2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第48讲　第2课时　非线性回归模型与回归效果分析、列联表与独立性检验

第九章第48讲成对数据的统计分析统计第2课时非线性回归模型与回归效果分析、列联表与独立性检验知识整合·体系建构A．满足一元线性回归模型的所有假设B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设【解析】【答案】C2．(教材经典题)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(附：x0.1＝2.706，x0.05＝3.841) (

)A．变量x与y不独立B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量x与y独立D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【解析】

因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1．C3．(2025·石家庄二模)(多选)下列结论正确的是 (

)A．当研究两个变量之间的关联程度时，若样本相关系数的绝对值|r|越接近于1，则两个变量的线性相关程度越弱B．在评估模型拟合效果时，决定系数R2越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好D．设关于分类变量X与Y的独立性检验的原假设为H0：X与Y无关，根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.172，依据α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为X与Y无关【解析】

因为样本相关系数的绝对值越接近1两个变量的线性相关程度越强，故A错误；因为决定系数R2越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好，故B正确；因为χ2＝4.172＞3.841，应拒绝原假设H0，即认为X与Y有关联，而非无关，故D错误．【答案】BC4．(教材经典题)调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：单位：人【解析】性别出生时间合计晚上白天女243155男82634合计325789依据α＝0.1的独立性检验，则在犯错误的概率不超过_______的前提下可以认为性别与出生时间有关联．(附：x0.1＝2.706)0.11．残差与决定系数(1)残差观测值减去预测值所得的差(2)决定系数：R2＝_________________，R2越______，模型拟合效果越好，反之，越差．大2．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为XY合计Y＝y1Y＝y2X＝x1aba＋bX＝x2cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d3．临界值4．独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828题型突破·思维拓展目标1非线性经验回归方程视角1

对数型经验回归方程某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示．1－1现有①y＝bx＋a和②y＝nlnx＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数．(1)请从样本相关系数的角度分析哪一个模型拟合程度更好；【解答】视角1

对数型经验回归方程某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入，该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示．

1－1现有①y＝bx＋a和②y＝nlnx＋m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数．(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6百万元时电动车的年销售量．【解答】视角2

指数型经验回归方程云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：1－2年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229【解答】求非线性经验回归方程的常见转化类型：(1)对数函数型y＝blnx＋a的处理方法：设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据求线性经验回归模型的方法求出a，b．(3)幂函数型y＝axb(a＞0)可作变换Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，则有Y＝m＋bt．(4)指数函数型y＝kabx(a＞0且a≠1，k＞0)可作变换Y＝lny，m＝lnk，则有Y＝m＋(blna)x．目标2回归效果分析视角1

残差分析假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下：【解答】

作出散点图如图所示．2－1x234345y737271736968(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下：【解答】2－1x234345y737271736968(2)求y与x之间的经验回归方程，当单位成本为70元/件时，预报产量为多少？令y＝70，则70＝－1.82x＋77.37，解得x≈4.05，所以当单位成本为70元/件时，预报产量约为4.05千件．假定产品产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：元/件)之间存在相关关系．统计数据如下：【解答】2－1x234345y737271736968(3)计算各组残差，并计算残差平方和．(保留两位小数)视角2

决定系数如图是某企业2019年至2025年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2019～2025．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的经验回归方程，并预测2028年该企业的污水净化量；2－2【解答】如图是某企业2019年至2025年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2019～2025．(2)请用决定系数说明回归方程预报的效果．2－2【解析】刻画回归效果的三种方法(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．(3)决定系数法：R2越接近1，表明拟合效果越好．目标3列联表与独立性检验

(2026·泉州期初)为比较A，B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：3(1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为P，求P的估计值；使用的教学系统备课效率合计显著提升没有显著提升系统A7525100系统B5545100合计13070200【解答】

(2026·泉州期初)为比较A，B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：3(2)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异．附：x0.005＝7.879．使用的教学系统备课效率合计显著提升没有显著提升系统A7525100系统B5545100合计13070200【解答】独立性检验的方法：(1)构造2×2列联表；(2)计算χ2；(3)查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．变式3

(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：

优级品非优级品甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？附：x0.05＝3.841，x0.01＝6.635．【解答】

(1)由题目所给数据得到如下2×2列联表：

优级品非优级品甲车间2624乙车间7030因为4.6875＞3.841＝x0.05，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．因为4.6875＜6.635＝x0.01，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．变式3

(2024·全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150【解答】【解析】A2．(2025·张家口二模)商品价格与销量之间往往存在某种关系，以下是某商品价格x(单位：元)与销量y(单位：万件)的调研数据：商品价格x/元1015202530销量y/万件5446403632则下面回归方程中最适宜作为销量y与价格x的回归方程的是(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)

(

)A．y＝－1.4x＋70

B．y＝－0.7x＋60C．y＝100－20lnx

D．y＝60－3lnx【解析】

对于A，分别代入x＝10,30，可得y＝56,28，与实际值相差较大，不合题意，故A错误；对于B，分别代入x＝10,30，可得y＝53,39，第五组数据与实际值相差较大，不合题意，故B错误；对于C，分别代入x＝10,15,20,25,30，求得y的估计值与实际值完全相同，应采用，故C正确；对于D，代入x＝10，可得y＝60－3ln10＝60－3×(ln2＋ln5)≈53.1，代入x＝30，得y＝60－3(ln2＋ln3＋ln5)≈49.8，数据与实际值相差较大，不合题意，故D错误．【答案】C3．(2025·苏州期末)(多选)为比较甲、乙学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：学校数学成绩合计不优秀优秀甲331043乙38745合计711788则下列说法正确的有

(

)A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高C．甲校的数学成绩优秀人数可能比乙校的数学成绩优秀人数多D．根据小概率值α＝0.1的独立性检验，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异【解析】对于B，抽测的样本的优秀率可能代表性差，不一定能真实反映两校的优秀率，故B错误；对于C，甲校的数学优秀人数有可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确；【答案】ACD图(1)

图(2)【解析】对于C，D，由题图可知，新数据的分布更集中，所以方差更小，决定系数更大，故C错误，D正确．【答案】ABD配套精练α0.10.050.0250.010.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、单项选择题1．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369合计21115136经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为 (

)A．两种疗法的效果存在差异B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005C．两种疗法的效果没有差异D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005【解析】

零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881＜7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．Cx3467z22.54.57A．－2

B．－1C．e－2

D．e－1【解析】【答案】C【解析】【答案】A【解析】【答案】D二、多项选择题5．(2025·新余二模)某农科院研制出了一种防治玉米病虫害的新药．为了解该药的防治效果，科研人员选用了100粒玉米种子(其中一部分用该药做了处理)进行试验，从中任选1粒，发现此粒种子抗病虫害的概率为0.8．已知未填写完整的2×2列联表如下表所示，则

(

)A．这100粒玉米种子中经过该药处理且不抗病虫害的有6粒B．这100粒玉米种子中抗病虫害的有84粒C．χ2的观测值约为13.428D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，可以认为该新药有效

抗病虫害不抗病虫害合计种子经过该药处理60

种子未经过该药处理

14

合计

100【解析】

由题可将2×2列联表补充完整如下：

抗病虫害不抗病虫害合计种子经过该药处理60666种子未经过该药处理201434合计8020100由上表可知A正确，B错误；【答案】AD6．(2025·湛江一模)已知A(1，6)，B(2，4)，C(3，4)，D(4，2)，E(5，4)，5个数据的散点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程．经分析确定E(5，4)为“离群点”，故将其去掉，将数据E(5，4)去掉后，下列说法正确的有

(

)A．样本相关系数r变大B．残差平方和变小C．决定系数R2变大【解析】

对于A，由图可知，变量x与变量y是负相关，且将数据E(5，4)去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，但r变小，故A错误；对于B，C，将数据E(5,4)去掉后，变量x与变量y的相关性变强，所以残差平方和变小，决定系数R2变大，故B，C正确；【答案】BCD【解析】【答案】CD【解析】0.3e－4【解析】

设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得2×2列联表如下：【答案】12四、解