高考数学（理）高分计划一轮高分讲义第4章平面向量43平面向量的数量积及其应用

4.3平面向量的数量积及其应用

I.理解平而向址数H积的含义及义物理意义,「解平而向ht的数收积与向H投影的关系.

2.要求室樨数址积的坐标表达式,会进行平面向情敌址枳的运算,能运川数址民表示两个向址的夹

考

考纲解读用,会川数状积判断两个平面向城的垂克关系.

纲

3.主要考钱平面向M数址积的运算、化初.证明及应用.如平行、垂直、求夹角、向fit的慎及投影

要

等问题.

求

探

从近三年商考情况来看,本讲•直是巡考中的一个热点内容.预测2019年高琴将考古向H数I#

关

枳运算、到的最值、夹角的他阳.

考向预测

题5!以客观的为忆试题雉度以中档题为E,仃时也会。三俗函数.解析几何交汇出现于解苓

题中.

基础知识旧关

［知识梳理］

1.两个向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零设。是。与

0=0°或0=

向量Q和b,b的夹角，

180°=。〃b,

作市=%小方则。的取值

0=90°=a

=b,则°就是0£aA范围是［00.

1b

a与b的夹角180n

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a.b的夹角为0,则数量I。Ib\coM叫

定义

做Q与b的数量积，记作a•方

|Q|CO/叫做向量。在6方向上的投影，

投影

|力（、。加叫做向量b在a方向上的投影

几何数量积a-6等于Q的长度|。|与8在Q的方向上的

意义投影IblcoM的乘积

3.平面向量数量积的性质

设4,8都是非零向量，C是单位向量，夕为。与力（或《）的夹角,

则

(1)ea=ae=\a\cosO.

(2)a_L方0年〃=0.

(3)当。与方同向时,Q力=|川网;

当〃与力反向时，a-b=~\a\\b\.

特别地，的〃=同2或⑷=aa.

...八(i'h

(4)cos"=

同向

(5)依臼《同网.

4.平面向量数量积满足的运算律

(1)ab=ba；

(2)(痴)力=2(ab)=®(M)(2为实数)；

(3)(a+b\c=ac+bc.

5.平面向量数量积后关性质的坐标表示

设向量〃=(xi，yi),b=g歹2)，则®〃=亚总士业，由此得到

22

(1)若。=(%,y),则㈤2==+俨或㈤=x+y.

―＞

(2)设4(X1,yi),8(X2,歹2)，则45两点间的距离|力用=|45|=

(X2-xi)2+(y2-j^i)2.

(3)设两个非零向量Q,b,a=(x\fyi),b=g玫)，则0JLb例】初

+＞必=0.

(4)设两个非零向量mb,0=(为,y\)yb=(x2，及)，。是a与b

的夹角，则COS0==2：叱；

xf+yf-xi+yi

特别提醒：(1)。在〃方向上的投影与b在a方向上的投影不是一

个概念，要加以区别.

(2)对于两个非零向量〃与〃，由于当6=0。时，口力＞0,所以°力乂)

是两个向量明力夹角为锐角的必要而不充分条件；。力=0也不能推

出4=0或力=0,因为。6=0时，有可能

(3)在实在运算中,若a,b£R,则%|=|训切,若。-b=b・c(br0),

则q=c.但对于向量明〃却有•臼W同也|;若ab=bc(bWO),则a=

c不一定成立.例如优8=|G||〃COS0,当cos8=0时，0与c不一定相

等.

又如下图，向量〃和c在b的方向上的投影相等，故ab=bc9

但〃Wc.

(4)两个向量的数量积是一个实数.

・・.04=0(实数)而Oa=O.

(5)数量积不满足结合律(。协)

(6)。仍中的不能省略.

［诊断自测］

1.概念辨析

(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向

量.()

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结

果是向量.()

(3)若。必>0,则。和力的夹角为锐角；若〃心<0,则。和〃的夹

角为钝角.()

―>—>—>—>

(4)在△46c中，ABBC=\AB\'\BC\cosB.()

答案⑴J(2)V(3)X(4)X

2.教材衍化

(1)(必修A4P108T3)已知〃仍=一122,同=4,〃和方的夹角为135。,

则问为()

A.12B.6C.33D.3

答案B

解析ab=-\22=|«||^|cosl35°,

解得网=6.故选B.

(2)(必修A4Pio4例1)已知同=5,.=4,Q与4的夹角0=120。,

则向量b在向量a方向上的投影为.

答案一2

解析由数量积的定义知，〃在〃方向上的投影为

|/||cos^=4Xcosl20°=—2.

3.小题热身

->p3)->r3f

(1)(2017♦包头质检)已知向量向=(2'2J,3。=12'2」,则N

ABC=()

A.30°B.45°C.60°D.120°

答案A

BABC

解析cosZABC=—>—>=,所以N4BC=30。.故选A.

2

如归q

(2)已知向量〃，b的夹角为60。，同=2,步|=1,则|〃+2臼=

答案23

解析由题意知=同创cos60。=2X1X；=1,贝+2肝=(a

+2与2=|砰+4|开+4。/=4+4+4=12.

所以|a+2〃|=23.

E经典题型1中关

「多角探究

题型1平面向量数量积的运算

角度1求数量积

典例已知△/BC是边长为1的等边三角形，点。，E分别是

—>―►

边4B,BC的中点，连谖QE并延长到点凡使得DE=2EF,则力尸8c

的值为()

I【方法点拨】本题可采用向量坐标法.

答案B

解析建立平面直角坐标系，如图.

所以8。=(1,0).

易知。石=10,则四=[C=:,

244

因为N庄C=60。，

1_3、

所以点尸的坐标为H-8J,

一[1_53

所以力尸=、88,,

一―0_53]

所以力尸8C=18，―81(1,0)=：.故选B.

O

角度2平面向量的夹角与垂直问题

典例已知△ZBC周长为6,〃，b,c分别为角4,B,。的对

边，且a,b,。成等比数列，则348C的取值范围为()

[3(5-1)

B.[2，2J

A.[2,18)I

D.(2,9-35)

|【方法点拨】|

本题采用转化思想、向量法、余

弦定理.

答案C

解析由题意可得。+6+。=6,且

a+c6b

：.b=ac^=~9从而0<bW2.

22

22

再由|〃一c|v〃，得(Q—c)2V〃，(a+c)~4ac<b9

/.(6—b)2—4b2<b2,得加+36—9>0.

又Q0,解得Q-c

2

.35-3

<bW2,

2

a2+c2~b2_a2+c2~ac

\9cosB=

2aclac

6f2+c2-b2_(ac)2—lac—b1_(6—b)2—3bl

2—2-2

=-3+3)2+27,

77—95

则2W348CV.故选C.

2

角度3求向量的模（或最值、范围）

典例已知点4B,。在圆N+f=1上运动，且43,3c

—>—>—>

若点P的坐标为(2,0),则应+PB+Pq的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

I【方法点拨]/I本题采用三角函数法、不等

式法.

答案B

解析解法一：由圆周角定理及知/C为圆的直径.

―>—>—>

故"+尸。=2?0=(-4,0)(0为坐标原点).

―►―►-►—>

设8(cosa,sina),・••尸8=(cosa—2,sina),.,.PA+PB+PC=(cosa

―>—>—>

—6,sin«),\PA+PB+PC\=(cosa—6)2+sin2a=

37—12cosaW37+12=7,当且仅当cosa=-1时取等号，此时8(一

—>—>—>

1,0),故|为+尸8+oq的最大值为7.故选B.

―>—>—>—>—>

解法二：同解法一得知+PC=2PO(。为坐标原点)，又PB=PO+

―>―►—>—>—>—>—>—►

OB,・••必+P3+PC|=|3CO+O3|W31Poi+|O3|=3X2+1=7,当且

―►

仅当尸。与。8同向时取等号，此时8点坐标为(-1,0),ik\PA+PB+

—>

PQmax=7.故选B.

方法技巧

求向量模及最值(范围)的方法

1.代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的

方法求解.

2.几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动

点表示的图形求解.

3.利用绝对值三角不等式|同一|训+H求模的取值范

围.

冲关针对训练

1.已知向量“，b,c,满足同=2,\b\=ab=39若(c-20)13J

=0,则|〃一&的最小值是()

A.2-3B.2+3C.1D.2

答案A

解析根据条件，设〃=(1,3),〃=(3,0),设c=(x,刃，贝!!(c

一2〃)[3J=(x-2,y-23)-(丫-2,y)=O：

・・・(x-2)2+(y—3)2=3;

二.c的终点在以(2,3)为圆心，3为半径的圆上，如图所不：

・・・步一。|的最小值为

(2-3)2+(3-0)2-3=2-3.

故选A.

―►―►

2.已知正方形46CQ的边长为2,E为C。的中点，贝

答案2

尸「

-tAB一—一［一

解析解法一：AEBD=­2)\AD-AB)=AD2-AB2=22

-1X22=2.

2

解法二：以力为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得力(0,0),

—>—>—>—>

f(l,2),8(2,0),C(2,2),£)(0,2),AE=(\,2),50=(—2,2),则4280=

(l,2X-2,2)=lX(-2)+2X2=2.

题型2平面向量的综合应用

角度1在平面几何中的应用

典例己知的三边长ZC=3,BC=4,AB=5,P为AB

―>—>—>

边上任意一点，则CP（4/一8。）的最大值为

|【方法点拨】|

本题采用坐标法、基向量法.

答案9

解析（坐标法）以。为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设

—►―>->—►

P点坐标为(X,历且05W3,0WxW4,贝i]CP(A4—8C)=CPC4=a，

力,(0,3)=3乃当y=3时，取得最大值9.

I\x,y)

角度2三角函数与向量

已知向量Q=(cosa,sina),b=(cos/3,sin/?),0</}<a<n.

(1)若M—臼=2,求证：a.Lb；

(2)设c=(O,l),若。+8=c,求a,夕的值.

I【方法点拨】I利用转化法将向量方程转化为三

角方程.

解(1)证明：由题意得|〃一力产=2,即(〃-6)2=/—2”.〃+〃2=2.

因为标=〃=同2=回2=[,所以1—2a6+l=2.所以〃6=0.故a

(2)因为a+h=(cosa+cos^,sina+sin6)=(01)，

所“以co.sa」+cos；/?=0,

lsin(z+sinp=I,

由此得cosa=cos(兀一夕)，由0v夕〈兀，得0<九一£v兀

又0<a<兀，所以仪=兀一夕.

所以『之“寸

角度3向量与解析几何的综合

典例1已知动直线/与圆。：9+产=4相交于力，B两点、,

TL

且满足|48|=2,点。为直线/上一点，且满足C8=；C4,若历是线

—>—>

段的中点，则0。。历的值为()

A.3B.23C.2D.一3

I【方法点拨〕I运用数形结合思想，坐标法化为

代数问题.

答案A

解析动直线/与圆。：/+产=4相交于力，8两点,

且满足|45|=2,则△045为等边三角形，

于是可设动直线/为y=3(x+2),

根据题意可得8(—2,0),4(—1,3),

•・•”是线段川？的中点，

r_33、

/.M2,2..

设C(x,y),

一5-

•:CB=：CA,

A(-2-x,_，)=：(一1-x,3一刃,

-2-x=^(-l-x=—

3

~F=；(3-y),3

53

t3'3J,

1531

：.OCOM=V—3，3JI—2，2j=；1+；s=3,

故选A.

典例2已知圆。经过点力(1,3),仅2,2),并且直线〃?：3工一2y

=0平分圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线/：y=h+2与圆。交于"，N两点，是否存在直线/,

—>―►

使得。/ON=6(。为坐标原点)，若存在，求出左的值；若不存在，

请说明理由.

I【方法点拨】I坐标法，利用向量的坐标与解析

几何的坐标的关系求解.

解⑴线段的中点血2'2J,匕产］_°=一1，

故线段的中垂线方程为y—j=x—艮y+l=0.

因为圆C经过力，B两点,故圆心在线段48的中垂线上.

又因为直线〃?：3x—2y=0平分圆。，所以直线加经过圆心.

.x-y~\~1=0,lx=2,

由解得

3x—2y—0,ly~39

即圆心的坐标为C(2,3),

而圆的半径厂=|8C|=(2-2)2+(2-3)2=1,

所以圆。的方程为。-2)2+8—3)2=1.

(2)设加3,丁),Ng及),

将y=H+2代入圆C的方程，即(1+标)炉一(2%+4)x+4=0,

由/=(24+4)2—16(1+&2)>0,得04V：,

._2a+4_4

・•+t―+*'阳-]+Q

—>—>

OM'ON=X\X2+=X\X2+(A^vi+2)(te+2)=(1+A2)X1X2十

2k(xi+》2)+4=6,

424-1-4

.,.(1+F),,+"•：+4=6,

l+R1+F

即女2+4攵+1=0,

解得k=—\或"=一；•

此时不满足4>0,与直线/与圆。交于"，N两点相矛盾，

­►—>

所以不存在直线/，使得OMON=6.

方法技巧

1.平面向量的模及其应用的类型及解题策略

(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|。|=及5±5)2=

回2±2a力+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，即

利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余

弦定理等方法求解.

(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成

某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，

弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.

2.向量在平面几何中的应用

用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这

样可以使向量的运算更简便一些.如角度1典例.

3.向量与三角函数综合应用

(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量

的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.

(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、

夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识.

4.向量在解析几何中的作用

(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解

决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出

曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、

最值等问题.

(2)工具作用：利用。，〃006=0；。〃力00=2励W0),可解决

垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何

中的垂直、平行问题时经常用到.如角度3典例1.

冲关针对训练

—>—>

1.(2018・沈阳模拟)设四边形468为平行四边形，目=6,|力。|

—>—>—>—>—>—>

=4,若点例，N满足BM=3MC,DN=2NC,则力A/WM=()

A.20B.15C.9D.6

答案C

解析如图所示，•・•四边形44CQ为平行四边形，点M,N满足

—►―►―►—►

BM=3MC,DN=2NC,

.,・根据图形可得：WTT+：38Tc=初T+产3T,

22

AN=AD+DC=AD+AB,

33

—>—►—►

♦：NM=AM—AN,

―>—>—>—>—>—>—>—>

:.AMNM=AM\AM-AN)=AM1-AMAN,

TT3-T9T

AM2=AB2+^AB-AD+AD2,

216

-—*2T3一3一一

AMAN=tAB2-¥AI^^ARAD.

342

—>—>

|明=6,|力。|=4,

—一］一3一

：.AMNM=\AB2-12—3=9.故选C.

-T->

2.已知/BJL4C,|43|=、\AC\=t,若尸点是△力8C所在平面

t

­►―>

->AB4JC——

内一点，且4P=-+T,则P8•尸C的最大值等于()

\AB\\AC\

A.13B.15C.19D.21

答案A

解析由题意建立如图所示的坐标系，

可得力(0,0),Bit

C(0,f),

—>—>

一AB4AC

•:AP=—+一.

\AB\\AC\

・・・P(1,4),

J,-4

:.PB

—>

PC=(-1,Z-4),

——fl-ilL/+1

：.PBPC=~VtJ-4(r-4)=17-l/J,

由基本不等式可得1+4/2214=4,

tt

17-[4，+J<17-4=13,

当且仅当书=1,即时取等号，

t2

—>—>

・・・PBPC的最大值为13,故选A.

3.过抛物线V=2px(p>0)的焦点F的直线I与抛物线在第一象限

的交点为儿与抛物线的准线的交点为8,点/在抛物线的准线上的

—>—>—>—>

射影为C,若AF=FB,BABC=48,则抛物线的方程为()

A.V=8xB.y2=4x

C.j*=16xD.产=42x

答案B

—>—>

解析如图所示，//=必今产为线段中点，・.7/=ZC,・•・

N力3c=30。.由348c=48,得BC=43,得4c=4.

B.

0真题模拟［般

1.（2017・湖南长沙二模）已知△力BC是边长为2的等边三角形，P

—>—>—>

为平面45C内一点，则以・(P8+PC)的最小值是()

34

A.-2B.—C.-D.-1

23

答案B

解析解法一：设8C的中点为4。的中点为E,则有P8+PC

―>

=2PD,

―>—►-►—>—>

则以•(P8+PC)=2⑸P。

、

—>―>3

3

=2(PE+EA)\PE-EA)=2(PE2-EA2),而J£2=l2J2=

4'

—►->—►―►

当夕与E重合时，PC有最小值0,故此时以•(尸8+PC)取最小

值，最小值为-2—E42=-2X；3=一；3.故选B.

解法二：以44所在直线为x轴，43的中点。为原点建立平面

直角坐标系，如图，

则力(一1,0),8(1,0),C(0,3),设P(x,y),取8c的中点

—►—►―►—►—>

PA(PB+PC)=2PAPD

P-X3

=2(-l-x,~y)l2'2

=2«+1)卜一』十歹1一21

ia

因此，当工=一；，y=:时，口・(P8+PC)取得最小值，最小值

[-313

为2X14|=—故选B.

2.(2018・江西质检)设向量〃=(〃?/)，*=(1,2),且|〃+印=|砰+

|仟，则m=.

答案一2

解析由|。+砰=|砰+|砰,可得。协=0.

・二〃力=m+2=0,/.ni=—2.

3.(2017・河北模拟)已知a是锐角三角形的最小内角，向量a=(sina,

1),b=(\,cosa),则a力的取值范围是.

答案(1，2]

7T(J兀7T

解析由题意知0<QW，〃力=sina+cosa=2sinl4j,由<a

34

兀

得22Vsm卜+4卜1,所以〃力£(1,2].

(2018•衡水中学月考)已知点力在椭圆;;+'；=】上，

4.点P满足

—>—>—>—>

/P=(2-l),OZ(/leR)(。是坐标原点)，且04。尸=72,则线段OP在

X轴上的投影长度的最大值为.

答案15

-►—>—>—>

解析因为力P=a-1)04所以。尸=/1。4即O,A,P三点共

—>—>―>—>—>

线，因为。4。2=72,所以。4。2=用0川2=72,,设ZQ,刃，OA与

―►

X轴正方向的夹角为仇线段。夕在X轴上的投影长度为|OP||cosO|=|即M

博—因_

_7272727215

1-2I^-16...9^^16X9=15，当且仅当XI=:时取等

3F广25W+|x|2

25

号.

E课后作业有注

[基础送分提速狂刷练]

一、选择题

1.«,〃为平面向量,已知a=(4,3),2o+b=(3/8),则m-夹

角的余弦值等于()

A.8B.-8C.16D.-16

65656565

答案C

解析由题可知,设〃=(x,刃，则2a+b=(8+x,6+y)=(3/8),

所以可以解得x=-5,y=12,故b=(—5,12).由cos〈*b]=。)

同向

=：?.故选C.

65

2.已知向量。=(机,2),6=(2,-1),且〃J_〃，则2。一”等于

a(a+b)

()

A.-5B.1C.2D5

34

答案B

解析Va±Z>,，2利-2=0,则2〃一〃一(0,5),a-\-h

=(3,1),X3+2X1=5,\2a—h\=5,，"=5=].

a(a+b)5

故选B.

—>—>

3.已知△£>£产的外接圆的圆心为。，半径H=4,如果OD+DE

—>―►—>—>—>

+。/=0,且|OO|=|OF|,则向量瓦'在尸。方向上的投影为()

A.6B.-6C.23D.—23

答案B

―>—►―►—►—►―>

解析由。。+。£+。/=0得，DO=DE+DF.

・・・。0经过■的中点，：.DOLEF.

—►—►―►

连接。凡\'\OF\=\OD\=\DF\=49

尸为等边三角形，AZODF=60°.

：.ZDFE=30°,J.EF=4Xsin60°X2=43.

—>—>—>—>—>

，向量EF在ED方向上的投影为|印,cos(EF,FD)=43cosl50°

=—6,故选B.

—>—>

ABAC——

-T—>+一—ABAC

4.已知非零向量"与力C满足必引|44劣。=。且_>•一=,

\AB\\AC\

则△28。为（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

答案D

—>—>

ABAC

―>—>-+T

解析因为非零向量Z6与4C满足\AB\\AC[•BC=O,所以/

ABAC

&4C的平分线垂直于8C,所以45=/C.又cos/5/C=—♦—=；,

\AB\\AC\

所以NR4C=；.

所以△45C为等边三角形.故选D.

—>—>―>—>—>—>—>—>

5.在△力5c中，|Z8+/C|=3\AB-AC\f\AB\=\AQ=3,则CBC4

的值为（）

9Q

A.3B.-3C.-D.

22

答案D

->—►—>—>—>—►

解析由|45+/C|=3|45一/C|两边平方可得，AB2+AC2+

―>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

-►—>—>—>—>—►-►—>—>

=3,所以又因为。8=45—力。,所以。8。=（48—/。）・（一

TT2T-99

AQ=AC-ABAC=9-^=^9故选D.

6.（2017・龙岩一模）已知向量CM与08的夹角为60。,且|。4|=3,

―>—>—>—>—>—>

|O8|=2,^OC=mOA+nOB,且。则实数用的值为（）

n

A.1B.1C.6D.4

64

答案A

—►—►—►―>―►—>

解析O4O5=3X2Xcos600=3,VOC=mOA+nOB,且OCJ_

—>

4B,

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

，（加。4+nOB）AB=（mOA+nOB）\OB一。力）=（加一n）OA-OB一

mOA2+nOB2=0,

・二3（加一〃）-9加+4〃=0,

.•・加=1.故选A.

n6

7.已知直线y=x+〃7和圆/+/=1交于4,B两点,。为坐标

一一

原点，若力。力8=；2,则实数加=（）

321

A.±1B.士C.±D.±

222

答案C

解析设力（X/,丹），B（XB,ys）,联立'消去y得2/

x+y=1,

-\-2mx~\-rn2—1=0,由/=4〃於一8（/7?2—1）>0,得一2Vm<2,又x月

—>—>

m2—1/〃？

XA+XR=­m,所以p4yB=（X]+m）（X8+〃7）=,由

2

—►T->—>一T

22

=AO(OB—OA)=—OA-OB+OA=—XAXB—乃/+1=—w+2=^,

解得加=±；.故选C.

8.对任意两个非零的平面向量〃和从定义若两个非零

PP

的平面向量。，〃满足〃与〃的夷角。wL'2）,且。力和〃。都在集合

“2Il〃£Z〕中，则〃力等于（）

答案D

解析根据新定义，得热6=：?=吗!F。=性05仇ba=ba=

bb\b\z\b\aa

⑷网cos0=|6|

cos。.

同2同

又因为和〃•〃都在集合中，设"仍=；

(TI兀

n?GZ),那么ab>Sz)=cos20=〃：2,又。£14'2)，所以0<小〃2V2.

所以〃1,小的值均为1,故〃力=；=；.故选D.

9.已知〃，〃是两个互相垂直的单位向量，Mca=cb=\f则对

任意的正实数/,\c+ta+b|的最小值是()

A.2B.22C.4D.42

答案B

解析设〃=(1,0),^=(0,1),c=(x,y),则由c"=c-A=l,得c

=(1,1),c+ta+^=(l,l)+r(l,0)+J(0,l)=l+1,1+/],

1+

k+川+川=（z+1）2+[J2=p+；+2f+；+2222,当且

仅当，=1时等号成立.故选B.

10.已知〃，b是单位向量，。力=0.若向量c满足|c—〃一臼=1,

则|c|的取值范围是（）

A.[2-1,2+1]B.[2-1,2+2]

C.[1,2I1]D.[1,2I2]

答案A

解析以〃和〃分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐

标系，则a=（1,0）,Z>=（0,l）,设c=（x,歹），]mlc—a—b=（x—\,y—

1）,V|c-1,・・・（工一1）2+8—1）2=1.即（小刃是以点〃（1,1）为

圆心，1为半径的圆上的点，而|c尸N+户所以图可以理解为圆M

上的点到原点的距离，由圆的性质可知，\OM\~r^\c\^\OM\+rf即

|c|e[2-1,2+1].故选A.

二、填空题

11.已知向量a,b的夹角为60。,且10=2,|〃-2例=27,则网

答案3

解析因为同=2,\a-2b\=27,所以（4—26）2=28,即4—4a力

+4网2=28,又向量小〃的夹角为60。，所以4—4X2X|〃|cos60o+

4网2=28,解得网=3.

12.已知单位向量ei与02的夹角为。，且cosa=；,向量。=3①

—2«2与〃=3约一《2的夹角为B，则CGS/3=________.

答案2§2

解析。6=（34-2c2>（3ei-e2）=9+2-9X1X1X；=8.

•・・|砰=（3①一2七）2=9+4—12X1X1X；=9,

J

，同=3.

•・・卅=（3幻一62）2=9+1—6X1X1X；=8,

.••创=22,

・«_ab_8_22

••c°s"一同网-3X22~3•

13.在平行四边形中，N力=；，边4B,的长分别为

―>—>

18M|C7V|一T

2,1.若“，N分别是边BC,C。上的点，且满足—=一，则力M4N

15cl\CD\

的取值范围是.

答案[2,5]

—>—>

\BM\\CN\

解析如图所示，设—=—=2,则入£[0』],

\BC\\CD\

—>—>—>—>—>—>—>—►—>—>

AM-AN=(AB+BM)(AD+DN)=(AB+XBC\[AD+(z-l)CZ)]=

—>—►―>—►—>―►-►­►

ABAD+(X-1)ABCD+kBC'AD+^~