微积分(第六版)教案全套 赵树嫄 第1-9章 函数 -微分方程与差分方程简介

《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第一章：函数§1.1集合§1.2实数集§1.3函数关系§1.4分段函数§1.6函数的几种简单性质§1.7反函数与复合函数§1.8初等函数教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：复习集合的概念、掌握领域、开区间定义，复习函数的定义，掌握函数性质。掌握反函数、复合函数和初等函数定义教学重点、难点：区间、邻域定义，函数的性质，复合函数，基本初等函数及性质教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：引入：（10分钟）本学期授课内容介绍，各部分内容之间的关系，强调关键内容的重要性.新授课内容：（75分钟）一集合1.定义具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a属于集

合A，记作,元素a不属于集合A,2.集合的表示法：（提问交流）3.集合间的关系:（提问交流）4.常见的数集N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集它们间关系:

5.例子，，则不含任何元素的集合称为空集,记作例如,

规定:空集为任何集合的子集.6.运算（提问交流）板书区间和邻域的定义，强调二者的关系7.邻域:

实数集合{x

|x-x0|<δ,δ>0}在数轴上是一个以点x0为中心、长度为2δ的开区间(x0-δ,x0+δ),称为点x0的δ邻域.x0称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.如下图所示.例如,|x-5|<0.5,即为以点x0=5为中心、以0.5为半径的邻域,也就是开区间(4.5,5.5).在微积分中还常常用到集合{x

0<|x-x0|<δ,δ>0}这是在点x0的δ邻域内去掉点x0后其余的点所组成的集合,即集合(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),称为以x0为中心、以δ为半径的空心邻域(或去心邻域).如下图所示.例如,0<|x-1|<2,即为以点x0=1为中心、以2为半径的空心邻域(-1,1)∪(1,3).注意：邻域总是开区间.二、函数ppt展示函数定义，板书函数两要素

注意:（1）记号f和f(x)的含义是有区别的（2）函数的两要素:定义域和对应规则.如果两个函数的定义域和对应规则都相同,我们就称这两个函数是相同的函数.1.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.分段函数是一个函数PPT展示常见的分段函数的例子:例绝对值函数y=|x|=x定义域为(-∞,+∞),其图形右图所示.例符号函数y=sgnx=-1,定义域为(-∞,+∞),其图形如右图所示.例取整函数y=[x]记号[x]表示不超过x的最大整数.例如,[-3.6]=-4,[-0.2]=-1,[0.3]=0,[2.4]=2取整函数的定义域为(-∞,+∞),其图形如下图所示.例正部函数(也称ReLU函数)y=max{0,x}=定义域为(-∞,+∞),其图形如下图所示.该函数刻画了一种典型的阈值机制：输入未达临界值时输出为零，超过后线性增长.此类形式常见于销售提成（仅奖超额部分）、个人所得税起征点和保险免赔额等经济场景，数学上可表示为f(x)=max{0,x-a}.这一函数不仅便于建模现实中的非线性决策规则，也在现代数据分析中被广泛2函数的几种基本性质1）有界性:2）单调性3）奇偶性4）周期性三、反函数与复合函数1.反函数

设y=f(x)是定义在D(f)上的一个函数,值域为Z(f),如果对每一个y∈Z(f)有一个确定的且满足y=f(x)的x∈D(f)与之对应,其对应规则记作f-1,这个定义在Z(f)上的函数x=f-1(y)称为y=f(x)的反函数,或称它们互为反函数.函数y=f(x),x为自变量,y为因变量,定义域为D(f),值域为Z(f).函数x=f-1(y),y为自变量,x为因变量,定义域为Z(f),值域为D(f).习惯上用x表示自变量,用y表示因变量.因此我们将x=f-1(y)改写为以x为自变量、以y为因变量的函数关系y=f-1(x),这时我们说y=f-1(x)是y=f(x)的反函数.y=f(x)与y=f-1(x)的关系是x与y互换,所以它们的图形关于直线y=x对称,如下图所示.例求函数y=3x-1的反函数.解:由y=f(x)=3x-1可以求出x=f-1(y)=y将上式中的x换成y,将y换成x,因此得出y=3x-1的反函数是y=f-1(x)=x+13,2.复合函数复合函数：设有两个函数g:X→Y1,f:Y2→Z,其中Y1与Y2有交集，

则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的函数,这个函数称为g和f构成的复合函数,记作fog,即fog:X

→Z,(fog)(x)=f[g(x)],x∈X.讨论：映射g和f构成复合函数的条件是什么？通过下例说明.例已知y=f(u)=u,u=φ(x)=a-x2.分别考察当a=1,a=-1时,y=f[φ(x)]是不是复合函数.解:(1)当a=1时,有y=u,u=1-x2 D(f)=[0,+∞),Z(φ)=(-∞,1]Z(φ)∩D(f)非空集,所以y=f[φ(x)]=1-x下面求其定义域.函数y有意义要求u≥0,即要求1-x2≥0,因此有|x|≤1,于是得出复合函数y=f[φ(x)]=1-x2的定义域为[-1,(2)当a=-1时,有y=u,u=-1-x2 D(f)=[0,+∞),Z(φ)=(-∞,-1]Z(φ)∩D(f)为空集,所以y=f[φ(x)]=-1-四、基本初等函数和初等函数1.基本初等函数下列函数称为基本初等函数:(1)常数:y=c(2)幂函数:y=xα(α为任何实数)(3)指数函数:y=ax(a>0,a≠1)(4)对数函数:y=logax(a>0,a≠1)(5)三角函数:y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx y=secx,y=cscx(6)反三角函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx y=arccotx,y=arcsecx,y=arccscx复习，与学生交流中学学过的基本初等函数的定义域、值域、图形、以及单调性等基本性质，提醒学生查漏补缺.2.初等函数基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算所得到的有统一解析表达式的函数称为初等函数.例如，在人工智能，特别是人工神经网络中，为了使模型能够学习复杂的非线性关系，通常需要在每一层引入一个非线性变换，这类函数被称为激活函数.其中一个经典的激活函数就是Sigmoid函数(也称为逻辑斯蒂函数)σ(x)=在后面的学习中还会遇到形如f(x)的函数，其中f(x)>0,g(x)是初等函数，这样的函数称为幂指函数.由恒等式f(x)因此，幂指函数也可看作是初等函数.初等函数在其定义域内具有很好的性质（如连续性,可微性等）,它是经济数学课程中的主要研究对象.总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结通过本节内容的学习，学生掌握了相关概念，邻域的概念还是要在后面继续强调；对复合函数的拆分，课下要加强练习《微积分》教案编号：课时安排：1学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.1数列的极限教学目的要求：掌握数列的极限概念，了解定义、数列极限的几何意义、收敛数列的性质。教学重点、难点：极限的概念教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）引入：（10分钟）古代极限思想的介绍，芝诺悖论引入无限和极限的思想，如何求圆的面积？我国数学家刘徽的割圆术，介绍科普读物《刘徽数学”割圆术”-奇效的刘徽外推》，科普割圆术里蕴含的数学思想，包括无限、逼近、误差分析，分形等.可通过AI等图形工具制作动态图形，展示割圆术过程.新授课内容：（80分钟）一、数列极限的定义1、数列的概念:如果按照某一法则,使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn,则得到一列有次序的数 x1,x2,x3,×××,xn,×××这一列数就叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项. 板书举例说明数列数列的几何意义：数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,×××,xn,×××.数列与函数：数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),它的定义域是全体正整数.2、数列的极限:数列极限的描述性定义：对于数列{xn},如果当n无限增大时,数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a,则称常数a是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a.记为.如果数列没有极限,就说数列是发散的.例如,,;而{2n},{(-1)n+1},是发散的.可通过图形工具让学生观察数列的发展变化趋势.下面通过具体例子，引出数列极限的精确定义.定义2.3：如果对于任意给定的正数ε,总存在一个正整数N,当n>N时,yn恒成立,则称当n趋于无穷大时,数列yn以常数A为极限,记作limn→∞yn=A或yn→A(n→如果一个数列有极限,我们就称这个数列是收敛的,否则就称它是发散的.yn以A为极限,亦称yn收敛于A.例如,当n→∞时,yn=12n收敛于0;yn=1+1n收敛于1;而yn=2n无极限,所以它是发散的;yn=1+(-1)n2时而取通过举例引导学生理解定义中各参数的含义，并强调定义的作用。例利用定义证明limn→∞2n+1n证:对于任意给定的ε>0,要使yn-2=2n+1只要取n>1ε就可以了.因此,对于任意给定的ε>0,取正整数N=1ε+1,则当n>N时,yn-2<ε恒成立.所以,yn=2n+1limn→∞总结：(5分钟)通过借助AI工具呈现数列以及极限的图像，理解定义中不等式对应的意义，AI工具辅助教学.帮助学生了解和掌握常见的智能学习平台.课后思考和作业：阅读科普读物，了解中国古代数学家对数学发展的贡献.通过作业熟练掌握并深刻理解数列极限定义.教学总结：掌握数列极限的描述性定义，了解数列极限的精确定义.《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.2函数的极限教学目的要求：掌握函数极限概念，了解定义、单侧极限，函数极限的几何意义教学重点、难点：极限的概念，极限的性质，单侧极限教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）复习数列极限的定义，并以此引入函数的自变量变化过程的两种变化方式，进而介绍不同变化过程下的函数的概念。新授课内容：（80分钟）一、自变量趋于无穷大时函数的极限通过具体例子了解函数在自变量的绝对值越来越大时的发展趋势.由此引入自变量趋于无穷大时函数的极限.定义2.4设f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A对于任意给定的正数e,总存在着正数X,使得当x满足不等式|x|>X时,对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e,则常数A叫做函数f(x)当x时的极限,记为或f(x)A(x).例用定义证明limx→∞1x证:设f(x)=1x.对于任意给定的ε>0,|f(x)-0|=1x=1只要取|x|>1ε就可以了.因此,对于任意给定的ε>0,取M=1ε,则当|x|>M时|f(x)-0|=1x恒成立,所以limx→∞1x说明：有时我们还需要区分x趋于无穷大的符号.如果x从某一时刻起,往后总是取正值而且无限增大,则称x趋于正无穷大,记作x→+∞,此时定义中|x|>M可改写为x>M;如果x从某一时刻起,往后总取负值且|x|无限增大,则称x趋于负无穷大,记作x→-∞,此时定义中的|x|>M可改成为x<-M.用极限符号可表示成如下形式：和.例题讲解二．自变量趋于有限值时函数的极限引入：借助具体例子：y=f(x)=2x+1,定义于(-∞,+∞),考察当x越来越接近12时,定义2.5设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d,使得当x满足不等式0<|x-x0|d时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|e,那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限,记为或f(x)A(当xx0).函数极限的几何意义:(讨论）例利用定义证明limx→2(3x-2)=证:设f(x)=3x-2.对于任意给定的ε>0,要使|f(x)-4|=|(3x-2)-4|=|3x-6|=3|x-2|<ε只要取|x-2|<ε3就可以了.因此,对于任意给定的ε>0,取δ=ε3,当0<|x-2|<δ时|f(x)-4|<ε恒成立,所以limx→2(3x-2)三.单侧极限引入：借助图形再次观察具体函数在有限点的极限，分析自变量的变化情形.例子：考察函数f(x)=1,x<0x,x≥0.容易观察出,当x从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1;而当x从0的右侧趋于0时,f(x)趋于0.由此给出一般函数的单侧极限的定义．定义2.6：如果当x从x0的左侧(x<x0)趋于x0时,f(x)以A为极限,即对于任意给定的ε>0,总存在一个正数δ,使当0<x0-x<δ时,|f(x)-A|<ε恒成立,则称A为x→x0时f(x)的左极限,记作limx→x0-f(x)=A或f(x如果当x从x0的右侧(x>x0)趋于x0时,f(x)以A为极限,即对于任意给定的ε>0,总存在一个正数δ,使当0<x-x0<δ时,|f(x)-A|<ε恒成立,则称A为x→x0时f(x)的右极限,记作limx→x0+f(x)=A或f(x左极限与右极限统称为函数在某点的单侧极限.思考：当x®x0时函数f(x)的左右极限与当x®x0时函数f(x)的极限之间的关系怎样?下面讲解极限与单侧极限的关系。四、关于函数极限的定理定理2.1limx→x0f(x)=A成立的充分必要条件是:limx→x0+f(例设f(x)=1,x<0x,x≥0,研究当x→0时,解:当x<0时,limx→0-f(x)=limx而当x>0时limx→0+f(x)=lim左、右极限都存在,但不相等.所以,由定理2.1可知,limx→0f(x)不存在,课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结:掌握函数两种不同的极限，单侧极限与极限之间的关系。《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.3变量极限§2.4无穷小量与无穷大量教学目的要求：理解变量极限概念和掌握极限性质。了解无穷大量和无穷小量的定义和关系，熟练掌握无穷小量的阶.教学重点、难点：极限的基本性质，无穷大量和无穷小量的定义教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）通过总结前面所给出的数列极限以及函数极限的定义，引导学生从动态的角度理解极限，并给出变量极限的统一形式.新授课内容：（80分钟）一、变量极限的定义我们把数列f(n)及函数f(x)统一概括为“变量y”,把n→∞,x→∞,x→x0概括为“某个变化过程中”.那么,综合数列极限与函数极限的概念,可以概括出一般变量极限的定义.定义2.7对于任意给定的正数ε,在变量y的变化过程中,总有那么一个时刻,在该时刻以后,|y-A|<ε恒成立,则称变量y在此变化过程中以A为极限,记作limy=A这里的极限定义和记号概括了两种变量f(n)和f(x)在三种变化过程中(即f(n)在n→∞时及f(x)在x→∞或x→x0时)的极限问题.后面的内容中,只有对两种变量、三种过程均适用的定义、推理或规律性结论才能使用通用记号“limy=A”.如果变量y已给出具体函数和具体的变化过程,则不能使用通用记号,必须在极限符号下面标明所研究的变量的自变量的变化过程.例如,limn→∞1+1n=1,limx→2(3x-2)=4,lim例证明limc=c(c为常数).证:设y=c.对任意给定的ε>0,恒有|y-c|=|c-c|=0<ε所以limc=c“limc=c”表示,对数列f(n)=c有limn→∞f(n)=limn→∞c=c,对函数f(x)=c有limx→∞f(x)=limx→∞c=c及limx定义2.8在变量y的某一变化过程中,如果存在正数M,使变量y在某一时刻之后,恒有|y|≤M,则称y在该时刻之后为有界变量.“在某时刻之后”可以指数列当中的n大于某个正整数之后，也可指函数中的x在某个固定点的邻域之内或者|x|大于某个正常数.定理2.4(局部有界性)如果在某一变化过程中变量y有极限,则变量y在某时刻之后是有界变量.证:设limy=A,则对于ε=1,总有那么一个时刻,在该时刻以后,恒有|y-A|<ε=1因为|y|=|A+(y-A)|≤|A|+|y-A|<|A|+1,取M=|A|+1,则在该时刻以后,恒有|y|<M.所以,变量y在该时刻之后是有界变量.这个定理说明,若变量y在某一变化过程中有极限,则变量y在某时刻后有界；但若变量在某一时刻后有界,则不一定有极限.小结：变量极限的性质1.变量极限存在的唯一性2.变量极限的有界性3.变量极限的局部保号性三、无穷小量与无穷大量的概念引入：观察函数y=1x-1当x→定义2.9：如果对于任意给定的正数E,变量y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在该时刻以后,不等式|y|>E恒成立,则称变量y是无穷大量,或称变量y趋于无穷大,记作limy=∞定义2.10：以0为极限的变量,称为无穷小量,亦即对于任意给定的正数ε,如果在变量y的变化过程中,总有那么一个时刻,在该时刻以后,不等式|y|<ε恒成立,则称y为无穷小量.注意：（1）无穷小量（常数例外）或无穷大量都是变量,不能与很小的正数或很大的数混为一谈.（2）一个函数是否是无穷小（大）量与自变量的变化过程密切相关,离开了自变量的变化过程,无穷小（大）量无从说起.如函数在时为无穷小量,而在时则为无穷大量.（3）无穷小量与无穷大量之间有倒数的关系,即无穷小量（非零）的倒数是无穷大,无穷大量的倒数是无穷小量.无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量;（2）有限个无穷小量之积仍为无穷小量;（3）无穷小量与有界函数之积为无穷小量.（4）无穷小量与函数极限的关系:由于等价于,令,则.于是有下面的定理.补充定理：的充分必要条件是,其中.三、无穷小量的阶以具体例子和图表说明，无穷小量虽然都是趋于0的变量,但不同的无穷小量趋于0的速度却不一定相同,有时可能差别很大.由此定义无穷小量的阶.定义2.11设α,β是同一过程中的两个无穷小量.如果limβα=0,则称β是比α较高阶的无穷小量,记作β=ο(α)如果limβα=c≠0(c为常量),则称β与α是同阶无穷小量.特别地,当c=1时,称β与α是等价无穷小量,记作如果limβα=∞,则称β是比α较低阶的无穷小量因为limx→0x2x=limx→0x=0,所以当x→0时,x2是比x较高阶的无穷小量,可以记作x2=o(x).反之,当x→0limx→0x2x=12,所以当x→0时,简单说明无穷小量的阶的应用.总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：变量极限的统一形式及基本性质，无穷小量和无穷大量的定义以及关系，无穷小量的阶《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.5极限的运算法则教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握极限的四则运算法则。能利用运算法则计算各类型的函数极限教学重点、难点：极限的运算法则的证明，函数极限的计算方法教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）回顾极限定义，强调定义只能帮助验证极限，并不能直接通过定义给出极限，尤其对于复杂的函数，因此要给出极限的运算法则.新授课内容：（80分钟）一、极限的运算法则为了叙述方便,这里总假定在自变量的某变化过程中（或）和的极限存在.定理设,,则有:（1）（2）（3）（4）（）说明：定理中的式子可推广到有限多个函数的情形,即若,,,,则有;.我们称以上定理为极限的四则运算法则.它们在计算函数的极限中起着重要的作用.但要注意,运用极限四则运算法则时,必须考虑到运算法则成立的前提.引导学生画逻辑图总结.二、各类型函数极限的计算方法1、例1求,其中为常数,为正整数.一般地,用极限四则运算法则可得到,也就是说,对于任一个次多项式函数,都有.例2求一般地,如果,其中,分别是次和次多项式函数（此时也称为有理函数）,且,则.2、例3求一般地,有.例4求例5已知，求常数a，b.补充定理:（复合函数的极限，变量替换定理），.给学生指明该定理可以直接应用，以例题说明.总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：熟练掌握极限计算的法则和运算技巧，通过计算强化极限的基本理论.《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.6两个重要极限教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握极限存在的两个定理，掌握两个重要极限的结果并能求解相同类型的函数极限掌握第二个重要极限的应用：复利和贴现问题教学重点、难点：两个重要极限的推广应用以及经济应用教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）复习上节关于极限的相关概念与基础理论，提出问题：如何判定极限存在？新授课内容：（80分钟）一、极限存在性定理定理2.11（准则I）如果在某个变化过程中,三个变量x,y,z总有关系y≤x≤z,且limy=limz=A,则limx=A.例证明limx→0sin证:当0<|x|<π2时,0<|sin由limx→0|x|=0,根据定理2.11得limx→0例求limn解:1n2+n+1n2+n+…+1≤1n2+1+1n即 nn2+n≤1n2+1+而 limn→∞nn2+n=所以 limn→∞定理2.12（准则II）单调有界数列必收敛.通过数轴上的点列解释准则II.并说明该定理的详细版本是：单增且有上界的数列必存在极限，单减且有下界的数列必存在极限.例如,刘徽的“割圆术”求圆周长就用上这个性质,圆内接正边形的周长构成一个单调增加的有界数列,即圆内接正三边形的周长C1圆内接正六边形C2圆内接正十二边形C3…圆内接正边形的周长Cn…圆周长.由性质得,=圆周长.二、两个重要极限重要极限一：（属于型）该极限可以推广：其中为中的无穷小量。例求板书讲解一般地,.例求重要极限二：（属于型）通过画图工具制作该数列的散点图以及连续化以后的函数的曲线图，分别观察在以及的变化趋势。然后严格理论证明，该数列单增有上界，故极限存在，其极限值就定义为无理数e，无理数,于是有.而对于连续变量x,也有.极限还有另一种等价形式.由该极限以及变量替换定理，也可得到以下计算公式：若x→X(有限值或无穷大均可)时,φ(x)→∞,则limx→X1+1φ(x)φ(x)=e仍成立;若当x→X时,φ例求一般地有:.PPT讲解其他例题。下面补充关于幂指函数的其他计算方法：如果limx→Xf(x)=A>0,limx→Xg(x)=B这一结论可以和第二重要极限结合在一起进行极限计算.例求limx解:limx→∞时，x2-1→∞lim=lim又因为limxlim三、第二个重要极限的经济应用——复利和贴现问题首先通过PPT引入离散复利公式;At=A01+rmmt式(2.11)称为t年末本利和的离散复利公式.然后推广到连续复利公式：如果计息期数m→∞，即利息随时计入本金(称为连续复利)，则t年末的本利和为At=limm→∞A01+rm这一极限不仅在数学理论中具有重要意义，也在实际应用中展现出广泛的价值.为求出式(2.12)的结果,可把(2.12)表示成以下形式At=limm→∞A01+r由于limn→∞1+1nn=e,而m→ At=A0ert（2.13）式(2.13)称为t年末本利和的连续复利公式.(2.12)和(2.13)中的A0称为现在值或现值，At称为将来值.已知A0求At,称为复利问题；已知At求A0,称为贴现问题，这时称利率r为贴现率.PPT展示复利问题和贴现问题的应用.例某科技公司计划发行一种5年期零息债券，每份债券在到期日(即第5年末)一次性兑付10000元.假设当前市场年利率为4.5%，按连续复利计息.为使投资者获得与市场一致的回报率，该公司当前每份债券应如何定价？(学生思考和讨论后讲解该问题.)总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：熟记两个重要极限，熟练掌握利用重要极限计算其他复杂函数的极限，深刻理解复利和贴现问题及其应用.《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.7利用等价无穷小量替换计算函数极限§2.8函数的连续性（1）教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：了解等价无穷小量替换定理，掌握等价无穷小量的几个结论并能利用结论计算函数极限，掌握函数的连续性的定义教学重点、难点：等价无穷小量替换条件和替换内容，连续的判别条件教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）板书复习无穷小量的阶的内容，引入新内容新授课内容：（80分钟）2.7利用等价无穷小量替换计算函数极限定理2.13如果在同一变化过程中,α,α1,β,β1都是无穷小量,且α~α1,β~β1,那么有(1)如果limα1f(x)=A，则limαf(x)=limα1f(x)=A；(2)如果limα1β1=B，则limαβ证：因为limαf(x)=limαα1α1f(x)=limαα1·limα1 =1·limα1f(x)=limα1f(x)=A.limαβ=limαα1·α1β1· =1·limα1β1·1=lim列出常用的等价无穷小量：x→0时，~~，例1（，）例2（）例3例4强调：等价无穷小量代换只能用于乘除运算,对加、减项的无穷小量不能随意代换,如下例中的解法是错误的.limx→0tan板书展示该题目的正确做法.2.8函数的连续性（1）（一）函数的改变量1.变量的改变量定义设变量t有初值，终值，则称的改变量，记：，即：注意：时，；时，。2.函数的改变量设，当时，；时，；则：，称为的改变量．注：是由引起的。（二）连续函数的概念1、定义2.13设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当自变量x在点x0处取得的改变量Δx趋于0时,函数相应的改变量Δy也趋于0,即limΔx→0或写为 limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x则称函数f(x)在点x0处连续，点x0称为函数f(x)的一个连续点.例证明函数y=x2在给定点x0处连续.证:当x从x0处产生一个改变量Δx时,函数y=x2的相应改变量为Δy=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx因为 limΔx→0Δy=limΔx→0[2x0·Δ所以y=x2在给定点x0处连续.在定义2.13中,令x=x0+Δx,即Δx=x-x0,则当Δx→0时,x→x0,且Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(x)-f(x0)因而limΔx→0 limx→x0[f(x)-f(x即 limx→x0f(x)=f因此,函数在点x0处连续也可以如下定义.定义2.14设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当x→x0时,函数f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点x0处的函数值f(x0),即有limx→x0f(x)=f(x0),则称函数f(x)在判断函数在某点是否连续时，定义2.14更为方便有效.此外,由定义2.14计算连续函数在某点的极限时,只需求出函数在该点的函数值即可.例2已证明y=x2在点x0处连续,故有limx→x02.单侧连续的概念.从连续的定义看,趋于是指从从的左、右两侧都趋于.如果单从的左侧或右侧趋于看,就可得到左、右连续的概念.即:如果,则称在处左连续;如果,则称在处右连续.所以，在处连续的充分必要条件是在处左、右都连续.3.函数在区间上的连续性.定义2.15：如果函数f(x)在区间[a,b]上的每一点都连续,则称f(x)在[a,b]上连续,并称[a,b]是f(x)的连续区间.注意：以上定义中，函数在区间的两个端点连续，一般是指函数f(x)在左端点x=a右连续，在右端点x=b左连续.例证明y=sinx在(-∞,+∞)内连续.证:设x0是(-∞,+∞)内任意一点.当x从x0处取得改变量Δx时,函数y取得相应的改变量Δy=sin(x0+Δx)-sinx0 =2sinΔx2·因为cosx0+Δx2≤所以 |Δy|≤2·|Δx|2·即 -|Δx|≤Δy≤|Δx|因而 limΔx→所以y=sinx在点x0处连续.又因x0是(-∞,+∞)内任意一点,所以y=sinx在(-∞,+∞)内连续.同理可证y=cosx在(-∞,+∞)内连续.说明函数在区间上连续的几何意义.从几何上看，连续函数的图形是一条连续不间断的曲线.课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：利用无穷小量的等价替换计算极限，函数在某点连续的两种定义，函数的单侧连续函数在区间内的连续性.《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第二章：极限与连续§2.8函数的连续性（2）教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握间断点类型和判断，熟悉闭区间上连续函数的性质教学重点、难点：间断点的判断和分类，介值定理教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）由前面函数在某点的连续性引出函数在某点间断的定义以及间断点的判别.新授课内容：（80分钟）三.函数的间断点定义2.16如果函数f(x)在点x0处不满足连续条件,则称函数f(x)在点x0处不连续,或者称函数f(x)在点x0处间断.点x0称为f(x)的间断点.根据函数f(x)在点x0连续的定义2.14,如果f(x)在点x0处有下列三种情形之一,则点x0为f(x)的间断点:(1)在点x0处f(x)没有定义;(2)在点x0处f(x)有定义,但limx→x0f(x)(3)在点x0处f(x)有定义,且limx→x0f(xlimx→x0f(x)≠fPPT展示函数在某点间断的不同类型.由此给出间断点的分类.间断点的分类：定义2.17如果函数f(x)在x=x0处间断，且在x=x0处的左极限limx→x0-f(x)、右极限limx→x0+f(x)均存在,则称点x=x0为第一类间断点.如果函数f(x)在点x=x0处的左极限limx→x第一类间断点又可分为以下两种类型：1.如果函数f(x)在间断点的左、右极限存在且相等,但是不等于该点的函数值或者函数在该点没有定义,我们称这种间断点为可去间断点.此时我们可以重新定义或者补充定义函数在间断点的值,使得所形成的新函数在该点连续(如下图(a)所示).2.如果函数在间断点的左、右极限存在但不相等,我们称这种间断点为跳跃间断点.跳跃间断点的图形如下图(b)所示.(a)(b)在第二类间断点中,如果函数在间断点的左、右极限至少有一个是发散到无穷大，那么称这种间断点为无穷间断点.如果函数在间断点的极限不存在，且函数值在某个范围内无限振荡，那么称这种间断点为振荡间断点.无穷间断点和振荡间断点的图形如下图(c),图(d)所示.(c)(d)例函数其图形在处的左、右极限都是（即,）,但定义域不含点,故是第一类间断点的可去间断点.例设f(x)=1x2求函数的间断点,并判断其类型.解:结合函数的图形,如图2-22所示.在x=0处,f(x)无定义,且limx→0f(所以点x=0是f(x)的第二类间断点,且为无穷间断点.在x=1处,f(1)=1,但limx→1-f(x)= limx→1+f(x)= limx→1-f(x)≠limx所以点x=1是f(x)的第一类间断点,且为跳跃间断点.在x=2处,f(x)无定义,但limx→2-f(x)=limx→2+所以点x=2是f(x)的第一类间断点且为可去间断点,如下图所示.四、连续函数的运算法则PPT讲解四则运算法则：定理2.14如果函数f(x)与g(x)在点x0处连续,则这两个函数的和f(x)+g(x),差f(x)-g(x),积f(x)·g(x),商f(x)g(x)(当g(x0)≠0可以证明基本初等函数在其定义域上连续.再由初等函数的定义及连续函数的四则运算性质、复合函数的连续性(课上简要说明),可得出下面重要结论:初等函数在其定义区间内是连续的.例求解因为初等函数在处有定义,故由初等函数的连续性得.五、闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有其他区间上（如开区间）连续函数所没有的重要性质,如最大（小）值的存在性、有界性等.设函数在区间上有定义,如果存在,使得对任意的,有,则称分别为函数在上的最大值和最小值,点叫做的最大值点和最小值点.定理1（最大、小值定理）若函数在上连续,则在上必取得最大值和最小值.注:定理中闭区间这个条件很重要,若是开区间,则未必有这个结论.如,它在上连续,但在上取不到最大值与最小值.由定理5即可推出下面的推论推论1若函数在上连续,则在上有界.这个推论也叫做闭区间上连续函数的有界性定理.定理2（介值定理）设在上连续,和为在上的最大值和最小值,则任给值:,存在,使得.推论2（零点定理）若函数在上连续,且,则存在,使得.从左图来看,这个结论是很明显的.若点与点分别在轴的上下两侧,则连接与的连续曲线至少与轴交于一点.零点定理说明,若在上连续,且异号,则方程在至少有一个根.例证明方程至少有一个根介于和之间.证明：设,则在在连续,且,,即,由零点定理知,在上至少有一个根,使得,即方程至少有一个根介于和之间.六、利用函数的连续性求极限.例求limx解: limx→0-ex该题利用初等函数在其定义区间内的连续性.例求limx解:limx→0ln(1+x =lnlimx→0(1+x)1所以可以得出ln(1+x)~x(x→0).说明：该题利用对数函数在定义域内的连续性.例求limx解:令ex-1=y,即x=ln(1+y).当x→0时,y→0.于是limx→0ex-所以可以得出ex-1~x(x→0).总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：连续的定义，间断点的判断与间断点的类型，利用指数函数和对数函数的连续性计算幂指函数的极限,闭区间上连续函数的性质《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第三章：导数与微分§3.1引出导数概念的例题§3.2导数的概念教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：掌握导数的概念，理解导数的几何和经济意义，掌握用定义求导数的方法。教学重点、难点：导数定义及由定义求导法，导数的几何含义教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（10分钟）在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此基础上讨论函数的变化率问题（即函数的导数）。导数是高数的重点，它的本质是极限（比值的极限），在现实中有极丰富的应用。新授课内容：（75分钟）一、理论基础——极限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动）引例2、切线问题（曲线）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1.自变量x作微小变化x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率，作为点处瞬时变化率的近似值；2、对求x0的极限，若它存在，这个极限即为点处变化率的精确值。定义3.1设函数在点及附近有定义，当在点取得改变量时，相应函数取得改变量，若当时，比值的极限存在，则称此极限值为在处的导数或微商。记，即说明：(1)比值是函数在上的平均变化率；而是在处的瞬时变化率，它反映函数在点随自变量变化的快慢程度；(2)若不存在（包括），则称在点不可导；(3)若在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b）内可导，记，称为导函数，简称导数。(4)f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值，f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值。求导举例一般地说，求导有三步：（1）给出；算出；求增量（2）求增量比；求差商（3）求极限。取极限例求函数y=1x的导数解:Δy=1x+Δx- ΔyΔ y'=limΔx→0三、导数的几何意义曲线在该点处的切线斜率，由此可给出曲线在某点的切线方程以及法线方程.曲线y=f(x)上点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)法线方程为y-y0=-1f'(x0例.求曲线在点处的切线方程和法线方程.（板书计算）()四、单侧导数左导数右导数∴ 例讨论在x=0处可导性(在x=0处连续不可导)例设存在,求极限（）五、可导与连续的关系可导必连续，但连续不一定可导.(PPT证明可导一定连续)例如，函数在处连续但不可导例讨论函数f(x)=x-1,x≤02x,0<x≤1x2(综合练习导数、连续概念，学生思考、练习，老师板书讲解)内容小结1.导数的实质:增量比的极限;2.3.导数的几何意义:切线的斜率;4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.总结：（5分钟）导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、利润、成本等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：导数的定义及等价表达式，单侧导数，导数的本质及实际意义《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课□实验课□习题课√其它□题目（教学章、节或主题）：第三章：导数与微分§3.3导数的基本公式与运算法则(1)教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：熟练掌握导数计算公式教学重点、难点：基本导数公式，导数运算法则,反函数求导法则教学方式、手段、媒介：讲授板书与多媒体结合教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等）复习与引入：（5分钟）前面我们根据导数的定义，求出了一些简单函数在某点或定义区间内的导数。下面再通过具体例子复习导数的定义.例1.求函数y=C的导数例2.求函数的导数对于一些较复杂的函数，按照定义来求它们的导数往往很困难，所以在实际计算中，人们多利用导数的基本公式和求导法则来求已知函数的导数．本节我们由导数的四则运算法则，导出基本初等函数的求导公式，引入新课讲授新内容新授课内容：（80分钟）一、函数四则运算求导法则定理1若函数与在点x处可导，则（1）函数在点x处可导，且；（2）函数在点x处可导，且；（3）特别对任意常数C，有；（4）若，函数在点x处可导，且其中法则（1）、（2）可推广到有限个函数的情形.例如，由（2）可得推论:例1求的导数．例2设，求例3求的导数．例4求的导数．例5求的导数．经过以上基本计算的训练后，讲解关于导数的实际应用例题.例中国高铁作为国家战略性基础设施，其网络扩张对区域协调发展和经济格局重塑具有深远影响.为刻画其发展动态，研究人员基于2010年至2020年的实际数据，拟合得到如下高铁运营里程函数(单位：万公里)：S(t)=0.002其中，t表示自2010年起经过的年数(即t=0

对应2010年).计算2020年时，高铁运营里程的瞬时增长率(单位：万公里/年)，并解释该导数值在现实中的工程意义.解:由导数的实际意义和题意，t=10

对应2020年，我们需要计算里程函数在t=10处的导数值.S'(t)=(0.002=(0.002=0.006再将t=10代入上式，得到S因此，2020年中国高铁运营里程的瞬时增长速率为0.4万公里/年.以上结果说明，在2020年这一时间点，若保持当时的建设节奏不变，中国高铁网络将以每年4000公里的速度继续扩展.二、复合函数的求导法则提出问题：答案并不等于，其原因在于是复合函数，关于复合函数求导我们有如下法则板书一.复合函数的求导法则定理（复合函数求导法则）：如果在点可导，且点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或由定理知，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，该法则可推广到有限次复合函数的求导运算．若，，，则复合函数的导数为该法则称为复合函数的链式法则．因此在计算复合函数的导数时，其关键是弄清楚复合函数的结构，即它是由哪几个基本初等或简单函数复合而成，然后再求导．例求下列函数的导数．（1）（2）（3）（，，，）对于复合函数的分解比较熟练之后，就不必写出中间变量，可采用下列直接由外及里，逐层处理复合关系的方式进行求导．例设，求．（）例设，求.（）例已知，且可导，求．（）注意：是对复合函数的自变量x求导，而的含义是将sinx看做一个整体中间变量u的导数，它们的含义是不同的．三.总结：（5分钟）导数的四则运算法则一是帮助我们推出了部分求导公式，二是在遇到函数的四则运算过程中有了依据，初等函数的求导数必须熟悉：(i)基本初等函数的求导；(ii)四则运算法则课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的链式求导法则《微积分》教案编号：11课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第三章导数与微分§3.3节导数的基本公式和运算法则（2）教学目的要求：掌握复合函数求导法则，掌握隐函数求导法则和对数求导法教学重点、难点：复合函数求导法则、对数求导法教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学教学过程：

复习与引入：(5分钟)上一讲根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数，但是对于一些较复杂的函数，按照定义来求它们的导数往往很困难，所以在实际计算中，人们多利用导数的基本公式和求导法则来求已知函数的导数．下面讲解本节新内容，由反函数求导法则引入新课初等函数求导运算。讲授新内容：（80分钟）反函数求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,例.求反三角函数及指数函数的导数.二、初等函数的求导问题．1.常数和基本初等函数的导数2.有限次四则运算的求导法则3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导，且导数仍为初等函数利用基本初等函数的导数及常数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数导数的链式法则，可以求出所有初等函数的导数.例5.求．（）例6.求．（，）例7.求．（）关键:搞清复合函数结构，由外向内逐层求导例求双曲正切函数y=tanhx=e解：说明双曲正切函数在神经网络方面的应用.三、小结导数的四则运算法则一是帮助我们推出了部分求导公式，二是在遇到函数的四则运算过程中有了依据，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。四、隐函数的导数由方程所确定的函数，称之为隐函数．有些隐函数容易化成显函数，如化为；有些隐函数则很难显化，如由所确定的函数．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们有必要找出直接由方程来求隐函数的导数方法．求方程确定的隐函数y的导数，只要将方程中的y看成x的函数，利用复合函数的求导法则，方程两边同时对x求导，得到一个关于的方程，然后从中解出即可．板书例求由方程所确定的隐函数的导数．()例.方程确定y是x的函数，求．()五、对数求导法对于特殊类型函数（它既不是指数函数，又不是幂函数，称为幂指函数）或若干个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数，通常采用对数化成加、减变成隐函数，然后按隐函数求导法则求函数的导数，此方法称为对数求导法．例.求函数的导数．()例.求的导数．()六、参数方程确定的函数的导数在有些问题中,因变量y与自变量x的函数关系不是直接用y与x的解析式来表达,而是通过一个参变量来表示.若参数方程x=φ(t)y=ψ下面讨论由参数方程表示的函数关系的导数.设x=φ(t)有连续反函数t=φ-1(x),又φ'(t)与ψ'(t)存在,且ψ'(t)≠0.y与x构成复合函数y=ψ(t)=ψ[φ-1(x)].利用反函数与复合函数的求导法则,有dydx=dydt·dtd例已知x=acosty解:dydx=dydtd例已知x=arctanty=ln(解:dydx=dyd内容小结1.隐函数求导法则——直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.由参数方程确定的函数的导数七、综合杂例.通过以下例题检验学生对求导符号的理解，以及了解导数的一些应用.例已知f(u)可导,求[f(lnx)]',{f[(x+a)n]}'及{[f(x+a)]n}',其中a为常数.例已知y=y(x)=ef2(x),若f'(a)=12f(a)所以y(a)=y'(a)（学生思考，练习，老师最后讲解）例在某化工厂的发泡材料生产线中，液态原料被注入模具后迅速发生化学反应并膨胀，形成球形泡沫颗粒.实验观测表明，在膨胀初期，泡沫球的半径r以0.5cm/s的速度等速增加.求当泡沫球的半径r=10cm时,其体积V增加的速度.本例主要讲解关于相对变化率的问题.总结：（5分钟）深刻理解导数的定义及应用，熟练掌握各种函数求导方法.通过计算练习深化所学理论内容.课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：熟练掌握基本初等函数导数公式，导数的四则运算法则和复合函数求导法则、对数求导法则以及隐函数求导法则，说明后续还会有其他方法计算隐函数的导数.《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第三章导数与微分§3.4高阶导数§3.5微分教学目的要求：了解高阶导数定义，掌握高阶导数计算，掌握微分定义，掌握微分计算公式教学重点、难点：高阶导数计算，微分的定义及几何含义教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学加板书教学过程：复习与引入：（5分钟）引例：变速直线运动速度,加速度，边际利润、边际成本等经济概念.新授课内容：（80分钟）一、高阶导数的概念若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导。仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数；或记为例1求函数的二、三阶导数.例2.证明满足关系式求．例3.求．例4求的二阶导数及导数.()例5.求．类似可得二、高阶导数的运算法则设函数，都有n阶导数,则(C为常数)（莱布尼兹(Leibniz)公式）例6.求．()小结：高阶导数的求法（1)逐阶求导法，(2)利用归纳法，(3)间接法——利用已知的高阶导数公式复习导数的定义形式，它的另一种记号意义是什么？三、微分的定义1.引例：设有一个边长为的正方形，面积为S，则S是的函数：。若边长取得一个改变量，面积S相应的改变量记为，可得：分析的构成：分成两部分，第一部分是的线性函数，第二部分，当时是比高阶的无穷小()，即，如果边长改变很微小，即很小时面积的改变量可近似地用第一部分来代替，即.则把称作正方形面积的微分.2．定义3.3：设函数在的某个邻域内有定义，当自变量在处取得改变量时，如果函数的增量可以表示为（3.24）其中A是与有关而与无关的常数，是比高阶的无穷小量，则函数在点x处可微，称为微分，记为dy或df(x),即由微分的定义可知,微分是自变量的改变量Δx的线性函数.当Δx→0时,微分与函数的改变量Δy的差是一个比Δx高阶的无穷小量ο(Δx).通常称函数微分dy为函数改变量Δy的线性主部.问题：如何确定A的值？由此引出微分的计算公式以及给出导数与微分以及可微与可导之间的关系。设函数y=f(x)在点x处可微,则由定义可知,公式(3.24)成立.用Δx(≠0)除式(3.24)的两边得ΔyΔx=A+ο(Δx所以y'=limΔ由此可见,如果函数y=f(x)在点x处可微,则它在点x处可导,而且dy=f'(x)Δx反之,如果y=f(x)在点x处可导,则它在点x处也可微.因为,若limΔx→0ΔΔyΔx=f'(其中α是当Δx→0时的无穷小量,所以Δy=f'(x)Δx+αΔxf'(x)Δx是Δx的线性函数,αΔx是比Δx高阶的无穷小量.这就是说,函数y=f(x)在点x处可微,且f'(x)Δx就是它的微分.由上面的讨论可知:函数可微必可导,可导必可微,可导与可微是一致的,并且函数的微分就等于函数的导数与自变量改变量的乘积,即dy=f'(x)Δx如果将自变量x当作自己的函数y=x,则得dx=x'·Δx=Δx因此,我们说自变量的微分就是自变量的改变量.于是,函数的微分可以写成dy=f'(x)dx (3.25)即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分的乘积.由式(3.25)可得dydx=f'下面说明导数符号与微分符号的关系：我们曾用dydx表示过导数,那时dydx是整体作为一个记号来用的.在引进微分概念之后,我们知道dydx表示的是函数微分与自变量微分的商总结函数极限存在、连续、可导以及可微之间的关系：可导可微连续极限存在四.微分的几何意义在直角坐标系中作函数y=f(x)的图形,如图3-5所示.于曲线上取定一点M(x,y),过M点作曲线的切线,则此切线的斜率为f'(x)=tanα.图3-5当自变量在点x处取得改变量Δx时,就得到曲线上另外一点M1(x+Δx,y+Δy).由图3-5易知MN=Δx,NM1=Δy且NT=MN·tanα=f'(x)Δx=dy因此,函数y=f(x)的微分dy就是过点M(x,y)的切线的纵坐标的改变量.图中线段TM1是Δy与dy之差,它是Δx的高阶无穷小量.由几何意义让学生理解以直代曲，以不变代变化的近似计算的思想.总结：（5分钟）课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：二阶导数的计算，归纳法计算n阶导数，函数在某点可微的定义，微分的基本计算公式，可微与可导的关系,微分的几何意义.《微积分》教案编号：课时安排：1学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第三章导数与微分3.5微分（2）教学目的要求：掌握微分运算与运算法则，熟练掌握微分的基本计算公式，熟悉微分的应用教学重点、难点：微分与导数的关系，微分的形式不变性，微分的应用教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学加板书教学过程：复习与引入：（5分钟）复习微分的定义和微分的基本计算公式，接着讲解新内容：微分的具体计算.新授课内容：（80分）一.微分公式与运算法则如果函数y=f(x)可微，则微分的表达式，可作为微分的基本不计算公式.因此，要计算函数的微分，只要求出导数，再乘以自变量的微分即可.常数和基本初等函数的微分函数和、差、积、商的微分法则(1)d(u±v)=du±dv(2)d(uv)=udv+vdu(3)d(cu)=cdu(c为常数)(4)duv=vdu-ud例.已知求。()二、微分的形式不变性如果函数y=f(u)对u是可导的,则(1)当u是自变量时,此时函数的微分为dy=f'(u)du(2)当u不是自变量,而是x的可导函数u=φ(x)时,y为x的复合函数.根据复合函数求导公式,y对x的导数为dydx=f'(u)φ'于是dy=f'(u)φ'(x)dx但是φ'(x)dx就是函数u=φ(x)的微分,即du=φ'(x)dx所以 dy=f'(u)du由此可见,对函数y=f(u)来说,不论u是自变量,还是自变量的可导函数,它的微分形式同样都是dy=f'(u)du,这一性质称作微分形式的不变性.我们可利用这一性质计算复合函数的微分.例.已知求。()例.已知求。()例.已知求。()例.已知求。()例.，求。()例.在下列括号中填入适当的函数使等式成立,()说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容三、微分在近似计算中的应用当很小时,得近似等式:使用原则:特别地，取很小时,有例一个外直径为10cm的球,球壳厚度为116cm.试求球壳体积的近似值解:半径为r的球的体积为V=f(r)=43πr球壳体积为ΔV,用dV作为其近似值dV=f'(r)dr=4πr2drdV|所求球壳体积|ΔV|的近似值|dV|为19.63cm3.思考：∆V的精确值是多少？∆V与d总结：（5分钟）1.微分概念微分的定义及几何意义2.微分运算法则微分形式不变性:(u是自变量或中间变量)微分在近似计算上的应用课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：深刻理解微分的几何意义，掌握微分的基本计算公式与运算法则，微分的形式不变性，微分在近似计算中的应用。《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第四章中值定理与导数的应用§4.1中值定理教学目的要求：掌握三个中值定理，熟练掌握洛必达法则；会利用导数判定函数的单调性、凹凸性等性质；熟练掌握函数的极值和最值问题；深刻理解导数在经济中的应用.教学重点、难点：拉格朗日中值定理，各中值定理之间的关系，函数图形的绘制教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学教学过程：引入(5分钟)：介绍中值定理在整个微积分中的重要地位。新授课内容：(75分钟)一、罗尔定理罗尔定理若函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即，则在内至少存在一点，使得．说明罗尔中值定理的几何解释.罗尔定理应用举例例不求导数,判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个实根,以及其所在的范围.解:f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1,2],[2,3]上满足罗尔中值定理的条件.因此在(1,2)内至少存在一点ξ1,使f'(ξ1)=0,ξ1是f'(x)的一个实根.在(2,3)内至少存在一点ξ2,使f'(ξ2)=0,ξ2也是f'(x)的一个实根.又因为f'(x)为二次多项式,只能有两个实根,分别在区间(1,2)及(2,3)内.注意：如果罗尔中值定理的三个条件有一个不满足,则定理的结论就可能不成立.(图形罗列罗尔定理结论不成立的情形.)二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理若函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得(1)成立。几点说明：(1)显然，公式(1)对于也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2)设为区间上一点，为该区间内的另一点或，则公式(1)可写成．(2)(3)若记为，则，于是(2)式又可写成．(3)公式(3)又称为有限增量公式。说明拉格朗日中值定理的几何解释,如下图所示.由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要推论:推论1：若函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数．推论2：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f'(x)与g'(x)都相等,则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数.拉格朗日中值定理的应用：例证明不等式ln(1+x)-lnx>11+x(证:设f(x)=lnx(x>0).因f(x)在[x,1+x]上满足拉格朗日中值定理的条件,因此有f(1+x)-f(x)=f'(ξ)(1+x-x),ξ∈(x,1+x)即 ln(1+x)-lnx=1ξ,ξ∈(x,1+x因为 0<x<ξ<1+x，所以可得ln(1+x)-lnx>11+x(三、柯西中值定理柯西中值定理若函数及满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)对任一，，则在内至少存在一点，使得．柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广．说明后续内容会用到柯西中值定理.总结(5分钟)课后思考和作业：通过课后思考，深化理解课堂所学理论，并利用作业进一步巩固所学知识和方法技巧.教学总结：三个中值定理；罗尔中定理及拉格朗日中值定理的应用；柯西中值定理在后续的应用《微积分》教案编号：课时安排：2学时教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目（教学章、节或主题）：第四章中值定理与导数的应用§4.2洛必达法则教学目的要求：掌握洛必达法则并能利用洛必达法则计算函数极限教学重点、难点：洛必达法则的内容和使用原则和方法教学方式、手段、媒介：讲授、多媒体辅助教学加板书教学过程：复习与引入：（10分钟）函数极限计算的各种方法，并提出问题：是否有系统的方法计算待定式的极限？讲授新内容：（75分钟）洛必达法则定理1设函数与(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点的某邻域内(点a可以除外)可导，且；(3)存在(或为无穷大)，则．定理2设(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点时及都存在，且；(3)存在(或为无穷大