2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第26讲　复数

第五章第26讲复数平面向量与复数知识整合·体系建构1．(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为 (

)A．－1

B．0C．1

D．6CA．2＋i

B．－2＋iC．－2－i

D．2－i【解析】B【解析】D4．(教材经典题改编)(多选)下列各式计算正确的是 (

)【解析】ACA．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1【解析】C1．复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，______叫做实部，______叫做虚部，复数集记作C，即C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}．(2)复数相等：复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相等⇔_______________．aba＝c且b＝d2．复数的分类对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是实数⇔b＝0；z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔a＝0且b≠0．3．复数的几何意义(1)复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示虚数．4．复数的代数运算已知两个复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，那么：z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；5．常用结论(6)复数z的方程在复平面上表示的图形①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；②|z－(a＋bi)|＝r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．题型突破·思维拓展目标1复数的有关概念

(1)(2025·青岛期末)已知复数z1＝2＋i，z2＝a－i(a∈R)，若复数z1·z2为纯虚数，则实数a的值为

(

)A．1

B．0(2)(2025·广州一模)若复数z满足1＋iz＝i，则z的虚部为 (

)A．－1

B．1C．－i

D．i1CB解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题均可转化为其实部与虚部需满足的条件问题．只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部分别满足的方程(或不等式)组即可求解．(2)解题时，要先确认复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以此明确其实部和虚部．变式1

(1)(2025·南京零模)(多选)已知复数z，下列结论正确的是 (

)A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1C．若|z|＝1，则z＝±1 D．若z2∈R，则z∈R【解析】

对于A，设z＝a＋bi，由z＋1＝(a＋1)＋bi∈R得b＝0，那么z＝a＋bi也是实数，故A正确；对于B，设z＝a＋bi，由z＋i＝a＋(b＋1)i∈R得b＝－1，那么z的虚部为－1，故B正确；对于C，若z＝i，则|z|＝1，此时z≠±1，故C错误；对于D，若z＝i，z2＝i2＝－1为实数，而z不一定是实数，故D错误．ABB目标2复数的运算及性质2C【解析】2

(2)(2025·金华模拟)(多选)已知复数z1，z2互为共轭复数，则 (

)A．|z1|＝|z2| B．z1z2＝|z1||z2|ABC(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．(2)复数的除法：除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数．A．－i

B．iC．0

D．1【解析】A变式2

(2)(2025·湛江一模)(多选)若复数z1，z2满足z1＋z2＝4，z1·z2＝8，则

(

)【解析】ABD目标3复数的几何意义3【解析】【答案】BCD【解析】3A复数的几何意义体现了数形结合思想的运用．处理这类问题常用两种方法：一是利用复数的代数形式进行求解，即“化虚为实”，思路自然清晰，但运算较复杂；二是利用复数的几何意义进行求解，简洁明快．另外，关于复数模的问题，一般可化为复平面内两点间的距离来解决．变式3

(1)(2025·汕头一模)(多选)已知复数z0＝1－i，z＝x＋yi(x，y∈R)，则下列结论正确的是 (

)【解析】

对于A，方程表示到定点(1，－1)的距离等于2的动点轨迹，即圆，故A正确；对于B，方程表示到定点(1，－1)与(1,1)距离的和为2的动点轨迹，而点(1，－1)与点(1,1)的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，故B错误；对于C，方程表示到定点(1，－1)与(1,1)的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，故C错误；对于D，方程表示到定点M(－1,0)与N(1，－1)的距离相等的动点轨迹，即线段MN的中垂线，故D正确．【答案】AD【解析】A．－1

B．1C．1－i

D．1＋i【解析】CA．1

B．2C．3

D．4【解析】C3．(2025·苏州期初)(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则 (

)A．p＝2

B．x2＝1－i【解析】BD4．(多选)已知复数z1，z2，下列结论正确的有 (

)A．|z1－z2|≤|z1|＋|z2| B．若z1－z2＞0，则|z1|＞|z2|【解析】AD配套精练A组夯基精练一、单项选择题A．10i

B．2iC．10

D．2AA3．(2025·唐山一模)已知a∈R，若(a－2)＋(a－1)i是纯虚数，则a＝ (

)A．－2

B．－1C．1

D．2DBAB7．(2025·广州二模)已知复数z满足|z－2i|＝1，则|z|的最小值为 (

)A．3

B．2C．1

D．0【解析】C二、多项选择题8．(2026·济南期初)设z是复数，则下列命题中正确的有 (

)【解析】ABD9．(2025·南通一调)已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是 (

)A．若z2为实数，则z是实数 B．若z2为虚数，则z是虚数【解析】

对于A，取z＝i，则z2＝－1为实数，而z为虚数，故A错误．对于B，设z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi．若z2为虚数，则a≠0且b≠0，所以z为虚数，故B正确．对于C，设z1＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a－bi，此时z1z2＝a2＋b2为实数，故C正确．BC10．(2025·石家庄一检)下列选项正确的是 (

)A．若m，n∈R，则m＋ni＝2＋i的充要条件是m＝2，n＝1B．若复数z1，z2，z3满足z1z2＝z2z3，则z1＝z3C．i＋i2＋i3＋…＋i2025＝iD．若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为6ACD【解答】对于B，由z1z2＝z2z3可得z2(z1－z3)＝0，当z2＝0时，等式成立，但z1与z3不一定相等，故B错误；对于C，当n∈N*时，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，则i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＝i－1－i＋1＝0，于是i＋i2＋i3＋…＋i2025＝(i＋i2＋i3＋i4)×506＋i＝i，故C正确；11．(2025·郑州二检)已知复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝4，则下列说法正确的是

(

)A．|z|≤2 B．|z－1|≥1C．若z∈R，则|z|＝2 D．若z2∈R，则|z|＝2【解析】对于B，|z－1|＝|PF2|≥a－c＝1，B正确．对于C，若z∈R，即n＝0，令y＝0，则x＝