在BC的延长线上，DF∥(2)根据你的作图方法，说明△DEF≌△BCA的理由．40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm(1)如图，请你用直尺和圆规画出一个满足题设条件的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度．(2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，则用直尺和圆规画出所有这样的三角形，并标记已知角的度数和已知边的长度；若不能，则说明理由．(3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°易错考点21：作角平分线（尺规作图）41．（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD于点D，∠B=80°．(1)用直尺和圆规作∠A的平分线交BC于点E，DC的延长线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)在（1）所作的∠A的平分线中，求∠CFE的度数．解：∵CD⊥AD，∴∠D=90°①___________，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°②_______，∵∠B=80°，∴∠BAD=③_______，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=④_______=50°∴∠CFE=180°−∠D−∠DAE=⑤_______．42．（23-24八年级上·四川资阳·期末）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=118°，则A．31° B．62° C．118° D．149°易错考点22：角平分线的性质定理43．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数是（

）①CP平分∠ACF；

②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；

④S△PACA．1 B．2 C．3 D．444．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=18cm，AF=10cm，AC=21cm，动点E以1cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以2cm/s的速度从C(1)求S△ABD(2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有2S(3)当t取何值时，△DFE与△DMG全等．易错考点23：角平分线的判定定理45．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A−3,0、B0,3、C(2,0)，E是线段OB上一点，且(1)求点E的坐标；(2)延长AE交BC于D．①如图2，判断AE和BC的位置关系并说明理由；②连接OD，如图3，求证：∠ADO=∠ODC．46．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF=AC，(1)求证：BE⊥AC；(2)求∠BED的度数．易错考点24：角平分线性质的实际应用47．【习题回顾】（1）如下左图，在ΔABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠A=64°，则∠BEC=_________°

【探究延伸】在ΔABC中，AI平分∠BAC、BI平分∠ABC、CI平分∠BCA相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D（2）如上中间图，求证：∠ADI=∠AIB；（3）如上右图，ΔABC外角∠ACE的平分线CF与BI的延长线交于点F①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；②若∠BAC=90°，试说明：CI=CF．48．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路l1、l2、l3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第14章全等三角形（易错题考点集训）【24个高频易错考点共48题】TOC\o"1-2"\h\u易错考点01：全等三角形的性质 2易错考点02：用SSS证明三角形全等 4易错考点03：用SSS间接证明三角形全等 6易错考点04：全等的性质和SSS综合 8易错考点05：用SAS证明三角形全等 11易错考点06：用SAS间接证明三角形全等 13易错考点07：全等的性质和SAS综合 17易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等 19易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合 21易错考点10：用HL证全等（(HL） 24易错考点11：全等的性质和HL综合 27易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 29易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 31易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 34易错考点15：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 38易错考点16：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 42易错考点17：全等三角形综合问题 45易错考点18：尺规作一个角等于已知角 49易错考点19：过直线外一点作已知直线的平行线 51易错考点20：尺规作图—作三角形 54易错考点21：作角平分线（尺规作图） 56易错考点22：角平分线的性质定理 58易错考点23：角平分线的判定定理 62易错考点24：角平分线性质的实际应用 64易错考点01：全等三角形的性质1．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE=90°，且AC=7cm，CE=8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为ts，当以P、C、MA．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4【答案】B【思路引导】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：①点P在AC上，点Q在CE上时；②点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．【规范解答】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴7−2t=8−3t，∴t=1，②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC=CQ，∴7−2t=3t−8，∴t=3，综上所述：t的值为1或3．故选B．2．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：BC=DE+CE；(2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【答案】(1)见解析(2)∠ACB为直角【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由全等三角形的性质可得AE=BC，AC=DE，再结合AE=AC+CE，即可得证；（2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得∠ACB=∠BCE，再结合平角的定义求出∠ACB=90°，即可得解．【规范解答】（1）证明：∵△ABC≌△DAE，∴AE=BC，AC=DE，又∵AE=AC+CE，∴BC=DE+CE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠BCE=∠E，又∵△ABC≌△DAE，∴∠ACB=∠E，∴∠ACB=∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠ACB=90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．易错考点02：用SSS证明三角形全等3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知：∠AOB．求作：∠A′O

作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于点C、D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与前弧交于点D④过点D′画射线O′BA．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【答案】D【思路引导】本题考查基本作图−作一角等于已知角，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，利用全等三角形的判定定理解决问题．根据作图痕迹可知OC=O′C′，OD=O【规范解答】解：由作图方法可得：OC=O′C′，在△COD和△CCD=C∴△COD≌△C∴∠AOB=∠A故选：D．4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．②分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点③画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题：(1)这种作已知角的平分线的方法的依据是________（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA．(2)请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△OMC和△ONC中，OM=∴△OMC≌∴∠MOC=⑤________．∴OC为∠AOB的角平分线．【答案】(1)①(2)①ON②NC③OC④△ONC⑤∠NOC【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线尺规作图，掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）根据角平分线的作法得出基本依据；（2）证明OC为∠AOB的角平分线，即证明∠MOC=∠NOC，可以通过△OMC≌△ONC证明．【规范解答】（1）解：这种作已知角的平分线的方法的依据是SSS．故答案为：①；（2）解：由作图可知：OM=ON，MC=NC，在△OMC和△ONC中，OM=OB∴△OMC≌∴∠MOC=∠NOC，∴OC为∠AOB的角平分线，故答案为：①ON；②NC；③OC；④△ONC；⑤∠NOC．易错考点03：用SSS间接证明三角形全等5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法：已知：直线AB及直线外一点C．求作：过点C作直线AB的平行线CD．作法：①过点C作一条直线EF，与直线AB相交于点E；②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交EF，AB于点M，N；③以点C为圆心，EM长为半径画弧，交CF于点M′④以点M′为圆心，MN长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点N⑤连接CN′，并两端延长为直线CD，则直线请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△EMN和△CMEM=CM∴△EMN≌△CM∴∠_______=∠M∴AB∥【答案】CN′；M′N′【思路引导】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可．【规范解答】证明：由作图可知，在△EMN和△CMEM=CM∴∴△EMN≌△CM∴∠MEN=∠M∴AB∥故答案为：CN′；M′N′6．如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.【思路引导】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.【规范解答】（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行，【考点剖析】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角易错考点04：全等的性质和SSS综合7．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，AB=BC，∠BCD=45°，∠A=135°，点E，F分别在CD，AD上，EF=CE+AF，延长DC至点H，使得CH=AF，连接BH．求证：(1)△BCH≌△BAF；(2)∠EBF=1【答案】(1)见解析(2)见解析【思路引导】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠BCH=∠A，进而证明△BCH≌△BAF是解题的关键．（1）由∠BCD=45°，得∠BCH=∠A=135°，而CB=AB，CH=AF，即可根据SAS证明（2）由全等三角形的性质得BH=BF，∠CBH=∠ABF，推导出∠HBF=∠CBA，因为EH=CE+CH=CE+AF，且EF=CE+AF，所以EH=EF，而BE=BE，即可根据SSS证明△BEH≌△BEF，得∠EBH=∠EBF=1【规范解答】（1）证明：∵∠BCD=45°，∠BCD+∠BCH=180°，∴∠BCH=∠A=135°．在△BCH与△BAF中CH=AF∴△BCH≌△BAFSAS（2）由（1）得，△BCH≌△BAF，∴BH=BF，∠HBC=∠FBA．∵EF=CE+AF，CH=AF，∴EF=EH．在△BEF和△BEH中BF=BH∴△BEF≌△BEHSSS∴∠HBE=∠FBE=1∵∠HBC=∠FBA，∴∠HBF=∠CBA，∴∠EBF=18．（21-22八年级上·四川德阳·期中）填空：如图，点E，F在BC上，BE=CF，证明：∵BE=CF∴BE+______=CF+______．即______=_______．在△ABF和△DCE中，AB=DC∴△≌△（

）∴∠B=∠C（

）．【答案】EF，EF，BF，CE，BF，CE，ABF，DCE，SSS，【思路引导】通过BE=CF推导出BF=CE，再结合已知的AB=DC，AF=DE，利用全等三角形的判定定理证明△ABF≅△DCE，最后根据全等三角形的性质得到∠B=∠C．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（如SSS、SAS、ASA【规范解答】解：∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF即BF=CE在△ABF和△DCE中，AB=DC(已知∴△ABF≌△DCE(∴∠B=∠C(故答案为：EF，EF，BF，CE，BF，CE，ABF，DCE，SSS，易错考点05：用SAS证明三角形全等9．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG，CF=AB．(1)试说明：△ABG≌△CFB；(2)试说明BF与BG的关系？并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BF=BG且BF⊥BG，理由见解析【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识．（1）根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°，根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°，即可推出∠BAG=∠BCF，最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB；（2）根据全等三角形的性质得出BF=BG，∠G=∠CBF，根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°，则∠CBF+∠DBG=90°，即可得出结论．【规范解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，则∠BAG+∠ABD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，则∠BCF+∠ABD=90°，∴∠BAG=∠BCF，在△ABG和△CFB中，AG=BC∠BAG=∠BCF∴△ABG≌△CFBSAS（2）解：BF=BG且BF⊥BG，理由如下：由（1）知△ABG≌△CFB，∴BF=BG，∠G=∠CBF，∵AD⊥BC，∴∠BDG=90°，则∠G+∠DBG=90°，∴∠CBF+∠DBG=90°，即∠GBF=90°，∴BF⊥BG．10.如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB=30°，∠B=55°，则∠BDE的度数为（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】B【思路引导】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和求出∠ACB=95°，再求出∠CAD=∠EAD=15°，然后通过证明△ACF≌△AEF、△ACD≌【规范解答】解：∵∠CAB=30°，∠B=55°，∴∠ACB=180°−∠CAB−∠B=180°−30°−55°=95°，∵CE⊥AD，∴∠AFC=∠AFE=90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=∠EAD=1又∵AF=AF，∴△ACF≌∴AC=AE，∵AD=AD，∴△ACD≌∴DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∵∠ACE=90°−∠CAE=90°−15°=75°,∴∠DCE=∠DEC=∠ACB−∠ACE=95°−75°=20°，∴∠BDE=∠DCE+故选：B．易错考点06：用SAS间接证明三角形全等11．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若∠1=20°，则∠2的度数为（

）A．80° B．70° C．60° D．20°【答案】B【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【规范解答】解：如图，在△ABC和△EDF中，BC=EF=1∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC≌△DEFSAS∴∠1=∠CAB，∵∠ABC=90°，∴∠CAB+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°∴∠2=90°−∠1=90°−20°=70°，故选：B．12．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．(1)性质探究：如图1，已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，AC、BD交于点O，AC=BD，且AC⊥BD，求证：四边形(2)问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：四边形(3)拓展应用：如图3；已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，若MN=2，求AB+CD的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【思路引导】（1）由中点条件及三角形中位线的性质易得四边形EFGH是平行四边形；再由AC=BD，且AC⊥BD，可得四边形EFGH是正方形，从而结论得证；（2）连接BG、EC，证明△AEC≌△ABG，则得EC=BG，EC⊥BG，由（1）即可得四边形（3）分别取AD、BC、AC的中点E、F、H，连接ME、EN、NF、FM、EH、FH、EF；由四边形ABCD是“中方四边形”得四边形EMFN是正方形，则有EF=MN=2；由三角形中位线定理得AB=2HF，CD=2EH，则AB+CD=2(HF+EH)≥2EF，当点H在线段EF上时，EF取得最小值，从而【规范解答】（1）证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线，∴EF=1∴EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∴EH∥∵AC⊥BD，∴EF⊥BD；∵FH是△ABD的中位线，∴EH∥∴EH⊥EF；∴四边形EFGH是矩形；∵AC=BD，EH=1∴EH=EF，∴四边形EFGH是正方形，∴四边形ABCD是“中方四边形”；（2）证明：如图，连接BG、EC，∵四边形ABDE和四边形ACFG都为正方形，∴AB=AE，∠EAB=90°，∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠GAC，即∠EAC=∠BAG；∴△AEC≌△ABG(SAS∴EC=BG，∵∠CEB+∠EBG=∠AEB−∠AEC+∠ABE+∠ABG=∠AEB+∠ABE=180°−∠EAB=90°，∴EC⊥BG；∵EC=BG，EC⊥BG，∴由（1）知，四边形BCGE是“中方四边形”；（3）解：如图，分别取AD、BC、AC的中点E、F、H，连接ME、EN、NF、FM、EH、FH、EF；∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴四边形EMFN是正方形，∴EF=MN=2；∵AD、BC、AC的中点分别是E、F、H，∴EH、FH分别是△ADC，△ABC的中位线，∴AB=2HF，∴AB+CD=2(HF+EH)≥2EF=4，故当点H在线段EF上时，EF取得最小值，从而AB+CD取得最小值，且最小值为2EF=4．【考点剖析】本题是四边形的综合，考查了平行四边形的判定，矩形的判定及正方形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，两点间线段最短等知识，有一定的综合性，三角形中位线定理的应用是解题的关键．易错考点07：全等的性质和SAS综合13．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，BD=BC，BE=CA，∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠EBC的度数为（

）A．12° B．13° C．14° D．15°【答案】B【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，利用SAS证明△DBE≌△BCA，进而得到∠ABC=∠BDE=75°，再根据角的和差关系，求出∠EBC的度数即可．【规范解答】解：∵BD=BC，∠DBE=∠C=62°，BE=CA，∴△DBE≌△BCA，∴∠ABC=∠BDE=75°，∴∠CBE=∠ABC−∠DBE=75°−62°=13°；故选B．14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=66°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为（

）A．33° B．76° C．57° D．66°【答案】D【思路引导】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在BC上截取BE=BQ，连接PE，AE，先证出△PBE≌△PBQ，根据全等三角形的性质可得PE=PQ，则可得AP+PQ=AP+PE，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当AE⊥BC时，AE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得．【规范解答】解：如图，在BC上截取BE=BQ，连接PE，AE，∵BD平分∠ABC，∴∠PBE=∠PBQ，在△PBE和△PBQ中，BE=BQ∠PBE=∠PBQ∴△PBE≌△PBQSAS∴PE=PQ，∴AP+PQ=AP+PE，由两点之间线段最短可知，当点A,P,E共线时，AP+PE的值最小，最小值为AE，由垂线段最短可知，如图，当AE⊥BC时，AE的值最小，即AP+PQ的值最小，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=66°，∴∠BAE=90°−∠ABC=24°，又∵△PBE≌△PBQ，∴∠PQB=∠PEB=90°，∴∠APQ=∠PQB−∠BAE=66°，故选：D．易错考点08：用ASA(AAS）证明三角形全等15．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，BF=AC．(1)求证：△ADC≌(2)若DF=2，AF=3，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)7【思路引导】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质．（1）先证明∠BDF=∠ADC=90°，∠CAD=∠DBF，然后根据AAS，再结合已知条件可得结论；（2）根据DF=2，AF=3，得出AD=AF+DF=3+2=5，根据△ADC≌△BDF得出BD=AD=5，【规范解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠DBF=90°，∴∠CAD=∠DBF，在△ADC和△BDF中，∠ADC=∠BDF∠CAD=∠FBD∴△ADC≌（2）解：∵DF=2，AF=3，∴AD=AF+DF=3+2=5，∵△ADC≌∴BD=AD=5，CD=DF=2，∴BC=BD+DC=5+2=7．16．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）（1）如图①，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．求证：EF=BE−CF；（3）如图③，在△ABC中，AB=AC,AB>BC．点D在边BC上，CD=3BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为20，求△ACF与△BDE的面积之和．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）根据AAS证明三角形全等即可．（2）根据AAS证明△ABE≌△CAF即可证明结论．（3）根据AAS证明△ABE≌△CAF，得出S△ABE【规范解答】（1）证明：∵BD⊥AE,CF⊥AE,∠MAN=90°，∴∠ADB=∠AFC=∠MAN=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACFAAS（2）证明：∵∠1=∠2=∠BAC,∠1+∠AEB=∠2+∠CFA=180°，∴∠AEB=∠CFA，∵∠1=∠ABE+∠BAE,∠BAC=∠CAF+∠BAE，∴∠ABE=∠CAF，∵AB=AC，∴△ABE≌△CAF，∴AE=CF,BE=AF，∵EF=AF−AE=BE−CF，∴EF=BE−CF．（3）解：∵△ABC的面积为20，CD=3BD，∴BD∴S∵S∴S∵∠1=∠2=∠BAC,∠1+∠AEB=∠2+∠CFA=180°，∴∠AEB=∠CFA，∵∠1=∠ABE+∠BAE,∠BAC=∠CAF+∠BAE，∴∠ABE=∠CAF，∵AB=AC，∴△ABE≌△CAF，∴S△ABE∴S△CAF易错考点09：全等的性质和ASA（AAS)综合17．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点归纳证明：如图③，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC,AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E,F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5【思路引导】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键．（1）根据图②，求出∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD=∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA，根据AAS证两三角形全等即可；（3）根据图④，由CD=2BD,△ABC的面积为15，可求出△ABD的面积为5，根据△ABE≌△CAF，得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案．【规范解答】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∠ADB=∠CFA∠ABD=∠CAF∴△ABD≌△CAF(AAS（2）证明：如图③，∵∠1=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∵∠2=∠FCA+∠CAF,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠BAC，∴∠BAE=∠FCA，

在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAFAB=AC∴△ABE≌△CAF(ASA（3）如图④，∵△ABC的面积为15,CD=2BD，∴△ABD的面积=1由（2）可得△ABE≌△CAF，即：S△ACF∴S即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积5，故答案为：5．18．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为（2）如图②，将（1）中的条件改为在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且有【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知，∠ADB=90°=∠CEA，由∠BAC=90°，可得∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAEAAS，则BD=AE，AD=CE（2）证明过程同理（1）．【规范解答】（1）证明：∵BD⊥直线m,CE⊥直线m，∴∠BDA=∠CEA=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC∴△ADB≌△CEA(AAS∴BD=AE,AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）解：成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，∴∠CAE=∠ABD．在△ADB和△CEA中，∠BDA=∠AEC∴△ADB≌△CEA(AAS∴AE=BD,AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．易错考点10：用HL证全等（(HL）19．（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在△ABC中，AB<AC，点D在△ABC的内部，CD=AB，∠DBA=∠DCA．(1)如图1，线段BD的延长线交AC于点E，且BE⊥AC，线段AC，BD，DE之间的数量关系是______．(2)如图2，点F在线段DB的延长线上，连接CF交射线AD于点M，且M为CF的中点，求证：DF=AC．【答案】(1)AC=2DE+BD(2)见解析【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明△ABE≌△DCE(AAS)，由全等三角形的性质得出AE=DE，（2）过点F作FG⊥AM，交AM的延长线于点G，过点C作CH⊥AM于点H，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于点N，过点D作DK⊥AC于点K，证明△ABN≌△DCK(AAS)，得出AN=DK，证明Rt△ADN≌Rt△DAK(HL)，得出∠ADN=∠DAK，证明△CMH≌△FMG(【规范解答】（1）解：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠DEC=90°，∵∠DBA=∠DCA，AB=CD，∴△ABE≌△DCE(AAS∴AE=DE，BE=CE，∴AC=AE+CE=DE+DE+BD=2DE+BD；故答案为：AC=2DE+BD．（2）证明：过点F作FG⊥AM，交AM的延长线于点G，过点C作CH⊥AM于点H，过点A作AN⊥BD，交BD的延长线于点N，过点D作DK⊥AC于点K，∵∠ABD=∠DCA，∠DKC=∠ANB=90°，AB=CD，∴△ABN≌△DCK(AAS∴AN=DK，又∵AD=DA，∴Rt∴∠ADN=∠DAK，∵∠ADN=∠FDG，∴∠FDG=∠DAK，∵M为CF的中点，∴CM=FM，∵∠CMH=∠FMG，∠CHM=∠FGM，∴△CMH≌△FMG(AAS∴CH=FG，∵∠AHC=∠G=90°，∴△ACH≌△DFG(AAS∴AC=DF．20．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）如图，这是脊柱侧弯测量显示的示意图，cobb角（∠O）是一个测量侧弯曲角度的方法，用于评估脊柱侧弯的严重程度，当cobb角>10°为脊柱侧弯．已知AC⊥BO，BD⊥AO，CO=DO，AD=BC．(1)△ACO与△BDO全等吗？请说明理由．(2)若小明是轻度脊柱侧弯（10°<∠O<25°），直接写出与∠O相等的角：．【答案】(1)全等，理由见解析(2)∠APD，∠BPC【思路引导】本题主要考查直角三角形全等的判定与同角的余角相等等知识，正确识别图形是解答本题的关键．（1）根据HL可证明△ACO与△BDO全等；（2）根据直角三角形的性质可知：∠O与∠CAD互余，∠DBO与∠O互余，根据同角的余角相等可得结论．【规范解答】（1）解：△ACO与△BDO全等，理由如下：∵AC⊥BO，BD⊥AO，∴∠ACO=∠BDO=90°,∵CO=DO，AD=BC，∴OD+AD=OC+CB,即OA=OB,∴Rt△ACO≌（2）解：∵AC⊥BO，BD⊥AO，∴△ACO与△BDO都是直角三角形，∴∠O+∠CAO=90°，∴又∠APD+∠CAO=90°,∠BPC+∠DBO=90°，∴∠APD=∠BPC=∠O．故答案为：∠APD，∠BPC．易错考点11：全等的性质和HL综合21．（21-22八年级上·全国·期中）如图，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP．其中结论正确的是（A．①②③ B．①② C．① D．①③【答案】B【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定（内错角相等，两直线平行），熟练掌握其性质是解题的关键．根据PR=PS，易证Rt△APR≌Rt△APSHL，从而结论①成立，根据等腰三角形的性质和三角形的外角可得∠PQS=∠BAC，结论②成立，【规范解答】解：在△APR和△APS中，PR=PS,AP=AP,∠ARP=∠ASP=90°，∴Rt△APR≌∴AR=AS,∠PAR=∠PAS，故①结论正确；在△QAP中，QA=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠PQC=∠QAP+∠QPA=2∠QAP,∠CAB=2∠QAP，∴∠PQC=∠QAB，∴QP∥△BPR和△QSP仅有一边一角相等，别的条件无法证明，不能判断两三角形全等，故③结论错误．故选：B．22．（22-23八年级上·四川广安·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°−∠BDO．(1)求证：AC=BC；(2)如图2，点C的坐标为4,0，点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长．【答案】(1)见解析；(2)8【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出辅助线是解决问题的关键．（1）由题意∠CAO=90°−∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC=BC；（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC，即可得BC+EC的长．【规范解答】（1）证明：在直角坐标系中，∵x轴⊥y轴，∴∠BOD=∠AOC=90°∴∠CAO=90°−∠BDO，∠DBO=90°−∠BDO∴∠CAO=∠CBD．在△ACD和△BCD中∠ACD=∠BCD∠CAO=∠CBD∴△ACD≌△BCDAAS∴AC=BC；（2）由（1）知∠CAD=∠DBO，∵∠DEA=∠DBO,AD=BD，∴BD=AD=DE，过D作DN⊥AC于N点，如图所示：∵∠ACD=∠BCD，OD⊥BC，∴DO=DN，在Rt△BDO和RtBD=DEDO=DN∴Rt∴BO=EN．在Rt△DOC和RtDC=DCOD=ON∴Rt∴OC=NC；∴BC+EC=BO+OC+NC−NE=2OC=8．易错考点12：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合)23．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，点D，E在△ABC的BC边上，∠B=∠C，要推理得出△ABE≌△ACD，则可以补充的条件是(至少写出4组条件)．【答案】∠BAD=∠CAE或∠AEB=∠ADC或BE=CD或BD=CE或∠BAD=∠CAE【思路引导】本题要判定△ABE≌△ACD，已知∠B=∠C，可得AB=AC，再添加一组角相等或添加BE=CD可判定其全等．【规范解答】解：补充∠BAD=∠CAE．∵∠B=∠C，∴AB=AC，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中，∠B=∠CAB=AC∴△ABE≌△ACD(ASA补充∠AEB=∠ADC．在△ABE和△ACD中，∠B=∠C∠AEB=∠ADC∴△ABE≌△ACD(AAS补充BE=CD．在△ABE和△ACD中，BE=CD∠B=∠C∴△ABE≌△ACD(SAS补充BD=CE．∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD，同理可得△ABE≌△ACD(补充∠BAD=∠CAE．∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠CAD，同理可得△ABE≌△ACD(故答案为：∠BAD=∠CAE或∠AEB=∠ADC或BE=CD或BD=CE或∠BAD=∠CAE．24．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对应边或对应角添加一组等量条件（点A′,B′,C轮次行动者添加条件1甲AB=2乙∠A=∠3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法不正确的是（）A．若第3轮甲添加∠C=∠CB．若第3轮甲添加BC=BC．若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠AD．若第2轮乙添加条件修改为BC=B【答案】A【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．【规范解答】解：A、若第3轮甲添加∠C=∠C′=45°，可根据角角边判定△ABCB、若第3轮甲添加BC=B′C′=3C、若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△ABC与△A若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△ABC与△A故乙必胜，故本选项的说法正确；D、若第2轮乙添加条件修改为BC=B′C′=3故选：A．易错考点13：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）25．（24-25七年级下·山西太原·期末）课本第109页有一道习题：“先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“△DEF≌△ABC”的依据是（

）A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】B【思路引导】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得DE=AB，∠B=∠E，EF=BC，结合全等三角形的判定可得答案．【规范解答】解：由作图可知，DE=AB，∠B=∠E，EF=BC，∴△DEF≌△ABC（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）．故选：B．26．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：；丙：．(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．【答案】(1)BC=CD，∠BDC=∠BDA(2)见解析【思路引导】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键．（1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可；（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可．【规范解答】（1）解：乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离；丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．故答案为：BC=CD，∠BDC=∠BDA；（2）解：答案不唯一．选甲：在△ABC和△DEC中，AC=DC∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△DECSAS∴AB=ED；选乙：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠B=∠CDE=90°，在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDCCB=CD∴△ABC≌△EDCASA∴AB=ED；选丙：在△ABD和△CBD中，∠ABD=∠CBDBD=BD∴△ABD≌△CBDASA∴AB=BC．易错考点14：倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题）27．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB−BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】(1)如图1，请写出AD的取值范围是；(2)如图2，已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．【答案】(1)1<AD<6；(2)见解析．【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD到点E，使ED=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDBSAS，得出AC=EB，∠CAD=∠BED，证出AB=EB【规范解答】（1）解：由题意知，△BDE≌△CDA，∴BE=AC=5，DE=AD，∴AE=2AD，∵AB−BE<AE<AB+BE，∴7−5<2AD<5+7，即2<2AD<12，故答案为：1<AD<6；（2）证明：如图，延长AD到点E，使ED=AD，连接BE，∵AD=ED，∠∴△ADC≌△EDBSAS∴AC=EB，∠∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠BED，∴AB=EB，∵AC=EB，∴AB=AC．28．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED．（2）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是．（3）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】（1）证明见解析；（2）1<AD<5；（3）AD=AB+DC，证明见解析【思路引导】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；（1）根据平行线的性质可得∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED，根据中点的定义可得BD=CD，进而证明△ABD≌△ECDA