2027届高考物理三十四考点题型讲义专题25 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（教师版）

专题25带电粒子在有界匀强磁场中的运动

目录

题型一带电粒子在有界匀强磁场中的运动..................................................................................

类型1带电粒子在直线边界磁场中运动.................................................................................

类型2带电粒子在圆形边界磁场中运动.................................................................................

类型3带电粒子在环形边界磁场中运动.................................................................................

类型4带电粒子在三角形或四边形边界磁场.........................................................................

题型二带电粒子在匀强磁场中的临界问题..................................................................................

类型1带电粒子在磁场中运动的临界问题...........................................................................

类型2带电粒子在磁场中运动的极值问题.............................................................................

题型三带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题..................................................................

题型一带电粒子在有界匀强磁场中的运动

一、粒子轨迹圆心的确定，半径、运动时间的计算方法

1．圆心的确定方法

(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为

圆心，如图甲．

(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点

即为圆心，如图乙．

mv

(3)若已知粒子轨迹上某点速度方向，又能根据r＝计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹

qB

力方向距离为r的位置为圆心，如图丙．

2．半径的计算方法

mv

方法一由R＝求得

qB

方法二连半径构出三角形，由数学方法解三角形或勾股定理求得

L

例如：如图甲，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得

sinθ

常用到的几何关系

①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ＝α

1

②弦切角等于弦所对应圆心角一半，θ＝α.

2

3．时间的计算方法

θ

方法一利用圆心角、周期求得t＝T

2π

l

方法二利用弧长、线速度求得t＝

v

二、带电粒子在有界磁场中的运动

1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示)

3．圆形边界(进出磁场具有对称性)

(1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示．

(2)不沿径向射入时，如图乙所示．

射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ.

类型1带电粒子在直线边界磁场中运动

【例1】一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，

3

abcd2L，bcdeL，一束2He粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子

3

具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知2He粒子的质量为3m，电荷量为q。以下正

确的为（）

A．粒子能到达de中点

B．从bc边界出的粒子运动时间相等

5qBL

C．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动率为v

12m

7m

D．粒子在磁场中运动的最长时间为

2qB

【答案】C

3

【详解】A．2He粒子在磁场中做匀圆周运动轨迹图如图所示，由图可知，粒子要在bcde区

域运动，在经e点时轨道半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中点，

A错误；

BC．设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当Oag最

大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点与g

点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界出的粒子运动时间不相等。如图所示，设运动

半径为R，由几何关系则有

2

2LRL2R2

解得

5

RL

4

3

已知2He粒子的质量为3m，电荷量为q，其在磁场中做匀速圆周运动，有

v2

qvB3m

R

解得

5qBL

v

12m

B错误，C正确；

3

D．2He粒子在磁场中运动的周期为

2R6m

T

vqB

在Obc中，设bOc为，aOc为θ，由几何关系可得

L4

tan

3

L3

4

可得

53

18053127

则粒子在磁场中运动的最长时间为

360127233233m

tTT

36036060qB

D错误。

故选C。

【例2】如图所示，在xOy平面的0ya的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，速率相

等的大量质子从原点O朝各个方向均匀发射到第一象限内，发现从磁场上边界射出的质子

数占总数的50%，不计质子间相互作用及重力，则质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为

（）

a

A．B．21aC．22aD．2a

2

【答案】C

【详解】根据洛伦兹力提供向心力可得

v2

qvBm

r

可知速率相等的大量质子的运动半径也相等，可知从原点均匀发射到第一象限内，从磁场上

边界射出的质子数占总数的50%，则从磁场上边界射出的电子的发射角度范围有

1

9045

2

则根据质子的偏转轨迹和几何关系可得，能从上边界射出的电子的发射角度在

0~

4

设轨迹半径为R，则由几何关系知

RRsin45a

代入得

R22a

故选C。

【例3】．如图所示，在直线边界MNPQ的上方存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁

场，A点在PQ上。现从A点垂直PQ在纸面内向上发射速度大小不同、质量均为m、电量

均为q(q0)的粒子，已知AP3a,PNa，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒

子在磁场中运动的最长时间为（）

πm7πm4πm5πm

A．B．C．D．

qB6qB3qB3qB

【答案】C

【详解】根据题意可知，当粒子由N点飞出时，运动的时间最长，运动轨迹如图所示

设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有

R2（3aR）2a2

解得

23

Ra

3

由

3aR

cosPON

R

联立解得

3

cosPON

3

则

PON60o

由牛顿第二定律有

v2

qvBm

R

解得

BqR

v

m

由几何关系可知，粒子运动轨迹的长度为

60o180o4

s2RR

360o3

则粒子的运动时间为

s4πm

t

v3qB

故选C。

【例4】如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点

垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向

t1

以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为()

t2

32

A．3B．2C.D.

23

【答案】A

【解析】电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图

所示，

电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电

子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半

mv

径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则电子

Bq

TπmTπm

2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，

2Bq63Bq

t1

所以＝3，故A正确，B、C、D错误．

t2

【例5】如图，一个质量为m，电荷量为q的带负电的粒子，不计重力，从x轴上的P点以

速度v射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知v与x轴成45°

角。OP=a。则以下说法正确的是（）

A．带电粒子运动轨迹的半径为a

2mv

B．磁场的磁感应强度为

2qa

C．OQ的长度为2a

32a

D．粒子在第一象限内运动的时间为

4v

【答案】BD

【详解】A．带电粒子做匀速圆周运动的圆心和轨迹如下图

设带电粒子运动轨迹的半径为R，根据几何知识可得

a

＝sin45

R

解得

R＝2a

故A正确；

B．根据牛顿第二定律可得

v2

Bqv＝m

R

解得

2mv

B＝

2qa

故B正确；

C．根据几何知识可得

OQ＝R＝2a

OOa

故

OQ＝OOOQ＝(21)a

故C错误；

D．带电粒子做匀速圆周运动的周期为

2m

T

qB

由几何知识可得QOP135

则

13532a

tT＝

3604v

故D正确。

故选BD。

【例6】如图所示，两个速度大小相同、比荷不同的带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂

直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏

转角分别为90°、60°，则它们在磁场中运动的（）

A．轨迹半径之比为2∶1B．比荷之比为2∶1

C．时间之比为3∶2D．周期之比为2∶1

【答案】B

【详解】A．粒子1和粒子2的圆心O1和O2，如图所示

设粒子1的半径

R1=d

对于粒子2，由几何关系可得

R2sin30dR2

解得

R2=2d

故轨迹半径之比为1∶2，故A错误；

B．由牛顿第二定律可得

v2

qvBm

r

化简可得

mv

r

qB

可知，比荷之比为2∶1，故B正确；

D．周期

2r

T

v

得

2m

T

qB

故两粒子周期之比为1∶2，故D错误；

C．速度的偏转角即圆心角，故粒子1的运动时间

901

tTT

13604

粒子2的运动时间

601

tTT

23606

故它们在磁场中运动的时间之比为3∶4，故C错误。

故选B。

类型2带电粒子在圆形边界磁场中运动

【例1】如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿

半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场

时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（）

A．粒子带负电

B．速度v1小于速度v2

C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长

D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大

【答案】BC

【详解】A．根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；

B．根据牛顿第二定律有

mv2

qvB

R

解得

qBR

v

m

根据图中轨迹可知，R1R2，则有

v1v2

故B正确；

C．粒子在磁场中的运动周期为

2R2m

T

vqB

粒子在磁场中的运动时间为

tT

2

由图可知运动轨迹为PN对应的圆心角大于运动轨迹为PM对应的圆心角，故粒子以速度v1

射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；

D．粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为

FqvB

v1v2，可知F1F2，故粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。

故选BC。

【例2】．如图所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里，磁感应强度

大小为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0沿和直径AA成30角的方向垂直

磁场射入，经磁场偏转后恰能从点A射出。已知AA为区域磁场的一条直径，不计电荷的重

力，下列说法正确的是（）

A．该点电荷带负电

B．该点电荷在磁场中做圆周运动的半径为R

q2v

C．该点电荷的比荷为0

m2BR

2πR

D．该点电荷在磁场中的运动时间为t

3v0

【答案】AD

【详解】A．由题意可知，点电荷应向下偏转，由左手定则可知，该点电荷带负电，故A正

确；

B．由题意可知，点电荷在磁场中做匀速圆周运动轨迹对应的弦长为2R，设点电荷做匀速圆

周运动的半径为r，由弦长公式可得

2R2rsin30

解得

r2R

故B错误；

C．点电荷做匀速圆周运动所受洛伦兹力提供向心力，则有

v2

qvBm0

0r

则比荷

qvv

00

mBr2BR

故C错误；

D．由题意可知，点电荷做匀速圆周运动的圆心角

23060

则该点电荷在磁场中的运动时间为

602πrπr2πR

t

360v03v03v0

故D正确。

故选AD。

【例3】．如图所示，在平面Oxy中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过

原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并

从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60。电子在磁场中运动的

时间为（）

L2LLL

A．B．C．D．

3v3v2v6v

【答案】B

【详解】设电子的轨迹半径为R，电子的运动轨迹如图所示

根据几何关系可得

Rcos60LR

解得

R2L

电子在磁场中运动的时间为

6012R2L

tT

3606v3v

故选B。

【例4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁

qRqB

感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以v的速度垂直

m0m

直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且AON120，下列选项正确的是（）

m

A．粒子在磁场中运动的时间为t

3qB

B．粒子从N点射出方向竖直向下

C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出

3R2

D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为S

2

【答案】C

【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为

2m

T

Bq

四边形AONP的圆心角为

APNAON

粒子在磁场中运动的时间为

2m

tT

23Bq

故A错误；

B．粒子在磁场中速度偏转120，从N点射出方向是与竖直方向呈30，故B错误；

C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON

为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确；

D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，

最小面积为

AN3R2

S()2

24

故D错误。

故选C。

【例5】如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强

磁场（未画出），一质量为m、带电荷量为q的微粒从圆上的N点以一定的速度沿图中虚线

方向射入磁场，从圆上的M点离开磁场时的速度方向与虚线垂直。已知圆心O到虚线的距

3R

离为，不计微粒所受的重力，下列说法正确的是（）

5

m

A．微粒在磁场区城内运动的时间为

qB

7qBR

B．微粒射入磁场时的速度大小为

5m

6R

C．微粒在磁场中运动的轨迹半径为

5

R

D．微粒到圆心O的最小距离为

5

【答案】B

【详解】A．设微粒的速度大小为v，微粒在匀强磁场中运动的轨道半径为r，则有

v22r

qBvm，T

rv

解得

2m

T

qB

由于偏转角为90，则轨迹对应的圆心角也为90，则有

T

t

4

解得

m

t

2qB

故A错误；

C．作出粒子的运动轨迹如图所示

A点为微粒运动轨迹的圆心，设圆心O到MA的距离为x，到MC的距

离为y，则有

3R4R

rx，ry，x2y2R2

55

解得

7R

r

5

故C错误；

B．根据

v2

qBvm

r

结合上述解得

7qBR

v

5m

故B正确；

D．微粒到圆心O的最小距离

dr2x

结合上述解得

742R

d

5

故D错误。

故选B。

类型3带电粒子在环形边界磁场中运动

【例1】2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装罫创造了新的世界纪

录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平

2

行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R22R1。假设氘核1H沿内环切线向左进入磁场，

3

氚核1H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互

23

作用，则1H和1H的动量之比为（）

A．1∶2B．2∶3C．1∶3D．3∶1

【答案】C

【详解】根据左手定则，作出粒子的运动轨迹如图所示

2

根据几何关系，氘核1H的半径为

2RRR

r

122

3

根据几何关系，氚核1H的半径为

2RR3R

r

222

根据洛伦兹力提供向心力

v2

qvBm

r

可得

qBr

v

m

动量为

23

pmvqBr1H和1H的动量之比为

p1:p2r1:r21:3

故选C。

【例2】真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的

方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。

已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的

区域内，磁场的磁感应强度最小为()

3mvmv

A.B.

2aeae

3mv3mv

C.D.

4ae5ae

【答案】C

【解析】为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速

圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强

4

度最小为B，由几何关系有r2＋a2＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运

3

v23mv

动，由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。

r4ae

【例3】2023年7月5日，中核集团正式签约承建全球首个全高温超导核聚变实验装置，彰

显了我国在此领域技术水平居国际前列。在可控核聚变中用磁场来约束带电粒子的运动，叫

磁约束。如图所示为核聚变中磁约束装置的简化图，圆环状匀强磁场区域的内半径为R1，

外半径为R2，磁感应强度大小为B，方向垂直于环面，中空区域内带电粒子的质量为m，电

荷量为q，具有各个方向的速度。下列说法正确的是（）

qBR2R1

A．要使所有带电粒子约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为

2m

B．从内环边缘相切射出的所有带电粒子都约束在磁场区域内运动的最大速度为

qBR2R1

2m

C．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，

2mv

B

qR2

D．要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，

2mvR2

B22

q(R2R1)

【答案】AD

【详解】AB．带电粒子的速度越大，在磁场中圆周运动的半径就越大，要使带电粒子约束

在半径为R2的区域内，如下图

可得带电粒子圆周运动的最大半径为

RR

R21

max2

根据

2

mvmax

qvmaxB

Rmax

可得带电粒子的最大速度为

BqRqBRR

vmax21

maxm2m

该速度同时也是从内环边缘相切射出的带电粒子仍在磁场区域运动的最大速度。A正确，B

错误；

CD．要使以大小为v的速度由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域，临

界状态如下图所示

设临界状态圆周运动半径为r，由几何关系可得

222

R2rrR1

根据AB选项分析可知磁感应强度越大则半径越小，有

mv

r

qBmin

方程联立可得

2mvR

2

Bmin22

q(R2R1)

要使粒子以速度v由圆心沿半径方向运动的带电粒子不离开半径为R2的区域

2mvR2

B22

q(R2R1)

C错误，D正确。

故选AD。

【例4】2023年1月7日，中科院聚变大科学团队利用有“人造太阳”之称的全超导托卡马克

大科学装置（EAST），发现并证明了一种新的高能量约束模式，对国际热核聚变实验堆和未

来聚变堆运行具有重要意义。其基本原理是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域

内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空

区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁

场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是

（）

v2R2v

A．B．22

kR2R1kR2R1

3v2R2v

C．D．2

kR2R1kR2R1

【答案】CD

【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方

向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示

由几何知识可知，粒子最大轨道半径

RR

r21

2

粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

v2

qvBm

r

解得

2v

B

k(R2R1)

要使粒子不离开磁场

2v

B

k(R2R1)

由于

2R2v2vR22v

22

k(R2R1)k(R2R1)R2R1k(R2R1)

故选CD。

【例5】．如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的

圆环内（含边界）有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量

为q（q0）的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中

运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为（）

qBR5qBR3qBR7qBR

A．B．C．D．

4m4m2m4m

【答案】ACD

【详解】带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动

v2

qvBm

r

可得

qBr

v

m

粒子仅在磁场中运动，则

02rR

或

3R2r4R

代入可得

qBR

0v

2m

或

3qBR2qBR

v

2mm

故选ACD。

【例6】2020年12月4日，新一代“人造太阳”装置——中国环流器二号M装置（HL-2M）

在成都建成并实现首次放电，该装置通过磁场将粒子约束在小范围内实现核聚变。其简化模

12

型如图所示，核聚变主要原料氕核1H和氘核1H均从圆心O沿半径方向射出，被约束在

半径为R和2R两个同心圆之间的环形区域，该区域存在与环面垂直的匀强磁场。则下列

说法正确的是（）

A．若有粒子从该约束装置中飞出，则应减弱磁场的磁感应强度

12

B．若两种粒子速率相同，氕核1H不会从该约束装置中飞出，则氘核1H也一定不会从

该约束装置中飞出

C．若两种粒子在磁场中做圆周运动的半径相同，则两种粒子具有相同大小的动量

212

D．若氘核1H在磁场中运动的半径rR，则氘核1H会从该约束装置中飞出

4

【答案】C

【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有

mv2

qvB=

r

解得

mv

r

qB

如果减弱磁场的磁感应强度，粒子轨道半径变大，更容易飞出去，A错误；

B．由上面分析得

mv

r

qB

1

氕核与氘核速率相同，所带电荷量相同，磁感应强度也相同，氕核1H不会从该约束装置

中飞出，但氘核质量更大，所以轨道半径更大，氘核有可能飞出该装置，B错误；

C．由上面分析得

mv

r

qB

氕核与氘核所带电荷量相同，轨道半径相同，磁场的磁感应强度也相同，则两种粒子具有相

同大小的动量，C正确；

D．如图所示

设氘核轨道半径为r，当轨迹和外部大圆相切时是氘核飞出该装置的临界状态，根据几何关

系有

R2r2r2R

解得

21

rRR

44

212

若氘核1H在磁场中运动的半径rR，则氘核1H不会从该约束装置中飞出，D错误。

4

故选C。

类型4带电粒子在三角形或四边形边界磁场

【例1】如图所示，边长为L的等边三角形abc区域外存在着垂直于abc所在平面的匀强磁

场，磁感应强度大小为B。P、Q均为ab边的三等分点。t0时刻，磁场方向正好垂直于

abc所在平面向里，带负电的粒子在abc平面内以初速度v0从a点垂直于ac边射出，并从P

点第一次进入三角形abc区域。磁感应强度大小始终为B。不计带电粒子重力，求：

（1）粒子的荷质比；

（2）粒子第一次到达c点的时刻。

q3vL763

【答案】（1）0；（2）t

mBL9v0

【详解】（1）根据牛顿第二定律得