2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第43讲　双曲线

第八章第43讲双曲线解析几何知识整合·体系建构A．1

B．3C．9

D．1或9【解析】

由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2．根据双曲线定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4，即|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或|MF2|＝9．当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6＜8，不满足题意，故舍去；当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14＞8，满足题意．所以|MF2|＝9．C【解析】B【解析】4．(多选)已知双曲线C：4x2－y2＝1，直线l：y＝kx＋1(k＞0)，则下列说法正确的是 (

)A．若k＝2，则l与C仅有一个公共点【解析】

因为双曲线的方程为4x2－y2＝1，其渐近线方程为y＝±2x．当k＝2时，l与渐近线平行，则直线l与双曲线C有且只有一个交点，故A正确；【答案】ABD1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的____________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________________，两焦点间的距离叫做_________________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0．(1)当____________时，点P的轨迹是双曲线；(2)当____________时，点P的轨迹是两条射线；(3)当____________时，点P不存在．距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a＜2c2a＝2c2a＞2c2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：__________；对称中心：原点坐标轴标准方程顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝_______，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_______；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝__________(c＞a＞0，c＞b＞0)(1，＋∞)2a2ba2＋b23．几个常用结论题型突破·思维拓展目标1双曲线的定义及标准方程1【解析】【解析】1B【解析】1C双曲线和椭圆常见的有三个定义：①第一定义：到两个定点的距离之差(和)为定值．②第二定义：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离之比为定值(离心率)．目标2双曲线的基本性质视角1

渐近线【解析】2－1D【解析】【答案】C视角2

离心率【解析】2－2【解析】2－2B【解析】方法三：因为|AF2|＝|F1F2|＝2c，|AF1|＝2c－2a，取AF1的中点M，连接MF2，则|MF1|＝c－a．【答案】C目标3直线与双曲线(1)求双曲线C的方程；3【解答】3【解答】(3)证明：线段MN的中点为定点．3【解答】数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用：(1)当直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．(2)当直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的大小关系来确定其位置关系．微探究椭圆与双曲线共焦点4【解析】

设P为第一象限的交点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a1，m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2．【答案】D配套精练A组夯基精练一、单项选择题【解析】D2．(2025·漳州期初)已知双曲线C：x2－y2＝4，点M为C上一点，过M分别作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAMB(O为原点)的面积为 (

)A．1

B．2C．4

D．6【解析】【答案】B【解析】【答案】C【解析】对于C，可得kOM＝3，kAB＝3，则直线AB：y＝3x，由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则直线AB：y＝3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；【答案】D【解析】【答案】D【解析】【答案】ACD【解析】【答案】ACD

【解析】

由圆O：x2＋y2＝a2＋b2＝c2，则F1F2是圆O的直径，又P是双曲线与圆的交点，则|PF1|－|PF2|＝2a，∠F1PF2＝90°．【解析】【解析】四、解答题11．(2026·南京期初节选)已知双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．过F2的直线l与C交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；【解答】

因为|F1F2|＝4，所以2c＝4，所以c＝2，又c2＝2a2，所以a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－y2＝2．11．(2026·南京期初节选)已知双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4．过F2的直线l与C交于A，B两点．【解答】(1)求双曲线C的方程；【解答】【解答】B组创新题体验【解答】13．已知双曲线C：x2－y2＝1，直线l为其中一条渐近线，A1为双曲线的右顶点，如图，过A1作x轴的垂线，交l于点B1，再过B1作y轴的垂线交双曲线右支于点A2，重复以上操作得到B2，A3，B3，…，An，Bn，…，记An(xn，yn)．(1)求{xn}的通项公式；13．已知双曲线C：x2－y