2027南方凤凰台5A新考案高考一轮复习全国版数学提高版第22讲　第2课时　解三角形及其应用举例

第四章第22讲解三角形三角函数与解三角形第2课时解三角形及其应用举例题型突破·思维拓展目标1周长、面积的最值问题(1)求角B的大小；1【解答】1【解答】1【解答】(3)求△ABC面积的取值范围．解三角形中最值(范围)问题的解题策略先利用正、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．(1)求角B的大小；【解答】【解答】(3)若a＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．【解答】目标2多三角形问题(1)求角A的大小．【解答】2－12－1【解答】(1)求证：AB＝CD；【解答】2－2(2)求证：sinα＝sinβ；【解答】2－2【解答】2－2目标3解三角形的实际应用

(2025·太原一模)如图，某中学数学兴趣小组为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中AC＝40m，B为AC的中点，兴趣小组的组长在A，B，C三点上方5m处的A1，B1，C1观察，该建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα＝1，tanβ＝2，tanγ＝3，D为点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点．(1)求该建筑物的高度DE；3【解析】

(2025·太原一模)如图，某中学数学兴趣小组为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的A，B，C三点，其中AC＝40m，B为AC的中点，兴趣小组的组长在A，B，C三点上方5m处的A1，B1，C1观察，该建筑物最高点E的仰角分别为α，β，γ，其中tanα＝1，tanβ＝2，tanγ＝3，D为点E在地面上的正投影，D1为线段DE上与A1，B1，C1位于同一高度的点．3【解答】(1)求重兴塔高AB；图(1)【解答】图(1)(2)如图(2)，塔顶为点A，距离塔顶A点竖直向下5m处有点E，若在离地面竖直高度为2m的点F处用测角仪器测得∠AFE＝θ，求tanθ的最大值．图(2)【解析】借助轨迹求最值或范围4微探究【解析】【答案】A

(2)已知△ABC中，BC＝2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC

的面积的最大值为______．【解析】4配套精练A组夯基精练1．(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin2B．(1)求证：tanB＝3tanA；【解答】因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(180°－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以4sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即cosAsinB＝3sinAcosB，所以tanB＝3tanA．1．(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S＝a2sin2B．(2)若A＝45°，BC边上的高为6，求b．【解答】

因为A＝45°，所以tanA＝1，由(1)知tanB＝3．2．(2025·萍乡一模改)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC．(1)求角C的大小；【解答】2．(2025·萍乡一模改)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC．(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值；【解答】2．(2025·萍乡一模改)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinA＝acosC．(3)若a＝2，求△ABC周长的取值范围．【解答】3．(2026·镇江期中)已知△ABC的面积为S．请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题，并解答．

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知____________．(1)若b＝7，c＝5，求a；(2)若△ABC为锐角三角形，b＝2，求a＋c的取值范围．【解答】【解答】由①②得(b－c)2＋16＝16，即(b－c)2＝0，故b＝c＝4＝a，所以△ABC为等边三角形.【解答】【解答】(2)当BC边上的中线最小时，求△ABC的面积．【解答】【解答】(1)求证：O为BD的中点；【解答】【解析】【解析】【答案】A一、单项选择题1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为 (

)【解析】D2．(2025·石家庄二模)如图，在△ABC中，已知∠CBA＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝(

)【解析】D【解析】B【解析】【答案】B【解析】【答案】B【解析】【答案】ABD【解析】【答案】BCD三、填空题8．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是_______nmile．【解析】【解析】

如图，设在D处截住足球，时间为ts，则BD＝2.5t，CD＝7.5t，则AD＝20－7.5t．图(1)

图(2)

【解析】【解答】(1)求圆心角∠POQ的大小(用弧度表示)；【解答】(3)求矩形ABCD面积的最大值．【解答】

设∠POC＝θ，在Rt△OBC中，BC＝OC·sinθ＝sinθ，OB＝OC·cosθ＝cosθ．(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；【解答】图(1)综上，猎豹与羚羊之间的距离是