2026新教材人教版八年级数学上册 第3课时　探究与发现-三角形中边与角之间的不等关系

第3课时探究与发现——三角形中边与角之间的不等关系栏目导航课前预习课堂探究巩固训练课前预习三角形中的不等关系(1)边:三角形任意两边之和

第三边;任意两边之差

第三边;

(2)角:三角形一个外角

任何一个与它不相邻的内角;

(3)边与角:大边对大角:在△ABC中,若a>b,则

;大角对大边:在△ABC中,若∠A>∠B,则

.

大于小于大于∠A>∠Ba>b课堂探究问题一复习回顾:三角形中的不等关系.(1)三角形任意两边之和

第三边;

(2)三角形一个外角

任何一个与它不相邻的内角.

大于大于探究1-1:已知P是△ABC内一点,试说明∠BPC>∠BAC.解:延长BP交AC于点D(图略).根据三角形外角性质,∠BPC是△PDC的外角,故∠BPC>∠PDC;同理,∠PDC是△ABD的外角,故∠PDC>∠BAC;因此∠BPC>∠BAC.问题二和你的同学各自任意画出一个△ABC,用有刻度的直尺测量边AB和CA,用量角器测量∠B和∠C的度数,分别比较AB和CA,∠B和∠C的大小,大家互相交流,能得出什么结论?你可以想到几种方法来证明结论的正确性?解:结论:在三角形中,大边对大角,大角对大边(即若AB>AC,则∠C>∠B;反之,若∠C>∠B,则AB>AC).证明略.探究2-1:如图(1)所示,在四边形ABCD中,四条边不等,其中AD边最长,BC边最短,求证:∠ABC>∠ADC.证明:连接BD,如图(2)所示.在△ABD中,

最长,可知

>

,

∴∠

>∠

(大边对大角).

图(1)

图(2)ADADAB13在△BCD中,

最短,可知

>

,

∴∠

>∠

(大边对大角).

∴∠

+∠

>∠

+∠

.

即∠

>∠

.

BCCDBC241234ABCADC探究2-2:如图所示,在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线.设AD的长为m,延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,由“SAS”可证得△ACD≌△EBD.因此EB=3.在△ABE中,根据三角形三边的不等关系,可得AE长度的取值范围是

,从而得到△ABC的中线AD长度的取值范围,即m的取值范围是

.

2<AE<81<m<4探究2-3:如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为∠BAC的平分线.证明:(1)∠3>∠4;证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.在△ABD中,∠3=180°-∠1-∠B;在△ADC中,∠4=180°-∠2-∠C.∵AB>AC,根据“大边对大角”,得∠C>∠B,∴∠1+∠B<∠2+∠C.∴180°-(∠1+∠B)>180°-(∠2+∠C),即∠3>∠4.(2)BD>CD.巩固训练1.在△ABC中,已知BC>AB>AC,那么∠A,∠B,∠C的大小关系为(

)∠A>∠B>∠C

B.∠A>∠C>∠BC.∠B>∠C>∠A

D.∠B>∠A>∠CB基础题2.如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角,这个三角形一定是(

)A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形3.如果一个三角形的两边长分别为3和5,则第三边长可能是(

)A.1 B.2 C.6 D.8AC4.下列选项中,∠2大于∠1的是(

)BABCD拓展题5.在锐角三角形ABC中,AB>BC>CA,且最大内角比最小内角大24°,求∠A的取值范围.解:52°<∠A<68°6.如图所示,AB=AC,点D在BC上,点E在BC的延长线上.求证:AD