广东省深圳市南方科技大学附属中学2025-2026学年高二（下）学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省深圳市南方科技大学附属中学高二（下）学情调研数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列结论：①（cosx）'=sinx；②；③若，则，其中正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S9=36，则a5=（）A.3 B.4 C.6 D.83.有六人排成一排，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A.120种 B.240种 C.360种 D.480种4.“冰雹猜想”数列{an}满足：，，若a3=1，则t=（）A.4 B.3 C.2 D.15.若曲线在点（1，1）处的切线与直线2x+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A. B. C. D.6.已知数列{an}的前n项和，将该数列排成一个数阵（如右图），其中第n行有2n-1个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是（）A.263 B.1052 C.528 D.10517.为了落实五育并举，全面发展学生素质．学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团．现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种8.设函数f（x）=ex-1-e1-x+sin（x-1），则关于x的不等式f（x2-x-2）+f（-2x）≥0的解集为（）A.[-1，4] B.（-∞，-1]∪[4，+∞）

C.[-2，1] D.（-∞，-2]∪[1，+∞）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.记Sn为数列{an}的前n项和，下列说法正确的是（）A.若对∀n≥2，n∈N*，有2an=an-1+an+1，则数列{an}是等差数列

B.若对∀n≥2，n∈N*，有，则数列{an}是等比数列

C.已知，则{an}是等差数列

D.已知，则{an}是等比数列10.已知（3x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A.a0=1 B.a1+a2+a3+…+an=513

C.a5＞a7 D.11.若0＜a＜b＜1，则（）A. B.a+lnb＞b+lna

C.2a+2b＞2a+b D.a•sinb＞b•sina三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若a1=1，nan-1=（n+1）an（n≥2），则数列{an}的通项公式an=

.13.已知（2x-）n展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含x3项的系数为

.14.已知k为常数，函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx+2有且只有4个不同的解，则实数k的取值集合为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=-ab,且.

（1）求角C及边c的值；

（2）求a+b的最大值.16.(本小题15分)

已知函数f（x）=（x-1）ex-x2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求f（x）的零点个数.17.(本小题15分)

数列{an}满足a1=1，an=an+1（1+2an）（n∈N*）．

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整数n的最小值．18.(本小题17分)

如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，CD⊥平面ABC，E为线段AD中点.

（1）求证：平面BCE⊥平面ACD；

（2）若AB=，BC=1，CD=2，求平面BCE与平面BDE所成锐二面角的余弦值.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=x+xlnx.

（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；

（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；

（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】BD

11.【答案】BC

12.【答案】

13.【答案】240

14.【答案】（0，e-3）

15.【答案】，

4

16.【答案】f（x）的单调递减区间为（0，ln2）；单调递增区间为（-∞，0），（ln2，+∞）

1个

17.【答案】解：（1）证明：∵a1=1，an=an+1（1+2an）（n∈N*），

∴an-an+1=2anan+1，即-=2，

又=1，

∴数列{}是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）解：由（1）知；=1+2（n-1）=2n-1，

∴an=，anan+1==（-），

由a1a2+a2a3+…+anan+1＞，可得：（-+-+…+-）＞，

整理得：＞，即：31n＞15（2n+1），

解得：n＞15，

∴正整数n的最小值为16．

18.【答案】证明见解答；

．

19.【答案】（1）解：因为f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，

所以函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y=2x-1；…（3分）

（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx,所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，

即对任意x＞1恒成立．…（4分）

令，则，…（4分）

令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则，

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．…（5分）

因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．

当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，…（6分）

所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．

所以．…（7分）

所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．

故整数k的最大值是3．…（8分）

（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，…（9分）

所以当n＞m≥4时，．…（10分）

即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．

整理，得mnlnn+