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培优课2对称问题课堂探究·素养培育题型一点、线对称问题[例1]

已知直线l:y=3x+3.(1)求点P(4,5)关于直线l的对称点坐标;(2)求直线y=x-2关于直线l对称的直线的方程.解题策略对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为P′(2a-x,2b-y).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0,y0),则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.(3)点关于直线的对称点,要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0,y0),l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),P关于l的对称点Q可以通过条件:①PQ⊥l;②PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.[方法迁移]

已知直线l:2x-3y+1=0,点

A(-1,-2).求:(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;(2)直线l关于点A对称的直线l′的方程.题型二光的反射问题A解题策略根据平面几何知识和光学知识可知,入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的,利用点的对称关系可以求解.[方法迁移]

一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),则反射光线方程为

.

y=3题型三利用对称解决有关最值问题[例3]

直线l:x-y-1=0上一点P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差的绝对值最大,则点P的坐标为

.

解题策略利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如点A关于直线l的对称点A′,得直线A′B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使点P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.[方法迁移]

已知两点A

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