2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第48讲　第1课时　变量的相关关系及线性回归模型

第九章第48讲成对数据的统计分析统计第1课时变量的相关关系及线性回归模型知识整合·体系建构1．(2024·上海卷)已知气候温度和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描述正确的是

(

)A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势C2．(教材经典题改编)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是 (

)A．①②③

B．②③①C．②①③

D．①③②【解析】

第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中的点的分布没有规律，是不相关．D3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(单位：t)与相应的生产能耗y(单位：t)的几组对应数据：【解析】x3456y2.5t44.53【解析】11．变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在____________附近，我们就称这两个变量线性相关．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．一条直线2．样本相关系数(1)样本相关系数r的计算变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：(2)样本相关系数r的性质当r______0时，称成对样本数据_____相关；当r______0时，称成对样本数据_____相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．＞正＜负3．一元线性回归模型Y与bx＋a之间题型突破·思维拓展目标1变量的相关关系某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：1【解析】

由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．月份123456人均销售额658347利润率/%12.610.418.53.08.116.3根据表中数据，下列说法正确的是

(

)A．利润率与人均销售额成正相关关系B．利润率与人均销售额成负相关关系C．利润率与人均销售额成正比例函数关系D．利润率与人均销售额成反比例函数关系A判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近于1，相关性越强．变式1在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是 (

)A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%【解析】

观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%．BB．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%目标2样本相关系数

(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：2样本号i123456根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.05材积量yi0.250.400.220.540.510.34

样本号i78910总和

根部横截面积xi0.050.070.070.060.6

材积量yi0.360.460.420.403.9

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；【解答】

(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：2样本号i123456根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.05材积量yi0.250.400.220.540.510.34

样本号i78910总和

根部横截面积xi0.050.070.070.060.6

材积量yi0.360.460.420.403.9

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；【解答】

(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：2样本号i123456根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.05材积量yi0.250.400.220.540.510.34

样本号i78910总和

根部横截面积xi0.050.070.070.060.6

材积量yi0.360.460.420.403.9

【解答】目标3线性经验回归方程

(2026·蚌埠期初)据统计，某电影在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了该电影上映前15天累计票房到达y(单位：亿元)与所用时间x(单位：天)的数据：3累计票房y20406080100用时x4791015(1)利用表中的数据，计算样本相关系数r(结果精确到0.01)，并推断两个变量的线性相关程度；【解答】

(2026·蚌埠期初)据统计，某电影在中国内地最终斩获154.4亿元票房，总观影人次3.24亿，两项数据均创下中国影史纪录，并遥遥领先第二名，成为了又一部现象级电影．下表统计了该电影上映前15天累计票房到达y(单位：亿元)与所用时间x(单位：天)的数据：3累计票房y20406080100用时x4791015(2)求y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)，并预测153天时的累计票房，判断这种预测方法是否合理．【解答】求经验回归方程的步骤变式3

(2025·龙岩5月质检)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：参考公式：见本讲聚焦知识．特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887(1)根据表中的数据，计算样本相关系数r；【解答】变式3

(2025·龙岩5月质检)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：参考公式：见本讲聚焦知识．特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887(2)求特征量y关于x的经验回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值．【解答】1．(2024·天津卷)下列图中，样本相关系数最大的是 (

)AA

B

C

DA．－1

B．0C．1

D．2【解析】C3．(2025·南京二模)(多选)某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据如下表：耕种深度x/cm810121416每公顷产量y/t6.07.57.89.29.5【解析】【答案】BD配套精练A组夯基精练一、单项选择题1．(2023·天津卷)调查某种花的花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是 (

)A．花瓣长度和花萼长度没有相关性B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.8245【解析】

根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故B错误，C正确；由于r＝0.8245是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，也可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.8245，故D错误．【答案】C2【解析】由图知点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则|r1|＞|r2|，又r1＜0，r2＞0，得r1＋r2＜0，故C错误，D正确．【答案】D3．(2025·九江二模)植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据如下表所示：x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1y0.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86B．变量y与x的样本相关系数r＜0C．在一定范围内，小麦的根长度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mgD．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变【解析】小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故样本相关系数r＞0，故B错误；若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误．【答案】C4．(2025·莆田二模)为了解女儿身高与其母亲身高的关系，随机抽取5对母女的身高数据如下：【解析】母亲身高x/cm164166166166168女儿身高y/cm165165166167167根据最小二乘法，y关于x的经验回归方程为 (

)C二、多项选择题【解析】因为zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，所以成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点向下平移2个单位长度，不改变变量的相关性，故B正确；因为zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，变量间的相关性不变，故C错误；【答案】ABD【解析】

对于A，当r＞0时，成对样本数据成线性正相关，A正确．对于B，当|r|越大时，成对样本数据的线性相关程度越强．当r1＝－0.98，r2＝0.9时，r1对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误．【答案】ACD三、填空题7．已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2,2)，(3，－1)，(5，－7)，则成对样本数据的样本相关系数是_______．【解析】－1【解析】x56789y3.54566.57.4【解析】54.5四、解答题10．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列．【解答】206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；10．(2025·上海卷)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列．【解答】206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2