广东省河源市多校2026届高三上学期10月联考数学试卷（含答案）

广东省河源市多校2026届高三上学期10月联考数学试卷一、单选题1．已知集合，，则的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．162．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（

）

A． B． C． D．3．若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．下列各组中的函数与是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，5．若，则值为（

）A． B． C． D．76．过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．如图，在直三棱柱中，为侧棱的中点；，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，，且，则（

）A．有最大值 B．有最小值8C．有最大值1 D．有最小值10．已知函数，则（

）A．在区间单调递减B．的图象关于直线对称C．当时，的值域为D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到11．关于函数，下列说法正确的是（

）A．是奇函数 B．在处的切线方程为C．在上的最小值为 D．在区间上单调递增三、填空题12．已知直线与三次曲线有三个不同交点，则a的取值范围为___________.13．某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：），如图.根据图中提供的数据，试用近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为_________，.14．若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为__________.四、解答题15．已知函数的部分图像，如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间.16．如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为2的正方形，

(1)求证:；(2)求平面.与平面的夹角的余弦值；(3)在线段DG上是否存在一点P，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由.17．已知函数，.(1)求函数的最值；(2)讨论函数在上极值点的个数；(3)设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数的取值范围.18．已知函数．(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设，证明：．19．已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．①当时，；②当时，．注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．参考答案1．C2．A3．C4．D5．B6．C7．B8．D9．ABD10．AB11．AC12．13．14．515．（1）由题图得，因为，∴.由，得，所以，解得.又因为，∴当时，.又由，得.故.（2）将的图像向右平移个单位，得到的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图像.由，，得，当时，；当时，，因为，所以函数在区间上的单调递增区间为，16．(1)证明：连接，直四棱柱，，则点在平面内.因为平面，且平面，所以，又底面为正方形，所以，又，所以平面，平面，故；(2)（2）因为平面，平面，所以，又底面为正方形，所以，建立如图空间直角坐标系，则，故设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是.因为平面，所以是平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为θ，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为；(3)存在，，理由如下：设，则，线段上存在一点使得平面等价于，即，解得，所以.17．（1）函数的定义域为，.令，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；因此在处取得极小值（也是最小值），此时.无最大值.所以函数的最小值为，无最大值.（2）由题意知，即讨论在上变号零点个数对求导可得，.极值点的个数等价于在上的解的个数，即在上的解的个数.令（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，此时.且当时，；时，.

当时，在上无解，此时在上无极值点；当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点；当时，在上有1个解，但在和上均大于零，故此时在上无极值点；当时，在上无解，此时在上无极值点；综上，当或时，无极值点；当时，有2个极值点.（3），其定义域为，则，（）.令，解得或.设（），则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得最大值，此时，且当时，；当时，.因此的大致图象如图所示，

因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根，所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以，即在上有两个不同的正根（且不等于1）.不妨设，则，所以，即，，也即，，所以令（），则因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，又，所以，所以在上单调递增.因为，因此当时，，即当时，恒成立，所以实数的取值范围是.18．（1）解：，∴，∴切线方程为．（2），令，则．令，则．①当，即时，恒成立，∴单调递增．∴，∴，∴单调递增，从而，不符合题意．②当，即时，恒成立，∴单调递减．∴，∴，∴单调递减，从而，符合题意．③当，即时，由，，∴在上存在，使得，且当时，，∴单调递增，∴，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．(3)证明：由（2）可知，当时，，∴．又令，求导，得，∴单调递减，从而，即在上恒成立．令，得．∴．即，∴，于是得证．19．（1）因为，所以，若是函数的极值点，则，，即，此时，设，则，，所以存在，使得当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，是的极值点.(2)证明：选择①：因为分别为的零点和极值点，所以，，所以.当时，，则，即因为，所以当，即时，成立，当时，若，则只需证明，设，则设，则为增函数，且所以存在唯一，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以，单调递增，所以，则，等价于.设，则，当时，若时，，，单调递减，所以当，所以当时，成立，设，则，当时，，单调递增所以当时，，即成立，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.选择②：因为分别为的零点和极值点，所以，，所以.当