内蒙古衡越教育集团2027届高三上学期第二次诊性检测断（平行级部）数学试卷(有答案)

2026-2027学年第一学期高三年级二诊考试数学试题时间：120分钟满分：150分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．-25．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（）A． B． C． D．6．在中，，，则外接圆的面积为（）A． B． C． D．7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（）A． B．1 C．2 D．8．若，则（）A． B． C． D．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知，满足，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．10．已知中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（）A． B．C．的面积为 D．11．已知为定义在上的奇函数，当时，，则（）A．曲线在点处的切线方程为B．的极大值为C．函数的极小值点为-1D．不等式的解集为三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．若是第二象限角，，则___________．13．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________．14．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为___________．四、解答题（共5小题，共77分）15．已知函数．（1）求函数的单调递增区间及在上的最值；（2）若为锐角且，求的值．16．在中，内角的对边分别为，且．（1）求角B的大小；（2）若，且，求的值．17．设函数．（1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．18．如图，在直三棱柱中，为棱的中点，为的中点，且．（1）求证：；（2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上．①求平面截球的表面所得圆的周长；②求直线与平面所成角的正弦值．19．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：在上单调递减．（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

参考答案题号1234567891011答案CCDADBBBCDACBCD8．答案：B解答过程：因为，所以设函数，则，当时，单调递减，所以，所以，故．故选：B9．答案：CD解答过程：因为，满足，对于A选项，由基本不等式可得，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，A错；对于B选项，，当且仅当当时，等号成立，B错；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，D对．故选：CD．10．答案：AC解答过程：因为，所以由正弦定理，得，故A正确；由余弦定理得，，因为，所以，故B错误；的面积为，故C正确；由余弦定理，得，因为，所以，因为是的角平分线，所以，所以．在中，由正弦定理，得解得，故D错误．故选：AC．11．答案：BCD解答过程：当时，，所以，则，又，所以A错误；当时，当时．，所以的极大值为，又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大，值，所以B正确；，当或时，当时，，所以的极小值点为-1，所以C正确；根据或或，等价于或，则，所以D正确．12．答案：13．答案：14．答案：解析：先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可．解答过程：结合解析式可知当时，；当时，．因为，所以．令，得，则，故．令，则，令得；令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，所以．所以的取值范围为．故答案为：15．答案：（1）由，解得，所以函数的单调递增区间为；由，得，所以，在的值域为．所以函数的最大值为2，最小值为-1，（2）由（1）知，，由，得，由，得，所以，所以．16．答案：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，即，又，所以，所以，所以；（2）由（1）知，，又，则由正弦定理得．由余弦定理可得，所以，所以，根据正弦定理得，，因为，则，所以，所以．17．答案：（1）解：由题意，函数，则，可得，所以曲线在点处的切线方程为，即，可得直线在轴，轴上的截距分别为，所以所求三角形的面积为．（2）解：由，则，所以函数为增函数，又因为，所以当时，，所以函数在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．即函数在区间上的最大值为，最小值为1．18．答案：（1）证明：由题意知平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得两两垂直，以C为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点，其坐标为，且平面，所以在上，于是设，由，得，即，解得，所以，所以，球的半径．法2：设，由，得，解得，即，所以，球的半径．①设点到平面的距离为，则，所以截面圆的半径，故截面圆的周长为；②，设与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．答案：（1）因为，所以，，又，即切点为，切线的斜率，所以切线方程为，即．（2）令，则，所以当时，，因此函数在上单调递增，当时，，因此函数在上单调递减，故函数的最大值为，即在上恒成立，则在上单调递减．（3）关于的不等