人教版数学八年级上册 13.3.2三角形的外角（练习题） 同步练习 含答案

分层作业13.3.2三角形的外角目录A组巩固过关 题型01识别三角形的外角 题型02利用三角形外角性质求角的度数 题型03三角板中涉及的三角形外角计算 题型04实际生活问题中的三角形外角计算 题型05三角形角平分线模型 题型06不规则图形中的三角形外角计算 题型07三角形外角计算综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01识别三角形的外角题型011．下列图中能说明∠1<∠2一定成立的是（

）A． B． C． D．2．如图，下列说法中错误的是（）A．∠1不是三角形ABC的外角B．∠B<∠1+∠2C．∠ACD是三角形ABC的外角D．∠ACD>∠A+∠B题型02利用三角形外角性质求角的度数题型023.如图，在△ABC中，延长BC至点D，若∠A=48°，∠B=53°，则∠ACD的度数为（

）A．91° B．101° C．136° D．126°4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130°，∠DAC=95°，则∠ADB=______________°．题型03三角板中涉及的三角形外角计算题型035.如图，两个直角三角板的直角顶点A，D分别在斜边EF，BC上，且EF∥BC，∠F=30°，∠C=45°，则∠1的度数是（

）A．60° B．75° C．90° D．95°6.一副三角板按如图所示位置放置，已知∠A=∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°，则∠AGE的度数是_____题型04实际生活问题中的三角形外角计算题型047.停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3=100°，则∠2-∠1=（

）A．80° B．90° C．100° D．110°8.空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠CDE=87°，∠DEB=35°，则∠ABE的度数为_________题型05三角形角平分线模型题型059.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，若∠A=50°，则∠P的度数为（

）A．25° B．20° C．10° D．15°10.如图，△ABC的两外角∠BCD，∠CBE的平分线交于点P，∠A=60°．则∠CPB=_______．题型06不规则图形中三角形外角计算题型0611.如图，∠BOF=100°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．12.如图，∠A+∠B+∠ACB+∠D+∠E=______°．题型07三角形外角计算综合应用题型0713.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与边AC交于点D，AE是△ABC的边BC上的高，BD，AE交于点F．已知∠C=70°，∠BAE=42°，则∠ADB的度数为________．14.如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上．(1)若∠BAC=50°，∠C=60°，且∠1=∠2，求∠APD的度数；(2)若∠B=∠C，∠ADP=∠APD，试说明：∠1=2∠2．15.如图，在△ABC中，点D在AC上，CE是∠ACB的平分线，点F在CE的延长线上，连接DF交AB于点G，∠F+∠A=∠FEA．(1)求证：FD∥BC；(2)若∠AGD=∠FEA且∠A=57°，求∠ABC的度数．1.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（

）A．70° B．55° C．35°或70° D．55°或70°2．如图，在△ABC和△BDE中，AC与DE相交于点F．若∠B=90°，∠A=20°，∠D=45°，则∠AEF+∠DCF的度数为（

）A．230° B．240° C．245° D．250°3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，将△BDE沿着直线DE翻折，使点B与点C重合，若∠ACE=10°，则∠B的度数为_4．如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3，若∠BAC=60°，∠DFE=50°，∠ABC的度数为_____．5.如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．若∠GOC=55°，则∠DOB=______．6.如图，已知∠BDC=120°，∠C=20°，若BE平分∠ABD，且∠BEC=80°，则∠A的度数为__________．7.如图：D为线段BC延长线上一点，BE，CE分别平分∠ABC、∠ACD，EF∥(1)若∠A=76°，∠ABC=42°，GF∥CE，求(2)已知：2∠EFG+∠A+∠ABC=360°，求证：FG∥8.已知：在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C．(1)如图1，∠BAC的平分线与BC，BD分别交于点E，F．求证：∠BFE=∠BEF．(2)如图2，∠GAC为△ABC的一个外角，∠GAC的平分线与直线BD交于点H．判断∠HBC与∠H的数量关系，并说明理由．1．【方程思想】如图，已知MN∥PQ，点B在直线MN上，点C在直线PQ上，点A在直线MN上方，点E在DB的延长线上．若∠ABD:∠DBN=4:1，∠ACE:∠ECP=4:1，∠A=α，则∠E=（A．α B．36°+15α C．90°-α2．【跨学科物理】如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为________．3．【几何图形变换】在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0<x<50）①如图2，当DE⊥BC时，求x的值．②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．1．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，EF∥BC，∠AGE=120°，∠DCB=70°，则∠BDC=（A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2026·河南·中考真题）如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知AB∥CD，∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为（A．90° B．80° C．70° D．60°

分层作业13.3.2三角形的外角目录A组巩固过关 题型01识别三角形的外角 题型02利用三角形外角性质求角的度数 题型03三角板中涉及的三角形外角计算 题型04实际生活问题中的三角形外角计算 题型05三角形角平分线模型 题型06不规则图形中的三角形外角计算 题型07三角形外角计算综合应用 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 题型01识别三角形的外角题型011．下列图中能说明∠1<∠2一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质【分析】根据对顶角相等，三角形外角的定性质，平行线的性质，以及三角形内角和为180°判断选项即可．【详解】解：A选项，∠1与∠2是对顶角，则∠1=∠2，不能说明∠1<∠2成立；B选项，标记∠3如图，由三角形外角的定义可知，∠2=∠1+∠3，则∠1<∠2一定成立；C选项，由平行线的性质可知，若两条直线平行，内错角相等，则∠1=∠2，不能说明∠1<∠2成立；D选项，标记∠3如图，由图可知，∠1=90°，∠2+∠3=180°-90°=90°，即∠2+∠3=∠1，则∠1>∠2成立，不能说明∠1<∠2成立．2．如图，下列说法中错误的是（）A．∠1不是三角形ABC的外角B．∠B<∠1+∠2C．∠ACD是三角形ABC的外角D．∠ACD>∠A+∠B【答案】D【知识点】三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，判断A正确，D错误；由三角形外角的定义，判断C正确；三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，判断B正确．【详解】A.∠1不是三角形ABC的外角，正确；B.∠B<∠1+∠2，正确；C.∠ACD是三角形ABC的外角，正确；D.∠ACD=∠A+∠B，故D错误．故选D.【点睛】本题考查的知识点是三角形外角的性质以及考查三角形内角与外角的关系，解题关键是熟练掌握三角形的性质．题型02利用三角形外角性质求角的度数题型023.如图，在△ABC中，延长BC至点D，若∠A=48°，∠B=53°，则∠ACD的度数为（

）A．91° B．101° C．136° D．126°【答案】B【知识点】三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和直接求解即可．【详解】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B=48°+53°=101°．4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130°，∠DAC=95°，则∠ADB=______________°．【答案】120【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形内角和定理和∠B=∠C，求出∠C的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠ADB．【详解】解：∵∠B=∠C，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠C=1∴∠ADB=∠DAC+∠C=120°．题型03三角板中涉及的三角形外角计算题型035.如图，两个直角三角板的直角顶点A，D分别在斜边EF，BC上，且EF∥BC，∠F=30°，∠C=45°，则∠1的度数是（

）A．60° B．75° C．90° D．95°【答案】B【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质【分析】利用平行线的性质得到∠CDF=∠F，再利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠CDF=∠F=30°，∴∠1=∠CDF+∠C=30°+45°=75°．6.一副三角板按如图所示位置放置，已知∠A=∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°，则∠AGE的度数是_____【答案】105°【知识点】三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质【详解】解：∵∠DFE=90°，∠D=30°，∴∠DEF=90°-30°=60°，∵∠A=90°，∠B=45°，∴∠C=90°-45°=45°，∴∠AGE=∠DEF+∠C=105°．题型04实际生活问题中的三角形外角计算题型047.停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3=100°，则∠2-∠1=（

）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】A【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解．【详解】解：如图2所示，∠4=180°-∠3=180°-100°=80°，根据三角形外角定理可得，∠2-∠1=∠4=80°．8.空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠CDE=87°，∠DEB=35°，则∠ABE的度数为_________【答案】122°【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可．【详解】解：延长AB交DE于点F，如图，∵AB∥CD，∴AF∥CD，∴∠CDE=∠AFE=87°，∵∠DEB=35°，∴∠ABE=∠AFE+∠DEB，∴∠ABE=87°+35°=122°．题型05三角形角平分线模型题型059.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，若∠A=50°，则∠P的度数为（

）A．25° B．20° C．10° D．15°【答案】A【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出∠P=1【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，∴∠ABC=2∠PBC,∠ACD=2∠PCD，∵∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠PBC，∴2∠PCD=∠A+2∠PBC，即∠A=2∠PCD-∠PBC∵∠PCD=∠P+∠PBC，即∠P=∠PCD-∠PBC，∴∠P=110.如图，△ABC的两外角∠BCD，∠CBE的平分线交于点P，∠A=60°．则∠CPB=_______．【答案】60°【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：∠PCB=12∠DCB,∠PBC=12∠EBC，求出【详解】解：由题意得：∠PCB=1∵∠A=60°．∴∠ACB+∠ABC=120°，∴∠DCB+∠EBC=360°-∠ACB+∠ABC∴∠PCB+∠PBC=1∴∠CPB=180°-∠PCB+∠PBC故选：A题型06不规则图形中三角形外角计算题型0611.如图，∠BOF=100°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．【答案】200°【知识点】三角形的外角的定义及性质【分析】利用三角形的外角性质将分散的角∠A,∠C和∠B,∠D分别转化为∠1和∠2，再结合∠1+∠E=∠BOF=100°，∠2+∠F=∠BOF=100°，即可求解．【详解】解：如图，根据三角形外角的性质可知∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∠1+∠E=∠BOF=100°，∠2+∠F=∠BOF=100°，∴∠1+∠E+∠2+∠F=200°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=200°12.如图，∠A+∠B+∠ACB+∠D+∠E=______°．【答案】180【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BMN=∠D+∠E，∠BNM=∠A+∠ACB，然后利用三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：如图，∵∠BMN是△DEM的外角，∠BNM是△ACN的外角，∴∠BMN=∠D+∠E，∠BNM=∠A+∠ACB，又∵∠BMN+∠BNM+∠B=180°，∴∠A+∠B+∠ACB+∠D+∠E=180°．题型07三角形外角计算综合应用题型0713.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与边AC交于点D，AE是△ABC的边BC上的高，BD，AE交于点F．已知∠C=70°，∠BAE=42°，则∠ADB的度数为________．【答案】94°【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】本题考查角平分线的定义、三角形外角的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据AE是△ABC的高，结合三角形内角和定理求出∠ABE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后利用三角形外角的定义求解即可．【详解】解：∵AE是△ABC的边BC上的高，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=180°-∠BAE-∠AEB=180°-42°-90°=48°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=1∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB=∠C+∠CBD=70°+24°=94°．14.如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上．(1)若∠BAC=50°，∠C=60°，且∠1=∠2，求∠APD的度数；(2)若∠B=∠C，∠ADP=∠APD，试说明：∠1=2∠2．【答案】(1)70°(2)∵∠APC=∠1+∠B=∠APD+∠2，且∠ADP=∠APD，∴∠1+∠B=∠2+∠ADP，∵∠ADP=∠2+∠C，∴∠1+∠B=∠2+∠C+∠2，∴∠1+∠B=2∠2+∠C．又∵∠B=∠C，∴∠1=2∠2．【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠B，进而得出∠APC=∠B+∠1=∠APD+∠2，即可求得∠B=∠APD，即可求解．（2）根据已知可得∠1+∠B=∠2+∠ADP，进而得出∠1+∠B=2∠2+∠C，结合∠B=∠C，即可得出∠1=2∠2．【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=60°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=70°，∵∠1=∠2，∠APC=∠B+∠1=∠APD+∠2，∴∠B=∠APD，∴∠APD=70°．（2）略15.如图，在△ABC中，点D在AC上，CE是∠ACB的平分线，点F在CE的延长线上，连接DF交AB于点G，∠F+∠A=∠FEA．(1)求证：FD∥BC；(2)若∠AGD=∠FEA且∠A=57°，求∠ABC的度数．【答案】(1)证明：在△ACE中，∠FEA=∠ACE+∠A，∵∠F+∠A=∠FEA，∴∠F=∠ACE，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠BCE，∴∠F=∠BCE，∴FD∥BC．(2)∠ABC=79°【知识点】三角形角平分线的定义、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出∠FEA=∠ACE+∠A，结合角平分线的定义推得∠F=∠BCE，根据内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等得出∠AGD=∠ABC，推得∠FEA=∠ABC，设∠F=x，则∠ACB=2x，∠ABC=x+57°，结合三角形内角和是180°列方程求出x的值，即可求解．【详解】（1）略（2）解：∵FD∥BC，∴∠AGD=∠ABC，又∵∠AGD=∠FEA，∴∠FEA=∠ABC；设∠F=x，则∠ACE=∠BCE=x，∠ACB=2x，∠ABC=∠FEA=∠ACE+∠A=x+57°，在△ABC中，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，即57°+2x+x+57°=180°，解得x=22°；故∠ABC=22°+57°=79°．1.若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（

）A．70° B．55° C．35°或70° D．55°或70°【答案】D【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义、三角形的外角的定义及性质【分析】先根据外角性质求出相邻内角的度数，再分该内角为等腰三角形顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理计算底角即可.【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为110°，∴与该外角相邻的内角度数为180°-110°=70°.分两种情况讨论：①若70°角为等腰三角形的顶角，则底角为12×(180°-70°)=55°②若70°角为等腰三角形的底角，此时顶角为180°-2×70°=40°，符合三角形内角和定理.∴等腰三角形的底角为55°或70°.2．如图，在△ABC和△BDE中，AC与DE相交于点F．若∠B=90°，∠A=20°，∠D=45°，则∠AEF+∠DCF的度数为（

）A．230° B．240° C．245° D．250°【答案】C【知识点】三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形的外角性质求出∠AEF，∠DCF的度数即可．【详解】解：∵∠B=90°，∠A=20°，∠D=45°，∴∠DCF=∠A+∠B=110°，∠AEF=∠B+∠D=135°，∴∠AEF+∠DCF=135°+110°=245°．3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，将△BDE沿着直线DE翻折，使点B与点C重合，若∠ACE=10°，则∠B的度数为_【答案】40°【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质【分析】根据翻折得到DE垂直平分BC，∠B=∠BCE，由直角三角形两锐角互余得到∠AEC=80°，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵将△BDE沿着直线DE翻折，使点B与点C重合，∴DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠A=90°,∠ACE=10°，∴∠AEC=90°-10°=80°，∵∠AEC=∠B+∠BCE=80°，∴∠B=40°．4．如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3，若∠BAC=60°，∠DFE=50°，∠ABC的度数为_____．【答案】70°【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质【分析】由∠DEF是△ACE的外角，得出∠DEF=∠BAC=60°，根据三角形的内角和定理得出∠EDF，再根据∠EDF是△ABD的外角，可得出∠ABC=∠EDF=70°．【详解】解：∵∠DEF是△ACE的外角，∴∠DEF=∠CAE+∠3，∵∠BAC=∠1+∠CAE=60°，∠1=∠3，∴∠DEF=60°，在△DEF中，∠DEF=60°，∠DFE=50°，∴∠EDF=180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-50°=70°，∵∠EDF是△ABD的外角，∴∠EDF=∠ABD+∠1=∠ABD+∠2=∠ABC，∴∠ABC=70°．5.如图所示，O是△ABC的三条角平分线的交点，OG⊥BC，垂足为G．若∠GOC=55°，则∠DOB=______．【答案】55°/55度【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的定义，利用三角形的外角性质表示出∠DOB，再结合直角三角形两锐角互余表示出∠GOC，从而发现∠DOB=∠GOC．【详解】解：∵O是△ABC的三条角平分线的交点∴AD平分∠BAC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠BAD=12∠BAC，∵∠DOB是△ABO的外角∴∵∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB∴∠DOB=∵OG⊥BC∴∠OGC=90°∴∴∠DOB=∠GOC∵∠GOC=55°∴∠6.如图，已知∠BDC=120°，∠C=20°，若BE平分∠ABD，且∠BEC=80°，则∠A的度数为__________．【答案】60°【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算【分析】如图：连接BC，利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB=60°、∠EBC+∠ECB=100°，进而得到∠EBD=20°；利用角平分线的定义可得∠ABE=∠EBD=20°，最后利用三角形外角的性质求解即可．【详解】解：如图：连接BC，∵在△BDC中，∠BDC=120°，∴∠DBC+∠DCB=60°，∵在△BEC中，∠BEC=80°，∴∠EBC+∠ECB=100°，∴∠DBC+∠EBD+∠ECD+∠DCB=100°，∴∠DBC+∠DCB+∠EBD+∠ECD=100°∵∠ECD=20°，∴60°+∠EBD+20°=100°，即∠EBD=20°，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE=∠EBD=20°，∵∠BEC=∠A+∠ABE，∴∠A=∠BEC-∠ABE=80°-20°=60°．7.如图：D为线段BC延长线上一点，BE，CE分别平分∠ABC、∠ACD，EF∥(1)若∠A=76°，∠ABC=42°，GF∥CE，求(2)已知：2∠EFG+∠A+∠ABC=360°，求证：FG∥【答案】(1)∠EFG=121°(2)证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=1∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴12∴∠ECD=1∵2∠EFG+∠A+∠ABC=360°，∴∠EFG+1∴∠EFG+∠ECD=180°，∵EF∥∴∠FEC=∠ECD，∴∠EFG+∠FEC=180°，∴FG∥【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质【分析】（1）先求出∠ECD，然后利用平行线性质得到∠FEC=∠ECD=59°（2）先通过三角形外角性质和平行线性质得到∠ECD=12∠A+12∠ABC，结合从而可证．【详解】（1）解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=1由三角形外角定理可知∠ACD=∴∠ECD=∵EF∥∴∠FEC=又∵GF∥∴∠EFG+∴∠EFG=121°；（2）略8.已知：在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C．(1)如图1，∠BAC的平分线与BC，BD分别交于点E，F．求证：∠BFE=∠BEF．(2)如图2，∠GAC为△ABC的一个外角，∠GAC的平分线与直线BD交于点H．判断∠HBC与∠H的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∵∠BFE，∠BEF分别是△ABF，△AEC的外角，∴∠BFE=∠BAE+∠ABD，∠BEF=∠CAE+∠C．∵∠ABD=∠C，∴∠BFE=∠BEF．(2)解：∠HBC=2∠H，理由如下：∵∠GAH，∠GAC分别是△ABH，△ABC的外角，∴∠GAH=∠ABH+∠H，∠GAC=∠ABC+∠C=∠ABH+∠HBC+∠C．∵∠ABH=∠C，∴∠GAC=2∠ABH+∠HBC．∵AH平分∠GAC，∴∠GAC=2∠GAH．∴2∠GAH=2∠ABH+∠HBC，2∠GAH=2∠ABH+2∠H．∴∠HBC=2∠H．【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE=∠CAE，再由三角形外角的定义以及角度的关系即可证明．（2）根据三角形外角的定义可得∠GAH=∠ABH+∠H，∠GAC=∠ABC+∠C=∠ABH+∠HBC+∠C．再结合角平分线的定义即可得到∠HBC与∠H的数量关系．【详解】（1）略（2）略1．【方程思想】如图，已知MN∥PQ，点B在直线MN上，点C在直线PQ上，点A在直线MN上方，点E在DB的延长线上．若∠ABD:∠DBN=4:1，∠ACE:∠ECP=4:1，∠A=α，则∠E=（A．α B．36°+15α C．90°-α【答案】B【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质【分析】延长DE交PQ于点F，AC交MN于点G，根据∠ABD:∠DBN=4:1，∠ACE:∠ECP=4:1可设设∠ABD=4x，∠DBN=x，∠ACE=4y，∠ECP=y，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出x+y=180°+α5，再由【详解】解：如图，延长DE交PQ于点F，AC交MN于点G，∵∠ABD:∠DBN=4:1，∠ACE:∠ECP=4:1，∴设∠ABD=4x，∠DBN=x，∠ACE=4y，∠ECP=y，∴∠ABN=∠ABD+∠DBN=5x，∠ACP=∠ACE+∠ECP=5y，∵∠ABN是△ABG的一个外角，∴∠AGB=∠ABN-∠A=5x-α，∵MN∥∴∠ACQ=∠AGB=5x-α，∵∠ACP=180°-∠ACQ，∴5y=180°-5x-α即x+y=180°+α∵MN∥∴∠EFC=∠DBN=x，∴∠BEC=∠EFC+∠ECP=x+y=180°+α即∠E=36°+12．【跨学科物理】如图，一束激光PA射入水面，在点A处发生折射，折射光线AB在杯底形成光斑B点．水位下降时，光线PA保持不变，此时光线在点C处发生折射，光斑移动到D点．因水面始终与杯底平行，则折射光线CD∥AB．若∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为________．【答案】80°【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，两直线平行，同旁内角互补，进行计算即可．【详解】解：在△AEC中，∠1=50°，∠2=30°，∴∠BEC=80°，∵EC∥BD，∴∠BEC+∠EBD=180°，∴∠EBD=100°，∵CD∥AB，∴∠EBD+∠3=180°，∴∠3=80°．3．【几何图形变换】在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC(2)若