第一章 动量与能量综合（学案）-高中物理人教版（2019）选择性必修第一册

10.动量能量综合(一)一、动量能量综合(类碰撞)学习目标与重难点学习目标、重难点①了解类碰撞——弹簧模型的动力学过程②掌握弹簧模型的动量角度处理方法③掌握圆弧轨道模型的动量处理方法思维导图学情分析

本讲和下讲内容，亦叫类碰撞模型，往往是动量章节中的压轴题型，且与高一上的牛二、高一下的能量联系十分紧密，对同学们要求较高。需要同学们充分理解碰撞模型，再理清楚类碰撞模型中的“能量”转化关系，反复对比上讲的几类碰撞场景而分析。核心把握：①动能如何转化，是转化为重力势能还是弹性势能；②弹簧模型、圆弧轨道模型中哪些特殊场景类似弹性碰撞和完全非弹性碰撞。③板块问题牛二动力学分析初步；④涉及摩擦力做功的板块问题中能量角度分析。1.弹簧模型场景分析如图所示，物块B左端固定一轻弹簧，静止在光滑的水平面上，A物体以速度v₀向B运动，假设A与弹簧接触之后立即与弹簧粘连在一起不再分开，A质量大于B质量，那么此后A、B与弹簧相互作用的过程中，运动情景如何呢?(1)压缩阶段：B受到弹簧的弹力向右做加速运动，A受到弹力做减速运动，开始时A的速度大于B的速度，弹簧一直被压缩；(2时：弹簧压缩最短，此时弹簧弹性势能Ep最大；(3)恢复阶段：由于弹簧处于压缩状态，A继续减速，B继续加速，B的速度开始大于A的速度，弹簧压缩量逐渐减小；(4)恢复原长：弹性势能为零，B的速度增至最大；(5)伸长阶段：A做加速运动，B做减速运动；6v(7)恢复阶段：由于弹簧处于伸长状态，A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐缩短至原长；(8)恢复原长：弹性势能为零，A的速度增至最大.此后将重复上述过程。动量角度理解

上面我们从受力和运动的角度，分析了弹簧的运动情景.如果两物体是在光滑水平面上运动，系统的动量守恒；在这个过程中只有两物体的动能和弹簧弹性势能的相互转化；因此，我们可以从动量和能量的角度来分析问题.设任意时刻A、B的速度分别为vA、vB，弹簧的弹性势能为Ep.由动量守恒可得：m由能量守恒可得：1(1)弹簧压缩最短(或最长)时，两物体速度相等，动量守恒，动能损失最大，弹簧弹性势能最大，类似于完全非弹性碰撞；(2)弹簧在原长时，动量守恒，弹性势能不变，动能不损失，类似于弹性碰撞。以上两个场景所列出的动量、能量守恒方程与碰撞问题类似(只是非弹性碰撞过程中损失的能量表现为弹性势能)，因此很多问题我们可以直接套用上一讲碰撞问题中得出的结果。末态分析如下图所示，若m₁初速度向右，m₂与弹簧粘连，m₁与弹簧碰后不粘连。可以发现，m₁与m₂在发生相互作用的过程，动能在减小，减小的动能以EP①m₁=m₂等质量，速度交换②m₁=m₂,小撞大，速度反向③m₁=m₂大撞小，速度同向精讲精练1题型1：弹簧模型-基础场景

12020~2021学年10月河南郑州金水区河南省实验中学高三上学期月考第10题4分如图所示，在光滑的水平面上静止放一质量为m的木板B，木板表面光滑，左端固定一轻质弹簧，质量为m的木块A以速度v₀从木板的右端水平向左滑上木板B.在木块A与弹簧相互作用的过程中，下列说法正确的是()A.弹簧压缩量最大时，B木板运动速率最大B.弹簧恢复原长时，B木板运动速率最大C.弹簧给木块A的冲量大小为1D.弹簧给木块A的冲量大小为mv。答案BD解析A选项，B选项：在木块A与弹簧相互作用的过程中，弹簧一直处于压缩状态，B板一直在加速，所以当弹簧恢复原长时，B板运动速率最大，故A错误，B正确；C选项，D选项：设木块A与弹簧分离时A与B的速度分别为v₁和v₂.取向左为正方向，根据动量守恒定律,有:mvo=mv₁+mv₂①根据机械能守恒定律，有：1联立解得:v₁=0,v₂=v₀或v₁=v₀,v₂=0(不合理,舍去),对滑块A,根据动量定理,有:I=mv₁-mv₀=-mv₀(负号表示方向向右),故弹簧给木块A的冲量大小为mv₀,故C错误,D正确;故选BD.22018~2019学年福建厦门思明区厦门外国语学校高二下学期期中第12题4分如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m₁和m₂的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上.现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得()

A.在t₁、t₃时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态B.从t₃到t₄时刻弹簧由压缩状态恢复到原长C.两物体的质量之比为m₁:m₂=1:2D.在t₂时刻A与B的动能之比为.Eₖ₁:Eₖ₂=8:1答案C解析A选项：由图可知t₁、t₃时刻两物块达到共同速度1m/s，且此时系统动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，弹簧处于压缩状态，故A错误；B选项：结合图象弄清两物块的运动过程，开始时m₁逐渐减速，m₂逐渐加速，弹簧被压缩，t₁时刻二者速度相当，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩最厉害，然后弹簧逐渐恢复原长，m₂依然加速，m₁先减速为零，然后反向加速，t₂时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两木块均减速，当t₃时刻，二木块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t₃到t₄过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误；C选项：系统动量守恒，选择开始到t₁时刻列方程可知：m₁v₁=(m₁+m₂)v₂,将v₁=3m/s,v₂=1m/s代入得:m₁:m₂=1:2,故C正确；D选项：在t₂时刻A的速度为：vA=1m/s,B的速度为：vB=2m/s,根据m₁:m₂=1:2,求出.故选C.32020~2021学年江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高二下学期期末第11题4分如图甲，质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力F作用在A上，系统静止在光滑水平面上(B靠墙面)，此时弹簧形变量为x.撤去外力并开始计时，A、B两物体

运动的加速度a随时间t的变化如图乙所示，S₁表示0到t₁时间内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小，S₂、S₃分别表示t₁到t₂时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围面积大小，下列说法中不正确的是()A.B.S₁=S₂+S₃C.0到t₁时间肉，墙对B的冲量等于mD.B运动后，弹簧的最大形变量等于x答案D解析A选项：由a-t图可知t₁后弹簧被拉伸，在t₂时刻弹簧的拉伸量达到最大，根据牛顿第二定律有.F由图可知aBB选项：由a-t图可知t₁后B脱离墙壁，且弹簧被拉伸，在t₁~t₂时间内AB组成的系统动量守恒，且在t₂时刻弹簧的拉伸量达到最大，A、B共速，由a-t图像的面积为Dv，在t₂时刻AB的速度分别为vA=SC选项：由于在0~t₁时间内，物体B静止，则对B受力分析有.F追=D选项：由图可得，t₁时刻B开始运动，此时A速度为v₀，之后AB动量守恒，AB和弹簧整个系统能量守恒，则mAv故选D.

_4_42017~2018学年湖北武汉武昌区华中师大一附中高三上学期期中第7题如图所示，水平光滑轨道宽度和轻质弹簧自然长度均为d.两物体m₁和m₂与弹簧连接，m₂的左边有一固定挡板.m₁由图示位置静止释放，当m₁与m₂相距最近时m₁速度为v₁，已知m₁则在以后的运动过程中()A.m₁的最小速度是A.m₁的最小速度是mB.存在某段时间m₁向左运动C.m₂的最大速度是v₁D.m₂的最大速度是2答案BD解析从小球m₁到达最近位置后继续前进，此后拉到m₂前进，m₁减速，m₂加速，达到共同速度时两者相距最远，此后m₁继续减速，m₂加速，当两球再次相距最近时，m₁达到最小速度，m₂达最大速度：两小球水平方向动量守恒，速度相同时保持稳定，一直向右前进，选取向右为正方向，则：m₁v₁=m₁1解得：v故m₂的最大速度为2m1m1+由于m₁m₁的最小速度等于0，故AC错误，BD正确.故选BD.题型2：弹簧模型-复杂场景52020~2021学年湖北武汉江岸区武汉市第二中学高二上学期期中(鄂东南联考省级示范高中联考)第3题3分

在光滑水平地面上静止放置着由轻弹簧连接的物块A和B，开始时弹簧处于原长，一颗质量为m的子弹以水平初速度v₀射入物块A并留在其中(子弹与物块相互作用时间极短，可忽略不计)，已知物块A和B的质量均为m，则在以后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为()A.1A.13mvC.16mv答案D解析子弹射入木块A中动量守恒，有mv₀=2mv₁，弹簧被压缩到最短时mv₀=3mv₂,则弹簧的最大弹性势能E故选D.62018~2019学年湖北武汉洪山区洪山区华中师范大学第一附属中学高一下学期期末第13题如图所示，在光滑水平面上放置着质量均为m的滑块A和B，A靠着墙壁，A和B用轻质弹簧拴接，且都处于静止状态.在B的右端有一质量为2m的滑块C以速度v₀向左运动，与滑块B发生正碰，碰后粘连在一起，且碰撞时间极短，求：(1)滑块A离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能.(2)滑块A的最大速度.答案1(2)v₀解析(1)C与B正碰,碰后共同速度为v₁,对C与B,根据动量守恒，2m此后弹簧被压缩至最大，然后再恢复原长，然后A开始离开墙壁，至A与BC整体共速时弹簧弹性势能最大，共同速度为v₂，对A、BC整体，

根据动量守恒，有3m根据机械能守恒，1得E(2)A离开墙壁后，弹簧再一次恢复原长时，A的速度最大，此时BC、A的速度分别为v₃、v₄,根据动量守恒与机械能守恒有3mv₁=3mv₃+mv₄,1解得v则滑块A的最大速度为v₀.72016~2017学年湖北武汉江汉区武汉外国语学校高二下学期期中第5题5分在光滑的水平桌面上有等大的质量分别为M=0.6kg，m=0.2kg的两个小球，中间夹着一个被压缩的具有.Eₚ=10.8JJ弹性势能的轻弹簧(弹簧与两球不相连)，原来处于静止状态.现突然释放弹簧，球m脱离弹簧后滑向与水平面相切、半径为ab的竖直放置的光滑半圆形轨道，如图所示.g取10m/s².则下列说法正确的是()A.球m从轨道底端A运动到顶端B的过程中所受合外力冲量大小为0.2N·sB.M离开轻弹簧时获得的速度大小为9m/sC.若半圆轨道半径可调，则球m从B点飞出后落在水平桌面上的水平距离随轨道半径的增大而减小D.弹簧弹开过程，弹簧弹力对m的冲量大小为1.8N·s答案D解析A.释放弹簧过程中系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv₁-Mv₂=0;由机械能守恒定律得：12代入数据解得：v₁=9m/s,v₂=3m/s;m从A到B的过程中机械能守恒，得：1代入数据得：v小球m从A到B的过程中，由动量定理得：I=−mvC.设圆轨道半径为r时，m由A到B的过程，由机械能守恒定律得：1m从B点飞出后做平抛运动，则：2r=联立得x=当81-40r=40r时,即r=8180m=1.0125m时，x为最大，最大值为：D.弹簧弹开小球的过程，由动量定理得：I=Δp；弹簧对m的冲量大小为：I=Δp=mv故选D.82008年6月高考真题天津卷理科第9题18分光滑水平面上放着质量，mA=1kg的物块A与质量mB=2kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A、B均不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能.EP=49J.(1)绳拉断后瞬间B的速度vB的大小.(2)绳拉断过程绳对B的冲量I的大小.(3)绳拉断过程绳对A所做的功W.

答案12(3)W=8J解析(1)设B在绳被拉断后瞬间的速度为vB，到达C点时的速度为vc，有m1代入数据得v(2)设弹簧恢复到自然长度时B的速度为v₁，取水平向右为正方向，有EI=代入数据得I=−4N⋯,,其大小为4N·s⑥(3)设绳断后A的速度为vA，取水平向右为正方向，有mW=代入数据得W=8J.2.圆弧轨道模型如图所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底面与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v₀向滑块滚来.若小球最终不会越过滑块，则在小球上升到最高点时(即小球在竖直方向上的速度为零)，两者速度相等(方向均为水平方向)。

(1)滑块和小球水平方向动量守恒；(2)整个过程中能量守恒(只有小球的重力势能与二者动能的相互转化)。对比碰撞模型：(1)从初始状态到小球上升到最高点，类似完全非弹性碰撞的过程；(2)从初始状态到小球最终从弧面上滚下分离的过程类似弹性碰撞的过程.两者动量、能量守恒方程类似(只是动量守恒的方程对应的是水平方向的动量守恒、非弹性碰撞过程中损失的能量表现为小球的重力势能)，同样可以利用之前的结论进行分析。精讲精练2题型3：圆弧轨道模型-基础场景题型3：圆弧轨道模型-基础场景92019~2020学年湖北武汉江汉区武汉外国语学校高一下学期期中理科第1题4分为了研究动量和机械能的关系，武汉外语学校物竞小组的同学们在脑海中做了如右图所示的实验.一个半圆弧轨道紧靠墙壁放在光滑的水平面上.一小球自圆弧轨道左端A点正上方高h处山静止释放.假设水平面足够长，则下列说法正确的是()A.如果圆弧轨道光滑，则小球从B点射出后，一定做竖直上抛运动B.如果圆弧轨道光滑，则小球从B点射出后，一定不能运动到高h处C.如果圆弧轨道粗糙，则小球从B点射出后，有可能做竖直上抛运动D.无论轨道粗糙与否，小球在圆弧轨道内由A到B的运动过程中，小球与滑块水平方向动量守恒答案B解析设小球质量为m，轨道质量M，小球落到A点时，根据机械能守恒可得mgh=12mvAA选项，B选项：如果圆弧轨道光滑，小球到最低点速度为vm，根据机械能守恒可得，mgh+R根据水平方向动量守恒可得：m⋅vₘ=m+M12mvm2=12m+MvC选项：如果圆弧轨道粗糙，小球从B点射出时，水平方向依然与轨道共速，不可能做竖直上抛运动，故C错误；D选项：无论轨道粗糙与否，小球从轨道最低点到B点运动过程中，二者水平方向动量守恒，故D错误；故选B.102019~2020学年山东潍坊诸城市高二下学期期中第12题4分带有14A.小球一定向左做平抛运动B.小球可能做自由落体运动C.若m=M，则此过程小球对小车做的功为1D.若mv答案BCD解析AB选项：小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，设小球离开小车时，小球的速度为v₁，小车的速度为v₂，以向右为正方向，整个过程中，由动量守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv₂,

由机械能守恒定律得：1解得：v当m当m=M时，v₁=0，小球离开小车后做自由落体运动，当m>M时，小球离开小车时的速度方向水平向右，小球离开小车后向右做平抛运动，故A错误，B正确；C选项:若m=M,则v₂=v₀,对小车,由动能定理得:Ek=D选项：当小球到达最大高度时，小球和小车具有相同的速度，小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mvo=(M+m)v,由机械能守恒定律得：1解得：h=如果mh=v0故选BCD.112015~2016学年4月湖北武汉青山区武汉钢铁集团公司第三子弟中学高二下学期月考第8题4分如图所示，小车的上面是中突的两个对称的曲面组成，整个小车的质量为m，原来静止在光滑的水平面上.今有一个可以看作质点的小球，质量也为m，以水平速度v从左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又从另一个曲面滑下.关于这个过程，下列说法正确的是()A.小球滑离小车时，小车又回到了原来的位置B.小球在滑上曲面的过程中，对小车压力的冲量大小是mvC.小球和小车作用前后，小车和小球的速度可能没有变化D.车上曲面的竖直高度不会大于v答案CD

解析A选项：小球滑上曲面的过程，小车向右运动，小球滑下时，小车还会继续前进，故不会回到原位置，故A错误；解析A选项：小球滑上曲面的过程，小车向右运动，小球滑下时，小车还会继续前进，故不会回到原位置，故A错误；B选项：由小球恰好到最高点，知道两者有共同速度，对于车、球组成的系统，由动量守恒定律列式为mv=2mv',得共同速度v'=vC选项：由于满足动量守恒定律，系统机械能又没有增加，所以是可能的，两曲面光滑时会出现这个情况，故C正确；D选项：由于小球原来的动能为D选项：由于小球原来的动能为12mv2小球到最高点时系统的动能为12×2m×如果曲面光滑，则减少的动能等于小球增加的重力势能，即mv24=mgh,得故选CD.12如图所示，小车由光滑的弧形段AB和粗糙的水平段BC组成，静止在光滑水平面上，当小车固定时，从A点由静止滑下的物体到C点恰好停止.如果小车不固定，物体仍从A点静止滑下，则()A.还是滑到C点停住B.滑到BC间停住C.会冲出C点落到车外D.上述三种情况都有可能答案A解析略.题型4：圆弧轨道模型-综合场景

132020~2021学年湖北武汉江岸区武汉市第二中学高二上学期期中(鄂东南联考省级示范高中联考)第15题10分质量为3m的光滑弧形槽静止在光滑水平地面上，底部与水平面平滑连接，质量为m的小球从槽上高h处由静止滑下，小球运动到右侧墙壁时与竖直墙壁碰撞后以原速率弹回，已知重力加速度为g,求:(1)小球第一次与墙壁碰撞时的速度大小.(2)小球再次滑上弧形槽到达的最大高度.答案12解析(1)设小球从弧形槽滑下时的速度大小为v₁，弧形槽的速度大小为v₂，由系统机械守恒定律可得：mgh=由于系统在水平方向上动量守恒，故由动量守恒定律可得：mv₁=3mv₂②,联立①②解得：v(2)小球与墙壁碰撞后以原速率弹回，当小球再次滑上弧形槽，到达弧形槽最高点时与弧形槽共速，设共同速度为v，此时小球的高度为h'，对小球和弧形槽有机械能守恒定律可得：12mv12+1142017~2018学年广东深圳南山区深圳市南山实验学校高一下学期期末第5题3分如图所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车上AB部分是半径为R的四分之一光滑圆弧，BC部分是光滑的水平面，长度为L，C处装有一根轻弹簧，弹簧长度远小于L，可以忽略.

现把质量为m的小物体从A点由静止释放，则下列说法中错误的是()A.运动的全过程中，小球与小车组成的系统水平动量守恒B.小球运动至C处时，弹簧最大的弹性势能为mgRC.小球运动至C处时，小车向左移动的距离为mLD.小球返回AB部分时，恰能回到A点答案C解析A.运动全过程中，水平地面光滑，系统水平方向不受外力，故系统水平动量守恒，故A正确;B.由完全非弹性碰撞模型可知，当小球和小车共速时，系统损失动能最大，此时弹簧弹性势能最大.运动过程中系统水平动量守恒，因此当小球和小车共速时共同动量为零，即速度为零，此时弹簧弹性势能为mgR，故B正确；C.由人船模型可知，小车总长度应取AC的水平距离，因此小车向左移动的距离应为mL+RmD.设小球能回到A点，根据能量守恒，此时小球和小车的动能为零，即速度为零，因此此时它们水平方向动量为零，符合动量守恒定律，故假设正确，小球能回到A点，故D正确.故选C.152016~2017学年1月湖北武汉武昌区高三下学期月考第8题6分如图所示，质量M=3kg的滑块套在水平固定着的轨道上并可在轨道上无摩擦滑动.质量m=2kg的小球(视为质点)通过长L=0.75m的轻杆与滑块上的光滑轴O连接，开始时滑块静止、轻杆处于水平状态.现给小球一个v₀=3m/s的竖直向下的初速度,取g=10m/s²则()A.小球m从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块M在水平轨道上向右移动0.3mB.小球m从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块M对在水平轨道上向右移动了0.5m

C.小球m相对于初始位置可以上升的最大高度为0.27mD.小球m从初始位置到第一次到达最大高度的过程中，滑块M在水平轨道上向右移动了0.54m答案AD解析A、B.小球m从初始位置到第一次到达最低点的过程中，设滑块M在水平轨道上向右移动的距离为x.取向左为正方向，根据水平动量守恒得：0=mL−xtx=mLm+MC.设小球m相对于初始位置可以上升的最大高度为h.此时竖直方向速度为0，所以水平方向速度也为0，根据水平动量守恒得：0=(m+M)v根据系统的机械能守恒得12mD.小球m从初始位置到第一次到达最大高度的过程中，设滑块M在水平轨道上向右移动的距离为y.由几何关系可得，m相对于M移动的水平距离为S=L+根据水平动量守恒得：0=mS−yt故选A、D.限时挑战162018~2019学年天津河西区天津市第四中学高二下学期期中第17题如图所示，在光滑的水平面上有两物体A、B，它们的质量均为m.在物体B上固定一个轻弹簧处于静止状态.物体A以速度v₀沿水平方向向右运动，通过弹簧与物体B发生作用.下列说法正确的是()A.当弹簧获得的弹性势能最大时，物体A的速度为零B.当弹簧获得的弹性势能最大时，物体B的速度为零C.在弹簧的弹性势能逐渐增大的过程中，弹簧对物体B所做的功为12D.在弹簧的弹性势能逐渐增大的过程中，弹簧对物体A和物体B的冲量大小相等，方向相反答案D解析弹簧弹性势能最大时，弹簧不再压缩，A、B共速，速度都为v02，故对物体B所做的功为故选D.172019~2020学年3月浙江宁波镇海区宁波市镇海中学高三下学期月考第11题3分如图(甲)所示，在光滑水平面上，轻质弹簧一端固定，物体A以速度v₀向右运动压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量为x.现让弹簧一端连接另一质量为m的物体B，如图(乙)所示，物体A以2v₀的速度向右压缩弹簧，测得弹簧的最大压缩量仍为x，则()A.A物体的质量为2mB.A物体的质量为4mC.弹簧压缩量最大时的弹性势能为mD.弹簧压缩量最大时的弹性势能为3答案D解析对图(甲)，设物体A的质量为M，由机械能守恒定律可得，弹簧压缩α时弹性势能E对图(乙)，物体A以2v₀的速度向右压缩弹簧，A，B组成的系统动量守恒，