1.1-1.3集合及其运算导学案高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

1.1-1.3集合及其运算（导学案）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第一章集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合及其运算第1讲集合及其运算知识整合体系重构激活思维1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是()A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1,1}∉A2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是()A．A∪B＝BB．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3}C．A∩B＝{x|1＜x≤2}D．(∁RB)∪(∁RA)＝R3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝____．4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为___．聚焦知识1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____、____、____．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*或N＋ZQRC2．集合间的基本关系关系定义记法相等集合A与B的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有____个子集，____个真子集．3．集合的基本运算集合的并集A∪B集合的交集A∩B集合的补集∁UA图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}4．常见结论与等价关系(1)A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A．(2)(∁UA)∪A＝___；∁U(∁UA)＝____．(3)摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．题型突破思维拓展举题说法集合中元素的性质例1(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有()A．{x|x2＋1＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4＞0，,x＋3＜0))))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－－1n,2)，n∈N*))))＝{x|－1＜x＜2，x∈N}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x－1)＋\r(1－x)))))＝{0,1}(2)若a，eq\f(b,a)，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个含有三个元素的集合，则ab的值为____．(3)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝____；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为____．(1)集合中的元素最重要的性质是互异性．(2)注意以下集合的差异：{y|y＝eq\r(x2－1)}；{x|y＝eq\r(x2－1)}；{(x，y)|y＝eq\r(x2－1)}；{y＝eq\r(x2－1)}．变式1已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2026·n2027＝()A．－1 B．0C．1 D．2集合间的关系例2(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，0，1，2))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－x－6，x∈M))，则集合N的真子集个数为()A．7 B．8C．15 D．16(2)(2025·赣州一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－2x－3＜0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|3x－a＜0))，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(9，＋∞) B．[9，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3](3)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z))))，则M，N，P的关系为()A．M＝N⊆P B．M⊆N＝PC．M＝P⊆N D．N⊆P⊆M判断集合间关系的三种方法(1)列举法；(2)数轴法；(3)结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异．变式2已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)集合间的运算视角1集合的基本运算例3－1(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，3))，则下列方式中可表示图中阴影部分的是()(例3－1(1))A．{－1,2} B．∁(A∪B)BC．A∩(∁UB) D．(∁UA)∩(∁UB)(2)(2026·南昌期初)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜10，x∈N*))))，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(5，7，9))，(∁UA)∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(6，8))，则集合A＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))(1)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(2)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．变式3－1(2026·邯郸期初)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x＜1))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(logx2＞0))))，若全集U＝R，则M∩(∁UN)＝()A．(－∞，1) B．[1，＋∞]C．(－1,1) D．(0,1]视角2利用集合运算求参数例3－2(1)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1))))，非空集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(b＜x＜1－b))))，若A∩B＝B，则b的取值范围是____．(2)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋6＝0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋a＝0))，且B⊆A，则实数a的取值范围为____．变式3－2(2025·佛山一模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜a))))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，2))，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(－∞，1] D．(－∞，2]集合新定义问题例4(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)|n∈Z，n≥0)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠0))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)|n∈Z，n≠0)) D．整数集Z此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断．变式4(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，eq\f(a,b)∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列说法正确的是()A．数域必含有0,1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域D．数域中有无限多个元素随堂内化1．(2025·广州一模)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)2．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜2))))，则{x|x≤－1}等于()A．∁U(M∩N) B．∁U(M∪N)C．M∪(∁UN) D．N∪(∁UM)3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则()A．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))) B．A∩B＝{x|x＜ln2}C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有____人．配套精练一、单项选择题1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为()A．0 B．3C．5 D．82．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝()A．{0,1,2} B．{1,2,8}C．{2,8} D．{0,1}3．(2025·福州三模)已知全集为R，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|log2x∈Z))，则图中阴影部分表示的集合是()A．{1}B．{2}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，2，4))4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]5．(2026·南通期初)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，a2))，B＝{4,2a}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．{0,2} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2))6．(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，B∩(∁UA)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))，则A∩B＝()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，4)) D．{3}7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是()A．{2,7,8} B．{2,3,4,5,7,8}C．{1,2,4,5,6,7,8} D．{1,2,3,6,7,8}8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为()A．3B．4C．7 D．159．若数集A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a1，a2，…，an))(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i＜j≤n)，aiaj与eq\f(aj,ai)中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则()A．{1,3,4}为“权集”B．{1,2,3,6}为“权集”C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有110．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1500米都参加的有3人，400米和1500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是()A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有1人二、多项选择题11．(2025·萍乡二模)已知全集U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5，6))，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3,5}，(∁UA)∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4))，则下列说法正确的有()A．4∈AB．6∈(A∪B)C．集合A可能是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6))D．(∁UA)∪(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6))12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则()A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有()A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8}B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}14．设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有(x＋y)∈S，(x－y)∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”．下列命题正确的是()A．若S为“完美集合”，则一定有0∈SB．“完美集合”一定是无限集C．集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝a＋\r(5)b，a∈Z，b∈Z))为“完美集合”D．若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合”三、填空题15．已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{x|y＝ln(x－4)}，则(∁RM)∩N＝____．16．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|1＋a＜x＜2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是____．17．(2024·晋城二模)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N|\f(1,3)＜3x+1＜27))，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集个数为____．18．已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，m－1))，且A∩B有4个子集，则实数m的最小值是___．19．设k∈R，已知集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1x2－4＝k))))恰有4个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k＝____．20．用[A]表示非空集合A中元素的个数，已知A＝{1,2}，B＝{x|(ax2＋x)(x2＋ax＋2)＝0}，且|[A]－[B]|＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝____．参考答案激活思维1．D2．BC3．a＝24．[2，＋∞)聚焦知识1．(1)确定性、互异性、无序性（注意）含n(n≥1)个元素的集合A：有2ⁿ个子集，2ⁿ－1个真子集4．(2)(∁UA)∪A＝U；∁U(∁UA)＝A举题说法例1(1)AC(2)ab＝0(3)a＝0或1；(－∞，1]变式1B例2(1)A(2)B(3)B变式2A例3-1(1)ABC(2)D变式3-1D例3-2(1)[0，1/2](2)(25/4，＋∞)∪{6}变式3-2D例4BC变式4AD随堂内化1．D2．B3．D4．7配套精练一、单项选择题1．C2．D3．C4．D5．B6．D7．A8．D9．B10．C二、多项选择题11．BCD12．BC13．BD14．AC三、填空题15．(4，＋∞)16．(－∞，2]∪[3，＋∞)17．818．1/219．7/420．{－2√2，0，2√2}详细解析激活思维3【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2．4【解析】由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2．举题说法例1(1)【解析】因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1＝0)))){((x|\((x2＋1＝0))))＝∅，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋4＞0，,x＋3＜0)))))){((x|\(({\((2x＋4＞0，,x＋3＜0))))))＝∅，所以A正确；因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1)))){((y|\((y＝2x2＋1))))＝[1，＋∞)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x2＋1)))){((x|\((y＝2x2＋1))))＝R，所以B错误；因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－－1n,2)，n∈N*)))){((x|\((x＝1－(－1)n/2，n∈N*))))＝{0,1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜2，x∈N)))){((x|\((－1＜x＜2，x∈N))))＝{0,1}，所以C正确；因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x－1)＋\r(1－x))))){(((x，y)|\((y＝√x－1＋√1－x))))＝{(1,0)}≠{0,1}，所以D错误．例1(2)【解析】由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a2＝1，)){b/a＝0，；a2＝1，}解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－1)){b＝0，；a＝－1}或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝1．)){b＝0，；a＝1．}当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－1)){b＝0，；a＝－1}时，三个元素组成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，1)){－1，0，1}，符合题意；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝1)){b＝0，；a＝1}时，集合中有相同的元素，所以不合题意．综上，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝0，,a＝－1，)){b＝0，；a＝－1，}则ab＝0．例1(3)【解析】若A中只有一个元素，则当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－eq\f(1,2)1/2，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，则Δ＝4－4a＝0，即a＝1．若A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，则a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a≥1，)){a≠0，；4－4a≥1，}解得a≤1，故a的取值范围是(－∞，1]．变式1【解析】由A＝B可知，两集合元素全部相等，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2＝1，,mn＝n))){(((m2＝1，,mn＝n)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2＝n，,mn＝1．))){(((m2＝n，,mn＝1．)))若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2＝n，,mn＝1，))){(((m2＝n，,mn＝1，)))解得m＝n＝1，此时A＝B＝{1,1,1}，不满足集合元素的互异性．若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(m2＝1，,mn＝n，))){(((m2＝1，,mn＝n，)))解得m＝1，n∈R(舍去)或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝0．)){m＝－1，；n＝0．}当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝0)){m＝－1，；n＝0}时，A＝B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，0)){1，－1，0}，符合题意．综上，m2026·n2027＝0．例2(3)【解析】因为M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋\f(1,6)＝\f(6m＋1,6)＝\f(3·2m＋1,6)，m∈Z)))){((x|\((x＝m＋1/6＝6m＋1/6＝3·2m＋1/6，m∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)＝\f(3n－1＋1,6)，n∈Z)))){((x|\((x＝n/2－1/3＝3(n－1)＋1/6，n∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3k＋1,6)，k∈Z)))){((x|\((x＝3k＋1/6，k∈Z))))，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)＝\f(3p＋1,6)，p∈Z)))){((x|\((x＝p/2＋1/6＝3p＋1/6，p∈Z))))，所以M⊆N＝P．变式2【解析】因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a＞0时，可得x≤－eq\f(1,a)1/a，要使B⊆A，则需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,－\f(1,a)＜－1，)){a＞0，；－1/a＜－1，}解得0＜a＜1；当a＜0时，可得x≥－eq\f(1,a)1/a，要使B⊆A，则需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,－\f(1,a)≥3，)){a＜0，；－1/a≥3，}解得－eq\f(1,3)1/3≤a＜0．综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))\[)(－1/3，1)．例3-1(1)【解析】由图可知阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)B或A∩(∁UB)，故B，C正确．因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，1，2)){－1，0，1，2}，∁UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，2，4)){－1，2，4}，所以A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，2)){－1，2}，故A正确．(∁UA)∩(∁UB)＝{4}，故D错误．例3-1(2)【解析】根据题意画出韦恩图如图所示，由图可知A＝{1,2,3,4}．例3-2(2)【解析】由题知A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋6＝0)){x|x2－5x＋6＝0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3)){2，3}．由B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－5x＋a＝0)){x|x2－5x＋a＝0}，B⊆A，当B≠∅时，则B＝{2}或B＝{3}或B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3)){2，3}．当B＝{2}时，x2－5x＋a＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝2，x1＋x2＝4≠5，不合题意，同理B＝{3}，也不合题意，当B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3)){2，3}时，2＋3＝5，a＝2×3＝6，符合题意．当B＝∅时，则Δ＝25－4a＜0，解得a＞eq\f(25,4)25/4．综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)，＋∞))(25/4，＋∞)∪{6}．变式3-2【解析】当a≤1时，A＝∅，满足A∩B＝∅．当a＞1时，A≠∅，由A∩B＝∅，可知1＜a≤2．综上，a≤2．例4【解析】对于A，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)|n∈Z，n≥0)){n/n＋1|n∈Z，n≥0}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大eq\f(1,2)1/2，所以在a＜eq\f(1,2)1/2时，不存在满足0＜|x|＜a的x，所以0不是集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)|n∈Z，n≥0)){n/n＋1|n∈Z，n≥0}的聚点；对于B，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠0)){x|x≠0}，对任意的a，都存在x＝eq\f(a,2)a/2(实际上任意比a小的数都可以)，使得0＜|x|＝eq\f(a,2)a/2＜a，所以0是集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠0)){x|x≠0}的聚点；对于C，集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)|n∈Z，n≠0)){1/n|n∈Z，n≠0}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，都存在n＞eq\f(1,a)1/a，使0＜|x|＝eq\f(1,n)1/n＜a，所以0是集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)|n∈Z，n≠0)){1/n|n∈Z，n≠0}的聚点；对于D，对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x－0|＝0或者|x－0|≥1，也就是说不可能0＜|x－0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点．变式4【解析】因为P是一个数集，且至少含有两个数，所以P中必有一个非零实数．对于A，当a＝b≠0时，a－b＝0∈P，eq\f(a,b)a/b＝1∈P，故A正确；对于B，例如a＝1，b＝2，但eq\f(1,2)1/2∉Z，不满足条件，故B错误；对于C，例如M＝Q∪{eq\r(2)√2}，取a＝1，b＝eq\r(2)√2，因为1＋eq\r(2)√2∉M，所以数集M不是一个数域，故C错误；对于D，由A可知数域必含有0,1，根据数域的性质可知，数域必含有－1,0,1,2，递推下去，必为无限集，故D正确．随堂内化2【解析】依题意，M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜2)){x|1＜x＜2}，M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞－1)){x|x＞－1}，所以∁U(M∩N)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x≤1)){x|x≤1}或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥2))x≥2，故A错误；∁U(M∪N)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－1)){x|x≤－1}，故B正确；∁UN＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x≤－1)){x|x≤－1}或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥2))x≥2，M∪(∁UN)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x|x≤－1)){x|x≤－1}或eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＞1))x＞1，故C错误；∁UM＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤1)){x|x≤1}，N∪(∁UM)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜2)){x|x＜2}，故D错误．3【解析】因为集合A＝{x|2x－1＜0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))){((x|\((x＜1/2))))，B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln2}，eq\f(1,2)1/2＝eq\f(1,2)1/2lne＝lneeq\s\up6(\f(1,2))(1/2)＝lneq\r(e)√e＜lneq\r(4)√4＝ln2，所以A∪B＝{x|x＜ln2}，A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))){((x|\((x＜1/2))))，故A，B错误；A∪(∁RB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,2))))){((x|\((x＜1/2))))∪{x|x≥ln2}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,2)或x≥ln2)){x|x＜1/2或x≥ln2}≠R，故C错误；B∪(∁RA)＝{x|x＜ln2}∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))))){((x|\((x≥1/2))))＝R，故D正确．4【解析】设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人．配套精练4【解析】由x2－4≤0可得A＝[－2,2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2．5【解析】由A∩B＝B，得B⊆A．①若2a＝1，则a＝eq\f(1,2)1/2，此时A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，\f(1,4))){1，4，1/4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，1)){4，1}，满足B⊆A，符合题意．②若2a＝a2，则有a(a－2)＝0，解得a＝0或a＝2．当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，0)){1，4，0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，0)){4，0}，满足B⊆A，符合题意；当a＝2时，集合B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(4，4)){4，4}，不满足集合元素互异性，故舍去．综上，实数a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))){0，1/2}．6【解析】因为A∩(∁UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4)){2，4}，所以2∈A,4∈A，2∉B，4∉B．因为B∩(∁UA)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1)){1}，所以1∈B,1∉A，所以1∉A∩B，2∉A∩B,4∉A∩B．因为U＝A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)){1，2，3，4}，所以A∩B＝{3}．7【解析】由题知U＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4，5，6，7，8)){1，2，3，4，5，6，7，8}，M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，4，5)){3，4，5}，P＝{1,3,6}，则∁UM＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，6，7，8)){1，2，6，7，8}，∁UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4，5，7，8)){2，4，5，7，8}，所以(∁UM)∩(∁UP)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，7，8)){2，7，8}．8【解析】y＝(x－1)(x－5)的对称轴为x＝3，顶点为N(3，－4)，且过点M(1,0)，P(5,0)．当x＝3时，y2＝4x上的点为(3，±2eq\r(3)√3)，作出y＝(x－1)(x－5)与y2＝4x的图象如图所示．由图可知，两函数图象有4个不同的交点，从而A∩B的真子集的个数为24－1＝15．9【解析】因为3×4与eq\f(4,3)4/3均不属于数集{1,3,4}，所以A错误；因为1×2,1×3,1×6,2×3，eq\f(6,2)6/2，eq\f(6,3)6/3都属于数集{1,2,3,6}，所以B正确；由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知{2,3,6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误．10【解析】根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人．11【解析】由题知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4)){2，4}，所以A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6)){1，3，5，6}．对于A，因为A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6)){1，3，5，6}，所以4∉A，A错误；对于B，由于A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6)){1，3，5，6}，所以6∈(A∪B)，B正确；对于C，由A∩B＝{3,5}，知3,5既属于A又属于B，若A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，5，6)){1，3，5，6}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4)){2，4}，∁UA＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，4)){2，4}，∁UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6)){1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，C正确；对于D，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，又A∩B＝{3,5}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，4，6)){1，2，4，6}，D正确．12【解析】由M∩N＝N得N⊆M．由M∪P＝P得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误．13【解析】对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3,8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝∅，知A⊆B，故B正确；对于C，由Venn图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，故C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，故D正确．14【解析】对于A，若S为“完美集合”，则对任意的x∈S,0＝(x－x)∈S，A正确