2026年黑吉辽蒙九师联盟高三质量检测数学试卷（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，平面向量，复数，解三角形，立体几何（含空间向量），数列（约占60%），直线与圆，圆锥曲线（约占40%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，若与共线，则实数（

）A． B．2 C．或2 D．或4．若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．5．已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（

）A．4 B．6 C．8 D．106．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上的值域为D．在上单调递增10．已知曲线为上一点，为坐标原点，则（

）A．C关于轴对称B．关于轴对称C．的取值范围分别为D．的最大值为211．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（

）A．若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值C．若为的中点，则平面D．若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，且，则__________.13．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.14．已知实数满足，则的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在数列中，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.16．(1)求顶点在原点，对称轴为轴，且与直线相交所得线段长为9的抛物线的方程；(2)求焦点为，且过点的双曲线的标准方程；(3)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.17．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点.(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.18．已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点．(1)求的方程；(2)当时，求四边形的面积；(3)若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【分析】解不等式求得集合，由集合的交集运算得到结果.【详解】由，得，所以，则.故选：C.2．A【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果.【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3．D【分析】根据向量共线的坐标运算即可.【详解】因为与共线，所以，即，解得或.故选：D.4．D【分析】由题意求出，结合，即可求得离心率.【详解】由题意知，所以，所以.故选：D.5．A【分析】利用抛物线的定义和性质，求出焦点和准线方程，结合已知条件求出，进而求出，最后利用抛物线的焦半径公式计算求解．【详解】抛物线，，的准线方程为，故关于准线的对称点为，焦点关于的准线的对称点为，，解得，抛物线方程为，点在抛物线上，，解得，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，，故A正确．故选：A．6．C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案.【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件，由，得，解得，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件.故选：C.7．B【分析】先分析曲线的性质作出图像，再利用直线与圆的位置关系结合已知条件讨论求解．【详解】曲线等价于，表示位于一、二象限的半圆，圆心为，半径，曲线表示边长为的正方形，图像如下图所示，当时，圆心到曲线的距离为2，即曲线与相切，有两个公共点；当时，曲线的3个顶点在上，即曲线与有三个公共点；当时，曲线与有4个公共点，当时，曲线与无公共点；曲线与曲线仅有4个公共点，，故B正确．故选：B．8．C【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.【详解】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根，令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.作出函数的图象，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意；当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意；当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于，则有三个实根，必有，所以.又，所以，此时的5个实根互不相等，即恰有5个零点；当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.所以实数的取值范围为.故选：C9．BC【分析】根据三角函数的对称性、单调性和值域等性质逐一判断即可.【详解】因为，所以的图象关于点对称，不关于直线对称，故A错误；，故的图象关于点对称，故B正确；当时，，所以，即的值域为，故C正确；当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误.故选BC.10．ABC【分析】选项A、B，通过坐标替换法（用换、换），判断曲线方程是否不变，进而确定曲线的对称性.选项C，根据曲线方程中、的非负性，推导得、的取值范围.选项D，将表示为关于的函数，通过配方求二次函数的最值，判断其最大值是否为2.【详解】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称，同理可得，关于轴对称，故AB均正确；由，得，解得，同理可得，故C正确；在曲线上，所以，所以，当时，取得最大值，故D错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据三棱锥的体积公式、线面平行的判定、线面垂直等知识逐项计算即可.【详解】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确；若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变，又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确；如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误；如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则.易证，所以，又平面，所以平面，所以，同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为，易求，所以的面积为，故D正确.故选：ABD.12．【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为，所以，又，所以，所以故答案为：.13．389【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得.【详解】由题意可知，，设，在中，，所以，同理在中，，在中，由余弦定理得，即，所以.故紫峰大厦主体的高度约为米.故答案为：14．2【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出.【详解】设，由题意得，即，在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下：当直线经过圆心时，；当直线与半圆相切时，则圆心到直线的距离：，解得（舍去），故.因为，所以，所以，令，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，综上所述，的最大值为2.故答案为：2.15．(1)(2).【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项.（2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得.【详解】（1）因为，所以，即，所以数列为常数列，又，所以，所以.（2）由（1）得，，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.16．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意知所求抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其方程为，联立即可求得线段长，列式求解即可得到答案；（2）设双曲线的方程为，根据双曲线的定义求出，再结合即可求出答案；（3）由题意设双曲线的方程为，将点代入即可求出答案.【详解】（1）由题意知所求抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其方程为，与联立，得，即，因为所得线段长为9，所以，解得，故所求抛物线的方程为.（2）由题意知可设双曲线的方程为，由双曲线的定义得，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.（3）设所求双曲线的方程为，将点代入方程，得，解得，故，故所求双曲线的方程为.17．(1)证明：取棱的中点，连接，因为为的中位线，所以，且，因为四边形为正方形，为的中点，所以，且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.(2).【分析】（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.【详解】（1）略（2）分别取棱的中点，连接，则.因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以.设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以.记平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.【点睛】18．(1)(2)(3)是定值，为【分析】（1）证明，根据椭圆定义判断Q的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质即可求出其标准方程；（2）写出l的方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理求出，根据四边形的面积，即可求出；（3）设l的方程为，代入椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，设．写出直线AD、BN的方程，联立它们的方程求出G的坐标，从而可求，代入化简，即可得到答案．【详解】（1）如图：连接，由题意知，点在圆内部，∴，由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，则，∴，故；（2）由（1）得，当时，直线的方程为，代入的方程并化简，得，设，则，，∴，∴四边形的面积；（3）设的方程为，代入的方程并化简，得，显然判别式，设，则，，∴直线的方程为，直线的方程为，由，解得，∴，又，∴，即为定值，且定值为．19．(1)(2)(3).【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程.（2）问题转化为，从而求参数的取值范围.（3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小.【详解】（1）由，得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为在上单调递增，所以.由（1）知，因为，所以，即在上恒成